Dobânda simplă și compusă: formule pentru BAC

Dobânda simplă și dobânda compusă diferă prin baza la care se calculează dobânda fiecărei perioade. La dobânda simplă, baza rămâne capitalul inițial. La dobânda compusă, dobânda se adaugă capitalului și produce, la rândul ei, dobândă în perioadele următoare, conform ipotezelor date.

Pentru BAC, alegerea formulei depinde de enunț. Durata de mai mulți ani nu dovedește singură că trebuie folosită dobânda compusă. Caută precizări precum capitalizare, reinvestire, retragerea dobânzii sau calculul pe capitalul inițial.

Simboluri și formule

Notăm capitalul inițial cu C₀, rata dobânzii pe perioadă cu r, numărul perioadelor cu n, dobânda totală cu D și suma finală cu S. Rata se introduce în formulă ca număr zecimal: 8% înseamnă 0,08.

Model	Dobânda totală	Suma finală
Dobândă simplă	D = C₀ × r × n	S = C₀ × (1 + r × n)
Dobândă compusă, rată constantă	D = C₀ × [(1 + r)ⁿ − 1]	S = C₀ × (1 + r)ⁿ

Formulele presupun condițiile precizate: aceeași rată pe perioadă, fără depuneri sau retrageri intermediare și fără costuri suplimentare în exemplele noastre. Dacă apar operații intermediare, trebuie urmărit soldul și momentul fiecăreia.

Dobânda este o sumă monetară, iar rata dobânzii este un raport procentual. Nu răspunde „dobânda este 8%” dacă cerința solicită suma dobânzii în lei. Poți preciza rata și suma, dar ele nu sunt aceeași mărime.

Exemplu comparativ pe trei ani

Un capital didactic de 5.000 de lei este analizat la o rată anuală de 10%, timp de trei ani. Nu există taxe, comisioane sau operații intermediare. Comparăm două convenții explicite.

La dobânda simplă, fiecare an produce 5.000 × 0,10 = 500 de lei. Dobânda totală este 1.500, iar suma finală 6.500 de lei.

La dobânda compusă anual, primul an se încheie cu 5.500. Al doilea an produce 550 de lei, astfel încât soldul devine 6.050. Al treilea an produce 605 lei, iar suma finală este 6.655.

Moment	Capital cu dobândă simplă acumulată	Capital cu dobândă compusă
Inițial	5.000	5.000
După un an	5.500	5.500
După doi ani	6.000	6.050
După trei ani	6.500	6.655

Diferența finală este 155 de lei. Ea provine din dobânda calculată asupra dobânzilor capitalizate anterior. Nu reprezintă o rată nouă de 155% și nu poate fi explicată prin simpla înmulțire a ratei anuale cu trei.

Durata și rata trebuie să aibă aceeași unitate

Dacă rata este anuală, durata din formula dobânzii simple se exprimă în ani. Șase luni înseamnă 0,5 ani în convenția didactică de douăsprezece luni egale. Pentru C₀ = 8.000 și r = 6%, dobânda simplă pe șase luni este 8.000 × 0,06 × 0,5 = 240 de lei.

În probleme cu zile, convenția anului trebuie dată: de exemplu, 360 sau 365 de zile. Nu alege tacit o convenție dacă rezultatul depinde de ea. Dacă enunțul nu precizează și exercițiul cere exactitate, arată ipoteza folosită.

La dobânda compusă, rata trebuie să corespundă perioadei de capitalizare. O rată de 1% pe lună, capitalizată lunar, produce într-un an factorul 1,01¹², aproximativ 1,126825. Rata efectivă anuală este aproximativ 12,68%, în condițiile exemplului, nu exact 12%.

Nu împărți automat o rată anuală efectivă la 12 pentru a obține o rată lunară echivalentă. Pentru echivalență compusă, factorii trebuie să satisfacă relația (1 + r_lunar)¹² = 1 + r_anual. La BAC, aplică această extensie numai dacă cerința o solicită și datele o susțin.

Probleme inverse și verificarea rezultatului

Pentru dobânda simplă, din D = C₀ × r × n obținem C₀ = D / (r × n), r = D / (C₀ × n) și n = D / (C₀ × r), când numitorii sunt nenuli.

Dacă dobânda este 720 de lei, capitalul 6.000 și durata doi ani, rata anuală simplă este 720 / 12.000 = 0,06, adică 6%. Verificarea 6.000 × 0,06 × 2 = 720 confirmă valoarea.

Pentru dobânda compusă pe doi ani, dacă suma finală este 12.100 și capitalul inițial 10.000, avem (1 + r)² = 1,21. Rata pozitivă compatibilă este 10%, deoarece 1,10² = 1,21. Nu concluziona că rata anuală este 21%; acesta este câștigul total relativ pe cei doi ani.

Rate diferite în perioade succesive

Dacă dobânda este capitalizată, dar rata diferă, înmulțești factorii fiecărei perioade. Pentru 4.000 de lei, cu 5% în primul an și 8% în al doilea, suma finală este 4.000 × 1,05 × 1,08 = 4.536 de lei.

Dobânda totală este 536, adică 13,4% din capitalul inițial. Adunarea ratelor ar da 13%, ceea ce omite dobânda din al doilea an asupra sumei acumulate în primul. Ordinea factorilor nu schimbă produsul în acest exemplu fără fluxuri intermediare; dacă există depuneri sau retrageri, momentul lor contează.

Exerciții originale cu soluții

1. Dobândă simplă pe nouă luni

C₀ = 12.000 de lei, r = 8% pe an, durata nouă luni, fără capitalizare. Calculează D și S.

Durata este 9 / 12 = 0,75 ani. D = 12.000 × 0,08 × 0,75 = 720 de lei. S = 12.720 de lei. Folosirea lui n = 9 ar trata greșit lunile ca ani.

2. Capitalizare anuală

Un capital de 2.000 de lei produce dobândă compusă de 5% anual timp de doi ani. Determină suma finală.

S = 2.000 × 1,05² = 2.205 lei. Dobânda este 205 lei. Primul an aduce 100, al doilea 105. Diferența de cinci lei față de modelul simplu provine din capitalizare.

3. Capital necunoscut

La dobândă simplă de 4% anual, timp de trei ani, dobânda totală este 960 de lei. Află capitalul inițial.

C₀ = 960 / (0,04 × 3) = 8.000 de lei. Suma finală ar fi 8.960, dacă dobânda este adăugată la sfârșit și nu există alte operații.

4. Enunț insuficient

O sumă este păstrată doi ani la o rată anuală de 7%, dar nu se precizează capitalizarea. Putem alege sigur modelul compus?

Nu doar din durată. Trebuie identificată convenția exercițiului sau prezentate condiționat cele două modele. Numărul anilor nu înlocuiește informația despre baza dobânzii.

Întrebări frecvente

Dobânda compusă este mereu mai mare?

Pentru același capital, aceeași rată pozitivă pe perioadă și mai multe perioade întregi, fără fluxuri intermediare, suma compusă depășește suma simplă. Condițiile comparației trebuie păstrate.

Rata de 10% se introduce ca 10?

În formulele scrise cu r zecimal, se introduce 0,10. Dacă folosești procentul întreg, trebuie să împarți la 100.

Suma finală este dobânda?

Nu. Suma finală include capitalul inițial și dobânda acumulată. Dobânda totală este diferența S − C₀ în modelele fără alte fluxuri.

Aplicare la BAC

Dobânda este o aplicație a pieței monetare din programa oficială de economie, de verificat pentru sesiunea ta. Exemplele sunt fictive și nu compară produse financiare reale.

Aplică formulele pe subiecte de BAC, scriind întâi perioada și convenția. Acest obicei sprijină înțelegerea înaintea memorării. Pentru feedback asupra problemelor inverse, poți consulta profesorii de economie.