Același perimetru, arii diferite: dreptunghiuri

Două dreptunghiuri cu același perimetru pot avea arii diferite. Perimetrul fixează suma lungimii și lățimii, în timp ce aria este produsul lor. Pentru un perimetru dat și laturi pozitive, pătratul are aria cea mai mare dintre dreptunghiuri. Condiția „dintre dreptunghiuri” contează: aici nu comparăm toate formele geometrice posibile.

Un exemplu ajunge să respingă ideea că perimetrul determină singur aria. Dreptunghiul cu laturile de 6 cm și 14 cm are perimetrul de 40 cm și aria de 84 cm². Pătratul cu latura de 10 cm are tot 40 cm pe contur, dar acoperă 100 cm². Același contur total nu înseamnă aceeași suprafață.

Ce păstrezi și ce modifici într-o comparație?

Notează lungimea cu $L$ și lățimea cu $l$. Pentru un dreptunghi, $P=2(L+l)$ și $A=L\cdot l$. Dacă perimetrul rămâne 40 cm, suma celor două laturi alăturate trebuie să rămână 20 cm.

Când mărești una dintre laturi cu un centimetru, trebuie să o micșorezi pe cealaltă cu un centimetru pentru a păstra perimetrul. Dacă le mărești pe amândouă, ai trecut la o problemă diferită. Pune aceeași condiție deasupra fiecărui calcul, ca să nu compari figuri cu date incompatibile.

Lățime, cm	Lungime, cm	Perimetru, cm	Arie, cm²
1	19	40	19
4	16	40	64
6	14	40	84
8	12	40	96
10	10	40	100

Tabelul sugerează că apropierea laturilor mărește aria. Totuși, cinci exemple nu demonstrează ce se întâmplă pentru toate valorile, inclusiv laturi precum 7,3 cm. Pentru concluzia generală ai nevoie de un argument care acoperă orice dreptunghi admis.

De ce pătratul are aria maximă?

Pentru perimetrul de 40 cm, scrie laturile sub forma $10-d$ și $10+d$, unde $0\le d<10$. Numărul $d$ măsoară cu cât se abate fiecare latură de la valoarea de 10 cm. Am ales latura mai mică prima, astfel încât $d$ să fie nenegativ.

Aria este:

$$A=(10-d)(10+d)=100-d^2.$$

Pătratul unui număr real este nenegativ. Prin urmare, aria nu poate depăși 100 cm². Ea este exact 100 cm² numai când $d=0$, adică atunci când ambele laturi sunt 10 cm. Dacă una dintre laturi scade și cealaltă crește, scazi din 100 o cantitate pozitivă.

Pentru laturile de 6 și 14 cm, abaterea este 4 cm, iar diferența de arie față de pătrat este $4^2=16$ cm². Verifici: $100-16=84$. Pentru 8 și 12 cm, abaterea este 2 cm, deci pierzi numai 4 cm² și obții 96 cm².

Poți privi abaterea și ca distanță față de 10 pe axa numerelor. Modulul unui număr explică de ce această distanță este nenegativă, indiferent dacă pornești de la latura mai scurtă sau de la cea mai lungă.

Formula pentru orice perimetru pozitiv

Dacă perimetrul este $P$, fiecare latură a pătratului este $P/4$. Aria maximă dintre dreptunghiuri este:

$$A_{\max}=\frac{P^2}{16}.$$

De exemplu, la un perimetru de 32 cm, pătratul are latura de 8 cm și aria de 64 cm². Un dreptunghi de 6 cm pe 10 cm respectă același perimetru, dar are aria de 60 cm². Diferența de patru centimetri pătrați corespunde abaterii de doi centimetri a laturilor față de opt.

O altă demonstrație pornește de la $L+l\ge2\sqrt{Ll}$, relația dintre media aritmetică și cea geometrică pentru numere pozitive. Dacă vrei să urmărești această cale, vezi explicația mediilor aritmetică și geometrică. Nu trebuie să folosești ambele demonstrații; alege una și explică de ce egalitatea apare la laturi egale.

Invers: aceeași arie poate cere perimetre diferite?

Da. Compară dreptunghiuri care au toate aria de 36 cm²:

Laturi, cm	Arie, cm²	Perimetru, cm
1 și 36	36	74
2 și 18	36	40
3 și 12	36	30
4 și 9	36	26
6 și 6	36	24

În acest tabel laturile sunt întregi. Există și dreptunghiuri cu laturi neîntregi și același produs, deci tabelul nu le enumeră pe toate. Concluzia generală rămâne însă valabilă: dintre dreptunghiurile cu o arie fixată, pătratul are perimetrul minim.

Pentru aria 36, relația $L+l\ge2\sqrt{Ll}$ dă $L+l\ge12$. Înmulțind cu doi, obții $P\ge24$ cm. Egalitatea este posibilă la $L=l=6$ cm. Ai demonstrat limita pentru toate laturile reale pozitive, nu doar pentru perechile întregi din tabel.

Când răspunsul nu mai este un pătrat?

Să presupunem că ai 20 m de gard pentru trei laturi ale unui țarc dreptunghiular. A patra latură este un zid suficient de lung și nu consumă gard. Notăm cu $x$ fiecare latură perpendiculară pe zid și cu $y$ latura paralelă cu el. Condiția devine $2x+y=20$, nu $2x+2y=20$.

Aria este $A=xy=x(20-2x)$, cu $0<x<10$. O poți rescrie:

$$A=50-2(x-5)^2.$$

Valoarea maximă este 50 m² și apare la $x=5$ m, $y=10$ m. Figura optimă nu este un pătrat. Un pătrat ar avea trei laturi de gard egale, deci latura $20/3$ m și aria $400/9$ m², aproximativ 44,44 m².

Nu există o contradicție cu regula anterioară. Ai schimbat ce măsoară cei 20 m: acum reprezintă numai trei laturi. Exemplul este un model matematic; nu include stâlpi, porți, grosimi sau recomandări pentru construirea efectivă a unui gard.

Ce se întâmplă dacă lățimea este limitată?

Revino la perimetrul de 40 cm, dar adaugă o condiție: lățimea nu poate depăși 4 cm. Pătratul de 10 cm nu mai este admis. Laturile sunt $x$ și $20-x$, cu $0<x\le4$.

Cea mai mare arie admisă este acum 64 cm², la laturile de 4 și 16 cm. Poți verifica limita fără să testezi fiecare valoare: diferența dintre 64 și aria unui dreptunghi admis este

$$64-x(20-x)=(4-x)(16-x).$$

Ambii factori sunt nenegativi în intervalul precizat, deci diferența nu poate fi negativă. Aria rămâne cel mult 64 cm². Condițiile suplimentare fac parte din problemă; nu le poți ignora după ce ai recunoscut un tipar familiar.

Trei probleme de verificare

1. Un dreptunghi are perimetrul de 24 cm și laturile de 5 și 7 cm. Aria este 35 cm². Aria maximă pentru acel perimetru este 36 cm², la pătratul de 6 cm. Diferența este un centimetru pătrat.

2. Un dreptunghi are perimetrul de 40 cm și aria de 96 cm². Ce laturi are? Din forma $100-d^2=96$ obții $d=2$, fiindcă abaterea a fost definită nenegativă. Laturile sunt 8 și 12 cm. Inversarea numelor lor nu produce o figură cu alte dimensiuni.

3. Ai 30 m pentru trei laturi lângă un zid, în același model. Dimensiunile optime sunt 7,5 m și 15 m, cu aria de 112,5 m². Verifici consumul de gard: $2\cdot7{,}5+15=30$. Suma celor patru laturi ar fi 45 m, însă numai trei consumă gard în acest exercițiu.

Cum alegi argumentul potrivit?

Scrie mai întâi ce rămâne fix: suma laturilor, produsul lor sau lungimea a numai trei laturi. Apoi scrie restricțiile, precum laturi pozitive ori o lățime maximă. Un tabel ajută la găsirea unei idei; demonstrația trebuie să arate de ce niciun alt caz admis nu o depășește.

Dacă vrei să discuți trecerea de la desen la expresie, poți compara anunțurile de meditații la matematică. Adu două dreptunghiuri cu același perimetru și explică ce ai păstrat constant. Această comparație arată mai mult decât o formulă memorată fără condițiile ei.