Numere prime: lista până la 100 și cum le recunoști

Un număr natural este prim dacă are exact doi divizori: pe 1 și pe el însuși. Primele numere prime sunt 2, 3, 5, 7 și 11. Definiția este scurtă, dar ascunde două capcane pe care le întâlnești la orice test: 1 nu este prim, iar 2 este singurul prim par. Numerele prime sunt „cărămizile” aritmeticii, pentru că orice alt număr se scrie, într-un singur fel, ca produs al lor. Mai jos găsești lista până la 100, metoda de verificare și probleme rezolvate.

Pe scurt:

• Un număr prim are exact doi divizori: 1 și el însuși.

• 1 nu este prim și nici compus. 2 este singurul număr prim par.

• Sub 100 sunt 25 de astfel de numere.

• Ca să verifici dacă un număr este prim, îl împarți doar la numerele prime al căror pătrat nu îl depășește.

• Orice număr natural mai mare decât 1 se descompune în factori primi într-un singur fel.

Ce este un număr prim?

Numerele naturale mai mari decât 1 se împart în două categorii:

• prime: au exact doi divizori. Exemplu: 7, care se împarte exact doar la 1 și la 7;

• compuse: au mai mult de doi divizori. Exemplu: 12, care se împarte la 1, 2, 3, 4, 6 și 12.

Numerele 0 și 1 nu intră în niciuna dintre categorii. Numărul 1 are un singur divizor, deci nu îndeplinește condiția de a avea exact doi.

Numărul 2 este prim, pentru că are divizorii 1 și 2. Este singurul prim par: orice alt număr par se împarte și la 2, deci are cel puțin trei divizori.

Care sunt numerele prime până la 100?

Sunt 25:

• 2, 3, 5, 7

• 11, 13, 17, 19

• 23, 29

• 31, 37

• 41, 43, 47

• 53, 59

• 61, 67

• 71, 73, 79

• 83, 89

• 97

Merită știute pe de rost cele până la 50, adică primele 15. Restul se verifică repede.

Cum verifici dacă un număr este prim?

Îl împarți, pe rând, la numerele prime, începând cu 2. Te oprești când pătratul numărului prim la care ai ajuns îl depășește pe cel verificat. Dacă până atunci nu ai găsit niciun divizor, numărul este prim.

De ce te poți opri acolo? Dacă un număr are un divizor mai mare decât radicalul lui, atunci are și unul mai mic, perechea lui. Pe acela l-ai fi găsit deja.

Exemplul 1. Este 97 prim?

• 10² = 100 depășește 97, deci verifici doar 2, 3, 5 și 7

• 97 nu este par, suma cifrelor este 16, nu se termină în 0 sau 5, iar 97 : 7 dă restul 6

• 97 este prim

Exemplul 2. Este 91 prim?

• nu se împarte la 2, la 3 sau la 5

• 91 : 7 = 13

• 91 = 7 · 13, deci este compus

Exemplul 3. Este 127 prim?

• 12² = 144 depășește 127, deci verifici 2, 3, 5, 7 și 11

• niciunul nu îl divide

• 127 este prim

Pentru primele împărțiri folosești criteriile de divizibilitate cu 2, 3 și 5. Abia de la 7 încolo împarți efectiv.

Ce numere doar par prime?

Sunt numere impare, care nu se termină în 5 și pe care mulți le iau drept prime:

• 51 = 3 · 17

• 57 = 3 · 19

• 87 = 3 · 29

• 91 = 7 · 13

• 119 = 7 · 17

• 133 = 7 · 19

• 143 = 11 · 13

Primele trei se demască ușor, cu suma cifrelor. Pentru celelalte, trebuie să ajungi cu împărțirea până la 7 sau la 11.

Ce este ciurul lui Eratostene?

Este o metodă veche de peste două mii de ani prin care găsești toate numerele prime până la un număr dat, fără nicio împărțire.

1. Scrii toate numerele de la 2 la 100.

2. Încercuiești 2 și tai toți multiplii lui.

3. Încercuiești următorul număr netăiat, 3, și tai toți multiplii lui.

4. Continui cu 5 și cu 7.

5. Te oprești la 7, pentru că următorul prim este 11, iar 11² depășește 100.

Numerele rămase netăiate sunt cele 25 de numere prime de mai sus.

Cum descompui un număr în factori primi?

Orice număr natural mai mare decât 1 se scrie ca produs de factori primi, iar scrierea este unică, în afară de ordinea factorilor. Rezultatul se numește teorema fundamentală a aritmeticii.

Împarți numărul la cel mai mic prim posibil, apoi câtul, și tot așa până ajungi la 1.

Exemplu pentru 84:

• 84 : 2 = 42

• 42 : 2 = 21

• 21 : 3 = 7

• 7 : 7 = 1

Deci 84 = 2² · 3 · 7.

Exemplu pentru 360: 360 = 2³ · 3² · 5.

Câți divizori are un număr?

După descompunere, aduni 1 la fiecare exponent și înmulțești rezultatele.

• 12 = 2² · 3. Exponenții sunt 2 și 1. Numărul de divizori este (2 + 1) · (1 + 1) = 6. Aceștia sunt 1, 2, 3, 4, 6 și 12.

• 360 = 2³ · 3² · 5. Numărul de divizori este 4 · 3 · 2 = 24.

Un număr prim are, prin definiție, 2 divizori. Un număr are un număr impar de divizori numai dacă este pătrat perfect, adică dacă toți exponenții din descompunere sunt pari.

Ce alte noțiuni se leagă de numerele prime?

Numere prime între ele. Două numere care nu au niciun divizor comun în afară de 1, de exemplu 8 și 15. Niciunul nu trebuie să fie prim.

Numere prime gemene. Perechi de prime care diferă prin 2: 3 și 5, 5 și 7, 11 și 13, 17 și 19, 29 și 31.

Câte sunt? O infinitate. Demonstrația, cunoscută din „Elementele” lui Euclid, este una dintre cele mai vechi din matematică.

La ce folosesc? Dincolo de școală, pe ele se sprijină sistemele de criptare care protejează plățile online și mesajele: este ușor să înmulțești două astfel de numere, foarte mari, dar extrem de greu să le regăsești pornind de la produs.

Probleme rezolvate

Problema 1. Suma a două numere prime este 25. Află numerele.

• 25 este impar, deci unul dintre numere este par, iar celălalt este impar

• singurul prim par este 2

• numerele sunt 2 și 23

Problema 2. Află numărul prim p pentru care p + 9 este tot prim.

• dacă p este impar, atunci p + 9 este par și mai mare decât 2, deci compus

• rămâne p = 2, iar 2 + 9 = 11 este prim

• p = 2

Problema 3. Există două numere consecutive care să fie amândouă prime?

• dintre două numere consecutive, unul este par

• singurul prim par este 2, deci singura pereche este 2 și 3

Observă tiparul: în aproape toate problemele de acest fel, cheia este paritatea și faptul că 2 este singurul prim par.

Care sunt greșelile cele mai frecvente?

1. 1 considerat prim. Are un singur divizor.

2. 2 uitat sau considerat compus. Este prim și este singurul prim par.

3. Orice număr impar luat drept prim. 9, 15, 21, 27 sunt impare și compuse.

4. Verificarea oprită prea devreme. Pentru 91 trebuie să ajungi până la 7.

5. Verificarea dusă prea departe. Nu are rost să împarți 97 la 11 sau la 13.

6. „Prime între ele” confundat cu „prime”. 8 și 15 sunt prime între ele, deși amândouă sunt compuse.

7. Descompunerea oprită la factori compuși. 84 = 4 · 21 nu este o descompunere în factori primi.

Unde apar la școală?

Noțiunea se introduce în clasa a V-a și se aprofundează în clasa a VI-a, odată cu divizibilitatea. Se folosește apoi la fracții, la radicali, unde scoaterea factorilor pornește tot de la descompunere, și la problemele de aritmetică de la concursuri.

Despre lucrul în reprize scurte am scris în articolul despre de ce sunt mai eficiente decât orele lungi.

Pe pagina de meditații la matematică vezi anunțurile profesorilor, cu nivelul la care lucrează, prețul și durata. Pe Hola25 poți rezerva o lecție de probă de 25 sau 50 de minute, cu prețul afișat înainte de plată. Lecția are loc în sala de lecții Hola25, pe o tablă comună. Anunțurile sunt publicate de profesori, iar platforma nu le verifică studiile sau experiența declarată.

Pentru părinți, un ghid mai larg este în articolul despre meditațiile la matematică.

Întrebări frecvente

Este 1 număr prim?

Nu. Un număr prim are exact doi divizori, iar 1 are unul singur. Numărul 1 nu este nici prim, nici compus.

Este 2 număr prim?

Da. Are divizorii 1 și 2 și este singurul număr prim par.

Câte numere prime sunt până la 100?

25. Cel mai mare dintre ele este 97.

Cum verific dacă un număr este prim?

Îl împarți la numerele prime, în ordine, până la cel al cărui pătrat depășește numărul. Dacă nu găsești niciun divizor, este prim.

Ce sunt numerele prime între ele?

Două numere al căror singur divizor comun este 1, de exemplu 8 și 15.