Formule trigonometrice: tabel de valori și exemple

Cele mai folosite formule trigonometrice încap pe o singură pagină, dar puține capitole produc atâta teamă. Motivul este că lista pare fără sfârșit. În realitate, aproape totul se sprijină pe trei lucruri: definițiile din triunghiul dreptunghic, valorile pentru 30, 45 și 60 de grade și formula fundamentală. Restul se deduce din ele. Mai jos le găsești pe toate, de la nivelul clasei a VII-a până la cel de Bacalaureat, cu exemple rezolvate.

Pe scurt:

• Sinusul este cateta opusă supra ipotenuză. Cosinusul este cateta alăturată supra ipotenuză.

• Tangenta este sinusul supra cosinus. Cotangenta este inversa tangentei.

• Formula fundamentală: sin² x + cos² x = 1.

• Valori de reținut: sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2.

• Unghiul dublu: sin 2x = 2 · sin x · cos x.

Cum se definesc sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta?

Într-un triunghi dreptunghic, pentru un unghi ascuțit x:

• sin x = cateta opusă / ipotenuză

• cos x = cateta alăturată / ipotenuză

• tg x = cateta opusă / cateta alăturată

• ctg x = cateta alăturată / cateta opusă

De aici rezultă direct:

• tg x = sin x / cos x

• ctg x = cos x / sin x

• tg x · ctg x = 1

Care sunt valorile pentru unghiurile uzuale?

Pentru 30°:

• sin 30° = 1/2

• cos 30° = √3/2

• tg 30° = √3/3

• ctg 30° = √3

Pentru 45°:

• sin 45° = √2/2

• cos 45° = √2/2

• tg 45° = 1

• ctg 45° = 1

Pentru 60°:

• sin 60° = √3/2

• cos 60° = 1/2

• tg 60° = √3

• ctg 60° = √3/3

Pentru 0° și 90°:

• sin 0° = 0, cos 0° = 1, tg 0° = 0

• sin 90° = 1, cos 90° = 0, ctg 90° = 0

• tg 90° și ctg 0° nu există

Un truc de memorare. Valorile sinusului pentru 0°, 30°, 45°, 60° și 90° sunt, în ordine: √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2. Adică 0, 1/2, √2/2, √3/2 și 1. Pentru cosinus, același șir citit invers.

Care sunt identitățile de bază?

Formula fundamentală: sin² x + cos² x = 1. Vine direct din teorema lui Pitagora și este valabilă pentru orice unghi.

Notația sin² x înseamnă (sin x)², adică sinusul ridicat la pătrat.

Din ea rezultă:

• sin² x = 1 − cos² x

• cos² x = 1 − sin² x

• 1 + tg² x = 1 / cos² x

Unghiuri complementare, care adunate dau 90°:

• sin (90° − x) = cos x

• cos (90° − x) = sin x

De aceea sin 30° = cos 60° și sin 60° = cos 30°.

Unghiuri suplementare, care adunate dau 180°:

• sin (180° − x) = sin x

• cos (180° − x) = −cos x

Cum treci din grade în radiani?

Legătura este 180° = π radiani. De aici:

• 30° = π/6

• 45° = π/4

• 60° = π/3

• 90° = π/2

• 360° = 2π

Pentru orice alt unghi, înmulțești numărul de grade cu π și împarți la 180.

Ce semne au funcțiile în cele patru cadrane?

Pe cercul trigonometric, semnul depinde de cadran:

• cadranul I, între 0° și 90°: toate sunt pozitive;

• cadranul II, între 90° și 180°: doar sinusul este pozitiv;

• cadranul III, între 180° și 270°: tangenta și cotangenta sunt pozitive;

• cadranul IV, între 270° și 360°: doar cosinusul este pozitiv.

Sinusul și cosinusul iau valori doar între −1 și 1.

Care sunt formulele pentru sumă și pentru unghiul dublu?

Suma și diferența:

• sin (a + b) = sin a · cos b + cos a · sin b

• sin (a − b) = sin a · cos b − cos a · sin b

• cos (a + b) = cos a · cos b − sin a · sin b

• cos (a − b) = cos a · cos b + sin a · sin b

• tg (a + b) = (tg a + tg b) / (1 − tg a · tg b)

Atenție la cosinus: semnul din formulă este opus celui din paranteză.

Unghiul dublu:

• sin 2x = 2 · sin x · cos x

• cos 2x = cos² x − sin² x

• cos 2x = 2 · cos² x − 1

• cos 2x = 1 − 2 · sin² x

Formulele unghiului dublu se obțin din cele pentru sumă, punând b = a. Nu trebuie învățate separat.

Ce formule se folosesc într-un triunghi oarecare?

Într-un triunghi cu laturile a, b, c, opuse unghiurilor A, B, C:

• teorema sinusurilor: a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R, unde R este raza cercului circumscris;

• teorema cosinusului: a² = b² + c² − 2 · b · c · cos A;

• aria: b · c · sin A / 2.

Teorema cosinusului este o generalizare a teoremei lui Pitagora: pentru A = 90°, cos A = 0 și rămâne a² = b² + c².

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Un triunghi dreptunghic are ipotenuza de 10 cm și un unghi de 30°. Află catetele.

• cateta opusă unghiului de 30°: 10 · sin 30° = 10 · 1/2 = 5 cm

• cealaltă catetă: 10 · cos 30° = 10 · √3/2 = 5√3 cm

Exemplul 2. Se știe că sin x = 3/5 și că x este un unghi ascuțit. Află cos x și tg x.

• cos² x = 1 − 9/25 = 16/25

• x este ascuțit, deci cosinusul este pozitiv: cos x = 4/5

• tg x = (3/5) / (4/5) = 3/4

Exemplul 3. Calculează sin 75°.

• 75° = 45° + 30°

• sin 75° = sin 45° · cos 30° + cos 45° · sin 30°

• sin 75° = √2/2 · √3/2 + √2/2 · 1/2 = (√6 + √2) / 4

Exemplul 4. Calculează sin 120° și cos 120°.

• 120° = 180° − 60°

• sin 120° = sin 60° = √3/2

• cos 120° = −cos 60° = −1/2

Exemplul 5. Într-un triunghi, b = 5, c = 8 și unghiul A are 60°. Află latura a și aria.

• a² = 25 + 64 − 2 · 5 · 8 · 1/2 = 89 − 40 = 49

• a = 7

• aria: 5 · 8 · sin 60° / 2 = 20 · √3/2 = 10√3

Exemplul 6. Arată că (sin x + cos x)² = 1 + sin 2x.

• (sin x + cos x)² = sin² x + 2 · sin x · cos x + cos² x

• sin² x + cos² x = 1, iar 2 · sin x · cos x = sin 2x

• deci expresia este 1 + sin 2x

Care sunt greșelile cele mai frecvente?

1. Sinusul sumei. sin (a + b) nu este sin a + sin b. Verifică: sin 90° = 1, dar sin 30° + sin 60° este aproximativ 1,37.

2. Unghiul dublu. sin 2x nu este 2 · sin x.

3. Semnul la cosinusul sumei. În cos (a + b), între termeni este minus.

4. Semnul pierdut la radical. Din cos² x = 16/25 rezultă cos x = 4/5 sau −4/5. Semnul se alege după cadran.

5. Grade și radiani amestecate. Verifică în ce unitate este dat unghiul. La calculator, verifică modul de lucru.

6. Notația. sin² x este pătratul sinusului, nu sinusul lui x².

7. Valorile inversate. sin 30° = 1/2, nu √3/2. Unghiul mic are sinusul mic.

8. tg 90°. Nu există, pentru că ar însemna o împărțire la cos 90° = 0.

Unde apar la examen?

• În gimnaziu, în clasa a VII-a: definițiile din triunghiul dreptunghic și valorile pentru 30°, 45° și 60°. Se folosesc la problemele de geometrie de la Evaluarea Națională.

• În liceu, în clasele a IX-a și a X-a: cercul trigonometric, formulele pentru sumă și unghi dublu, ecuațiile, teorema sinusurilor și a cosinusului.

• La Bacalaureat, de regulă la subiectul I, într-un exercițiu de calcul sau într-o problemă cu un triunghi.

Cum le înveți?

• pornește de la trei lucruri: definițiile, valorile uzuale și formula fundamentală;

• deduce restul măcar o dată. Formulele unghiului dublu se obțin în două rânduri din cele ale sumei;

• fă-ți o fișă pe o singură pagină și rescrie-o din memorie, săptămânal;

• desenează triunghiul sau cercul la fiecare problemă.

Despre cât de mult ajută reprizele scurte și dese am scris în articolul despre de ce sunt mai eficiente decât orele lungi.

Dacă trigonometria rămâne un zid, un profesor te poate ajuta să vezi de unde vine fiecare formulă, ceea ce scurtează mult memorarea. Pe pagina de meditații la matematică vezi anunțurile profesorilor, cu preț și durată, iar pe pagina de meditații pentru BAC compari profilurile. Pe Hola25 poți rezerva o lecție de probă de 25 sau 50 de minute, cu prețul afișat înainte de plată. Lecția are loc în sala de lecții Hola25, pe o tablă comună. Anunțurile sunt publicate de profesori, iar platforma nu le verifică studiile sau experiența declarată.

Întrebări frecvente

Care este formula fundamentală a trigonometriei?

sin² x + cos² x = 1, valabilă pentru orice unghi x. Provine din teorema lui Pitagora.

Cât este sin 30 de grade?

1/2. Tot 1/2 este și cos 60°, pentru că 30° și 60° sunt unghiuri complementare.

Cum se calculează tangenta?

Ca raport între sinus și cosinus: tg x = sin x / cos x. În triunghiul dreptunghic, este cateta opusă supra cateta alăturată.

Care este formula pentru sin 2x?

sin 2x = 2 · sin x · cos x.

Când folosesc teorema cosinusului?

Când cunoști două laturi și unghiul dintre ele și vrei a treia latură sau când cunoști toate cele trei laturi și vrei un unghi.