Ordinea efectuării operațiilor: reguli și exemple

Ordinea efectuării operațiilor este un set de patru reguli care hotărăsc ce calculezi mai întâi într-un exercițiu cu mai multe operații. Fără ele, același exercițiu ar putea avea mai multe rezultate: 2 + 3 · 4 ar fi 20 pentru cine calculează de la stânga la dreapta și 14 pentru cine face întâi înmulțirea. Regulile sunt o convenție, aceeași în toată lumea, și tocmai de aceea trebuie respectate la literă. Mai jos le găsești, cu exemple lucrate pas cu pas și cu exerciții la final.

Pe scurt:

1. Întâi calculele din paranteze: rotunde, apoi pătrate, apoi acolade.

2. Apoi ridicările la putere.

3. Apoi înmulțirile și împărțirile, în ordinea în care sunt scrise, de la stânga la dreapta.

4. La sfârșit, adunările și scăderile, tot de la stânga la dreapta.

Exemplu: 2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14.

Care sunt regulile, pe rând?

La școală, operațiile se împart în trei ordine:

• ordinul întâi: adunarea și scăderea;

• ordinul al doilea: înmulțirea și împărțirea;

• ordinul al treilea: ridicarea la putere.

Se efectuează întâi operațiile de ordin mai mare. Operațiile de același ordin se efectuează în ordinea în care sunt scrise. Parantezele schimbă această ordine: ce este în paranteză se calculează primul.

Ce faci când nu sunt paranteze?

Înmulțirea și împărțirea înaintea adunării și a scăderii.

• 2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14

• 20 − 8 : 4 = 20 − 2 = 18

• 18 − 6 : 3 + 2 · 4 = 18 − 2 + 8 = 24

Operațiile de același ordin, de la stânga la dreapta.

• 12 : 3 · 2 = 4 · 2 = 8, nu 12 : 6 = 2

• 10 − 4 + 3 = 6 + 3 = 9, nu 10 − 7 = 3

• 36 : 6 : 2 = 6 : 2 = 3

Aici se greșește cel mai des. Înmulțirea nu are întâietate față de împărțire și nici adunarea față de scădere. Între ele hotărăște doar ordinea în care sunt scrise.

Puterile înaintea înmulțirii.

• 2 · 3² = 2 · 9 = 18, nu 6² = 36

• 4 + 2³ · 3 = 4 + 8 · 3 = 4 + 24 = 28

Ce faci când sunt paranteze?

Calculezi întâi ce este în paranteze. În interiorul unei paranteze se aplică aceleași reguli.

• (2 + 3) · 4 = 5 · 4 = 20

• 5 + 2 · (8 − 3)² = 5 + 2 · 5² = 5 + 2 · 25 = 55

Când sunt mai multe feluri de paranteze, lucrezi din interior spre exterior: întâi cele rotunde, apoi cele pătrate, apoi acoladele.

Exemplu cu paranteze rotunde și pătrate:

[12 + 3 · (10 − 6)] : 4

• paranteza rotundă: 10 − 6 = 4

• în paranteza pătrată: 12 + 3 · 4 = 12 + 12 = 24

• la sfârșit: 24 : 4 = 6

Exemplu cu toate cele trei feluri:

{2 · [15 − (4 + 3)] + 4} : 5

• paranteza rotundă: 4 + 3 = 7

• paranteza pătrată: 15 − 7 = 8

• acolada: 2 · 8 + 4 = 16 + 4 = 20

• la sfârșit: 20 : 5 = 4

Un obicei bun: după ce ai calculat o paranteză, rescrie tot exercițiul pe rândul următor, cu rezultatul în locul ei. Durează mai mult, dar elimină cele mai multe greșeli.

Ce se întâmplă cu minusul din fața parantezei?

Paranteza se calculează întâi, apoi se scade rezultatul:

• 10 − (3 + 4) = 10 − 7 = 3

• 10 − (3 − 4) = 10 − (−1) = 11

Dacă desfaci paranteza fără să o calculezi, schimbi semnul fiecărui termen din ea: 10 − (3 + 4) = 10 − 3 − 4.

Ce rol are linia de fracție?

Linia de fracție ține loc de paranteze. Numărătorul și numitorul se calculează separat, apoi se face împărțirea.

Fracția cu numărătorul 6 + 4 și numitorul 7 − 2 înseamnă (6 + 4) : (7 − 2) = 10 : 5 = 2.

Când treci o astfel de fracție pe un singur rând sau în calculator, trebuie să pui tu parantezele. Fără ele, 6 + 4 : 7 − 2 este cu totul alt calcul.

De ce dau unele calculatoare alt rezultat?

Calculatoarele simple, cu patru operații, execută fiecare operație imediat ce apeși tasta următoare. Dacă introduci 2 + 3 · 4, ele calculează întâi 2 + 3 și apoi înmulțesc cu 4, deci afișează 20.

Calculatoarele științifice și cele din telefon, în modul științific, respectă ordinea operațiilor și afișează 14.

Rezultatul corect este 14. Dacă folosești un calculator simplu, introdu operațiile în ordinea în care trebuie efectuate.

De ce se ceartă lumea pe internet pe calcule ca 6 : 2 · (1 + 2)?

Pentru că mulți aplică o regulă care nu există: „înmulțirea se face înaintea împărțirii”. După regulile de mai sus:

• paranteza: 1 + 2 = 3

• rămâne 6 : 2 · 3

• operațiile sunt de același ordin, deci de la stânga la dreapta: 6 : 2 = 3, apoi 3 · 3 = 9

Rezultatul este 9.

Varianta fără semnul de înmulțire, 6 : 2(1 + 2), este scrisă intenționat ambiguu. De aceea matematicienii nu scriu așa. Când vrei ca un calcul să fie înțeles de toată lumea la fel, pune paranteze în plus sau folosește linia de fracție.

Se schimbă regulile la expresiile cu litere?

Nu. Într-o expresie ca 3x² + 2x, pentru x = 2, ordinea este aceeași:

• puterea: 2² = 4

• înmulțirile: 3 · 4 = 12 și 2 · 2 = 4

• adunarea: 12 + 4 = 16

De aceea ordinea operațiilor nu este un subiect doar pentru clasele mici. Stă la baza întregului calcul algebric.

Exerciții cu rezolvări

1. 7 + 3 · 5

2. 36 : 6 : 2

3. 4 + 2³ · 3

4. (4 + 2)³ : 9

5. 100 − [20 + 5 · (12 − 8)]

6. 18 − 6 : 3 + 2 · 4

Rezolvări:

1. 7 + 15 = 22

2. 6 : 2 = 3

3. 4 + 8 · 3 = 4 + 24 = 28

4. 6³ : 9 = 216 : 9 = 24

5. 100 − [20 + 5 · 4] = 100 − 40 = 60

6. 18 − 2 + 8 = 24

Care sunt greșelile cele mai frecvente?

1. Calculul de la stânga la dreapta, fără reguli. 2 + 3 · 4 nu este 20.

2. Înmulțirea făcută înaintea împărțirii care stă în fața ei. 12 : 3 · 2 este 8, nu 2.

3. Adunarea făcută înaintea scăderii care stă în fața ei. 10 − 4 + 3 este 9, nu 3.

4. Puterea aplicată după înmulțire. 2 · 3² este 18, nu 36.

5. Paranteze calculate în ordinea greșită. Se începe din interior.

6. Exercițiul nerescris după fiecare pas. Calculele „în minte”, pe sărite, produc cele mai multe erori.

7. Minusul din fața parantezei aplicat doar primului termen.

Când se învață?

Regulile se introduc treptat: în clasele primare, pentru adunare, scădere, înmulțire și împărțire, apoi pentru paranteze, iar în clasa a V-a se adaugă ridicarea la putere. Se folosesc în fiecare an care urmează.

Pentru părinți, semnele că un copil are nevoie de ajutor sunt descrise în articolul despre când este momentul potrivit pentru meditații.

Dacă exercițiile cu paranteze ies greșit în mod repetat, cauza este de obicei una singură și se găsește repede, cu cineva care se uită la felul în care lucrează copilul. Pe pagina de meditații la matematică vezi anunțurile profesorilor, cu nivelul la care lucrează, prețul și durata. Pe Hola25 poți rezerva o lecție de probă de 25 sau 50 de minute, cu prețul afișat înainte de plată. Lecția are loc în sala de lecții Hola25, pe o tablă comună. Anunțurile sunt publicate de profesori, iar platforma nu le verifică studiile sau experiența declarată.

Întrebări frecvente

Ce operație se face mai întâi, înmulțirea sau împărțirea?

Cea care apare prima, de la stânga la dreapta. Sunt operații de același ordin și niciuna nu are întâietate.

În ce ordine se calculează parantezele?

Din interior spre exterior: întâi parantezele rotunde, apoi cele pătrate, apoi acoladele.

Cât face 2 + 3 · 4?

14. Înmulțirea se face înaintea adunării: 3 · 4 = 12, apoi 2 + 12 = 14.

Când se face ridicarea la putere?

Înaintea înmulțirilor și a împărțirilor, dar după calculul parantezelor.

De ce calculatorul meu dă alt rezultat?

Calculatoarele simple execută operațiile în ordinea în care le introduci. Cele științifice respectă ordinea operațiilor. Rezultatul corect este cel obținut cu regulile.