Aria dintre grafice la BAC: schimbarea ordinii

Aria dintre două grafice la BAC se calculează integrând distanța verticală dintre ele. Această distanță este nenegativă. Dacă graficele își schimbă ordinea, trebuie să împarți intervalul și să scazi de fiecare dată funcția de jos din funcția de sus.

Acest atelier urmărește tocmai schimbarea ordinii: intersecții, tabelul semnului diferenței și diferența dintre o integrală cu semn și o arie geometrică. Exemplele pot fi completate cu subiectele de BAC, potrivit programei profilului tău.

Formula de pornire: aria dintre graficele lui f și g, între abscisele a și b, cu a mai mic decât b, este integrala lui |f(x) − g(x)|. Pentru funcții continue, calculul se face pe porțiuni cu semn cunoscut.

Schema unei probleme de arie

Pas	Operație	Rezultat urmărit
Intersecții	Rezolvi f(x) = g(x)	Puncte unde ordinea se poate schimba
Semn	Studiezi f(x) − g(x)	Identifici graficul superior
Separare	Împarți intervalul	Bucăți cu aceeași ordine
Integrare	Sus minus jos	Contribuții nenegative
Adunare	Aduni ariile bucăților	Aria geometrică totală

O schiță este utilă, dar semnul diferenței oferă verificarea exactă. Nu presupune că primul grafic scris în enunț este întotdeauna deasupra celui de-al doilea.

Exemplul unu: dreaptă și parabolă

Considerăm f(x) = 2x și g(x) = x². Intersecțiile satisfac 2x = x², deci x(x − 2) = 0. Abscisele sunt zero și doi.

Pe intervalul dintre zero și doi, diferența 2x − x² = x(2 − x) este nenegativă. Dreapta este deasupra parabolei, iar aria regiunii închise de cele două grafice este integrala diferenței între aceste capete.

O primitivă este x² − x³/3. Evaluarea dă patru minus opt treimi, deci aria este patru treimi.

Nu trebuie să adaugi ariile față de axa orizontală. Distanța dintre grafice este diferența valorilor lor, iar formula a ținut deja cont de ambele limite ale regiunii.

Exemplul doi: intervalul continuă după intersecție

Păstrăm aceleași funcții, dar cerem aria dintre grafice și dreptele verticale x = 0 și x = 3. Acum punctul x = 2 se află în interiorul intervalului și schimbă ordinea graficelor.

Între zero și doi, dreapta este deasupra. Între doi și trei, parabola este deasupra, deoarece x² − 2x este pozitiv. Aria este:

$$A=\int_0^2(2x-x^2)\,dx+\int_2^3(x^2-2x)\,dx.$$

Prima contribuție este patru treimi. Pentru a doua, folosim primitiva x³/3 − x². Valoarea în trei este zero, iar în doi este minus patru treimi. Diferența este tot patru treimi.

Aria totală este opt treimi. În schimb, integrala simplă a lui 2x − x² de la zero la trei este zero: contribuțiile cu semn se anulează. Aceasta nu reprezintă aria geometrică.

De ce modulul întregii integrale nu rezolvă problema

În general, integrala lui |f − g| nu este egală cu modulul integralei lui f − g. În exemplul anterior, prima valoare este opt treimi, iar a doua este zero.

Modulul aplicat la final poate schimba semnul unui rezultat negativ, dar nu poate recupera contribuțiile care s-au anulat deja în interiorul sumei. De aceea, semnul trebuie corectat pe fiecare porțiune înainte de adunare.

Dacă diferența păstrează același semn pe întregul interval, atunci modulul integralei poate da aria. Această simplificare trebuie justificată prin studiul semnului, nu presupusă.

Exemplul trei: două regiuni simetrice

Pentru f(x) = x³ și g(x) = x, pe intervalul dintre minus unu și unu, intersecțiile sunt în minus unu, zero și unu. Diferența este x³ − x = x(x − 1)(x + 1).

Pe intervalul dintre minus unu și zero, cubica este deasupra dreptei. Pe intervalul dintre zero și unu, dreapta este deasupra cubicii.

Cele două regiuni sunt simetrice. Aria totală este de două ori integrala de la zero la unu din x − x³. O primitivă este x²/2 − x⁴/4, iar valoarea între capete este un sfert. Aria totală este o jumătate.

Integrala cu semn a lui x³ − x pe intervalul simetric este zero, fiindcă funcția este impară. Din nou, anularea semnelor nu înseamnă dispariția regiunilor geometrice.

Intersecția nu schimbă întotdeauna ordinea

Pentru f(x) = x² și g(x) = 0, graficele se întâlnesc în zero, dar x² rămâne nenegativ de ambele părți. Ordinea nu se inversează.

Pe intervalul de la minus unu la unu, aria este integrala lui x², cu valoarea două treimi. Poți împărți intervalul în zero, dar nu trebuie să schimbi semnul expresiei pe una dintre bucăți.

Prin urmare, intersecțiile sunt puncte candidate pentru separare. Tabelul de semne stabilește dacă ordinea se schimbă efectiv. O rădăcină de multiplicitate pară a diferenței păstrează de obicei semnul în vecinătate, când restul factorilor sunt nenuli.

O translație comună nu schimbă aria dintre grafice

Dacă adaugi aceeași constantă ambelor funcții, diferența lor rămâne aceeași. De exemplu, graficele lui 2x + 5 și x² + 5 delimitează între zero și doi aceeași arie ca graficele inițiale.

Poziția față de axa orizontală s-a schimbat, dar distanța dintre curbe nu. Acest control este util când în enunț apar termeni constanți identici: ei se simplifică înainte de integrare.

Dacă adaugi constanta numai uneia dintre funcții, intersecțiile și aria se pot modifica. Nu generaliza invarianta la o deplasare care afectează doar un singur grafic.

Cum formulezi răspunsul

Precizează mai întâi intervalele pe care ai stabilit graficul superior. Scrie suma integralelor cu diferențele în ordinea corectă. Evaluează separat fiecare contribuție și verifică faptul că este nenegativă.

La final, exprimă aria în unități pătrate dacă axele au unități de lungime compatibile. Dacă enunțul este pur matematic, poți spune simplu „aria este ... unități de arie”. O valoare negativă nu poate fi răspunsul geometric final.

Exerciții cu răspunsuri

1. Află aria dintre y = x și y = x², între zero și unu.
2. Află aria dintre y = x² și axa orizontală, între minus doi și doi.
3. Află aria dintre y = x + 4 și y = x² + 4, între zero și unu.

Răspunsuri: o șesime, din integrala lui x − x²; șaisprezece treimi, prin simetria funcției x²; tot o șesime, deoarece deplasarea comună nu schimbă diferența.

Compară pentru fiecare problemă integrala cu semn și aria. Această distincție susține înțelegerea interpretării geometrice. Dacă schița și tabelul de semne nu se potrivesc, verifică intersecțiile cu un profesor de matematică.

Întrebări frecvente

Scad mereu a doua funcție din prima?

Nu. Scazi funcția de jos din funcția de sus pe fiecare porțiune.

Pot lua modulul rezultatului final?

Numai dacă diferența nu își schimbă semnul. În general, trebuie integrat modulul diferenței.

Fiecare intersecție cere schimbarea semnului?

Nu. Verifică semnul în intervalele vecine; o atingere poate păstra aceeași ordine a graficelor.