Ecuația de gradul 2: delta, formule și exemple rezolvate

Orice elev întâlnește ecuația de gradul 2 la finalul gimnaziului și o folosește apoi în tot liceul: la funcția de gradul al doilea, la probleme, la subiectul I de la Bacalaureat. Rezolvarea are trei pași care nu se schimbă niciodată: identifici coeficienții, calculezi discriminantul și aplici formula soluțiilor. Punctele se pierd aproape mereu la semne. Mai jos găsești metoda, patru exemple rezolvate, cazurile particulare și relațiile lui Viète.

Pe scurt:

• Forma generală: ax² + bx + c = 0, cu a diferit de 0.

• Discriminantul: Δ = b² − 4ac.

• Dacă Δ > 0, ecuația are două soluții reale diferite: x = (−b ± √Δ) / (2a).

• Dacă Δ = 0, are o singură soluție: x = −b / (2a).

• Dacă Δ < 0, nu are soluții reale.

Ce este ecuația de gradul al doilea?

Este o ecuație în care necunoscuta apare la puterea a doua și nu la o putere mai mare. Forma generală este:

ax² + bx + c = 0

unde a, b și c sunt numere reale, numite coeficienți, iar a este diferit de 0. Dacă a ar fi 0, termenul cu x² ar dispărea și ecuația ar fi de gradul întâi.

Înainte de orice calcul, adu ecuația la această formă: toți termenii în stânga, zero în dreapta, termenii ordonați după puterile lui x.

Cum se rezolvă, pas cu pas?

Pasul 1. Identifică a, b și c, cu tot cu semn.

Pasul 2. Calculează discriminantul: Δ = b² − 4ac.

Pasul 3. Aplică formula, în funcție de semnul lui Δ:

• Δ > 0: x₁ = (−b + √Δ) / (2a) și x₂ = (−b − √Δ) / (2a)

• Δ = 0: x = −b / (2a)

• Δ < 0: ecuația nu are soluții reale

Exemplul 1: două soluții

Ecuația: x² − 5x + 6 = 0

• a = 1, b = −5, c = 6

• Δ = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1

• √Δ = 1

• x₁ = (5 + 1) / 2 = 3

• x₂ = (5 − 1) / 2 = 2

Soluțiile sunt 3 și 2. Verificare: 3² − 5 · 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0.

Observă că −b este 5, nu −5, pentru că b este deja negativ.

Exemplul 2: coeficient diferit de 1

Ecuația: 2x² + 3x − 2 = 0

• a = 2, b = 3, c = −2

• Δ = 3² − 4 · 2 · (−2) = 9 + 16 = 25

• √Δ = 5

• x₁ = (−3 + 5) / 4 = 2 / 4 = 1/2

• x₂ = (−3 − 5) / 4 = −8 / 4 = −2

Soluțiile sunt 1/2 și −2. Numitorul este 2a, adică 4, nu 2.

Exemplul 3: o singură soluție

Ecuația: x² − 4x + 4 = 0

• a = 1, b = −4, c = 4

• Δ = 16 − 16 = 0

• x = 4 / 2 = 2

Ecuația are o singură soluție, 2. Se mai spune că are două soluții egale. Observă că expresia din stânga este un pătrat perfect: (x − 2)².

Exemplul 4: nicio soluție reală

Ecuația: x² + 2x + 5 = 0

• a = 1, b = 2, c = 5

• Δ = 4 − 20 = −16

Discriminantul este negativ, deci ecuația nu are soluții reale. Nu continua calculul: radicalul dintr-un număr negativ nu există în mulțimea numerelor reale.

Ce faci când ecuația este incompletă?

Dacă lipsește un termen, există drumuri mai scurte decât formula.

Lipsește termenul cu x (b = 0). Izolezi x² și extragi radicalul:

• x² − 9 = 0

• x² = 9

• x = 3 sau x = −3

Nu uita soluția negativă. Dacă ajungi la x² egal cu un număr negativ, ecuația nu are soluții reale.

Lipsește termenul liber (c = 0). Dai factor comun pe x:

• x² − 5x = 0

• x(x − 5) = 0

• x = 0 sau x = 5

Nu împărți la x: ai pierde soluția 0.

Ce sunt relațiile lui Viète?

Sunt două legături directe între soluții și coeficienți, valabile când ecuația are soluții:

• suma soluțiilor: x₁ + x₂ = −b / a

• produsul soluțiilor: x₁ · x₂ = c / a

Verificare pe exemplul 1, x² − 5x + 6 = 0: suma este 3 + 2 = 5, adică −b / a, iar produsul este 3 · 2 = 6, adică c / a.

Relațiile sunt utile în două situații:

• ca verificare rapidă a soluțiilor găsite;

• ca metodă de rezolvare în minte, când a = 1: cauți două numere cu suma −b și produsul c. Pentru x² − 7x + 12 = 0, numerele cu suma 7 și produsul 12 sunt 3 și 4.

Cum descompui în factori?

Dacă ecuația are soluțiile x₁ și x₂, atunci:

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)

Pentru exemplul 1: x² − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2).

Pentru exemplul 2: 2x² + 3x − 2 = 2(x − 1/2)(x + 2) = (2x − 1)(x + 2).

Descompunerea este folosită la simplificarea fracțiilor algebrice și la studiul semnului.

Care sunt greșelile cele mai frecvente?

1. Semnul lui b. Dacă b = −5, atunci −b = 5 și b² = 25, nu −25.

2. Semnul din −4ac. Când c este negativ, −4ac devine pozitiv: minus cu minus dă plus.

3. Numitorul. Se împarte la 2a, nu la 2. Greșeala apare de fiecare dată când a este diferit de 1.

4. Împărțirea doar a radicalului. Tot numărătorul se împarte la 2a, nu doar √Δ.

5. Ecuația neadusă la forma generală. Din x² = 5x − 6 nu poți citi coeficienții până nu muți totul în stânga: x² − 5x + 6 = 0.

6. Continuarea calculului când Δ este negativ.

7. Soluția pierdută. La x² = 9, se uită −3. La x² − 5x = 0, se uită 0.

Unde apare la examen?

• La finalul gimnaziului, la calculul algebric și la probleme care duc la o astfel de ecuație.

• În clasa a IX-a, la funcția de gradul al doilea: soluțiile ecuației sunt punctele în care graficul intersectează axa Ox, iar semnul lui Δ spune câte astfel de puncte există.

• La Bacalaureat, la subiectul I, direct sau ascunsă în ecuații cu radicali, exponențiale ori logaritmice, care se reduc la una de gradul al doilea.

Cum o exersezi?

• zece ecuații complete, cu verificarea soluțiilor prin înlocuire;

• zece ecuații incomplete, rezolvate fără formulă;

• cinci ecuații rezolvate în minte, cu relațiile lui Viète;

• un caiet de greșeli, în care notezi de fiecare dată unde a fost semnul încurcat.

Despre metoda de lucru am scris în articolul despre a memora și a înțelege cu adevărat.

Dacă greșelile de semn se repetă sau te blochezi la problemele care duc la o astfel de ecuație, un profesor găsește repede cauza. Pe pagina de meditații la matematică vezi anunțurile profesorilor, cu preț și durată, iar pe pagina de meditații pentru BAC compari profilurile. Pe Hola25 poți rezerva o lecție de probă de 25 sau 50 de minute, cu prețul afișat înainte de plată. Lecția are loc în sala de lecții Hola25, pe o tablă comună. Anunțurile sunt publicate de profesori, iar platforma nu le verifică studiile sau experiența declarată.

Întrebări frecvente

Care este formula pentru delta?

Δ = b² − 4ac, unde a, b și c sunt coeficienții ecuației ax² + bx + c = 0.

Ce înseamnă delta negativ?

Că ecuația nu are soluții reale. Graficul funcției corespunzătoare nu intersectează axa Ox.

Câte soluții are ecuația când delta este zero?

Una singură, x = −b / (2a). Se mai spune că ecuația are două soluții reale egale.

Pot rezolva fără delta?

Da, în trei situații: când lipsește termenul cu x, când lipsește termenul liber și când a = 1 și găsești în minte două numere cu suma −b și produsul c.

Cum verific soluțiile?

Înlocuiești fiecare soluție în ecuația inițială și verifici că rezultatul este 0. Alternativ, verifici că suma lor este −b / a și produsul c / a.