Asimptote cu parametru la BAC: puncte excluse

Un punct în care numitorul se anulează nu este automat o asimptotă verticală. La BAC, funcțiile raționale cu parametri cer să verifici dacă numărătorul se anulează și el, ce factor se simplifică și ce limită rămâne. Separarea dintre un punct exclus cu limită finită și o asimptotă verticală este obiectivul acestui atelier.

Vei determina parametri pornind de la o asimptotă cerută, apoi vei verifica dacă graficul are o întrerupere finită sau o ramură infinită. Folosește exercițiile alături de subiectele de BAC corespunzătoare profilului tău; cerințele de analiză diferă între programe.

Regula esențială: domeniul inițial se păstrează după simplificare. O fracție poate deveni egală cu un polinom numai pe domeniul ei, iar punctul exclus nu dispare din enunț.

Schema: trei întrebări diferite

Întrebare	Calcul necesar	Concluzie posibilă
Ce se întâmplă lângă punctul exclus?	Limite laterale	Limită finită sau infinită
Ce se întâmplă la infinit?	Împărțire de polinoame ori limite	Asimptotă orizontală sau oblică
Funcția are valoare în punct?	Domeniul din enunț	Poate rămâne nedefinită chiar cu limită finită

Dreapta x = c este asimptotă verticală dacă cel puțin una dintre limitele laterale relevante este infinită. Pentru o asimptotă oblică y = mx + n, diferența dintre funcție și dreaptă trebuie să tindă la zero în direcția studiată, cu m nenul.

Aceste verificări sunt independente. O funcție poate avea simultan o asimptotă verticală și una oblică; existența uneia nu o exclude pe cealaltă.

Exemplul unu: clasificare completă cu doi parametri

Considerăm funcția f(x) = (x² + ax + b)/(x − 1), definită pentru x diferit de unu. Împărțirea polinoamelor dă identitatea:

$$f(x)=x+a+1+\frac{a+b+1}{x-1}.$$

Identitatea se verifică înmulțind cu x − 1. Partea polinomială produce x² + ax − a − 1, iar restul adăugat reface termenul b.

La plus și minus infinit, fracția de la final tinde la zero. Prin urmare, dreapta y = x + a + 1 are proprietatea de asimptotă oblică în ambele direcții, indiferent de b.

Pentru comportamentul lângă unu, notăm R = a + b + 1. Dacă R este pozitiv, fracția tinde la minus infinit din stânga și la plus infinit din dreapta. Dacă R este negativ, semnele se inversează. În ambele cazuri, x = 1 este asimptotă verticală.

Dacă R este zero, fracția dispare și f(x) = x + a + 1 pentru x diferit de unu. Limita în unu este a + 2, finită. Punctul rămâne exclus, dar dreapta x = 1 nu este asimptotă verticală.

În acest ultim caz, graficul este chiar dreapta oblică fără un punct. Prin definiția bazată pe diferența care tinde la zero, dreapta păstrează proprietatea de asimptotă; unele prezentări didactice descriu separat cazul de coincidență. Într-o cerință, precizează această situație în loc să o ascunzi într-o formulă.

Exemplul doi: reconstruiești parametrii din cerință

Pentru aceeași familie, cerem dreapta oblică y = x + 3 și absența asimptotei verticale în unu.

Compararea termenilor constanți dă a + 1 = 3, deci a = 2. Absența asimptotei verticale impune a + b + 1 = 0, deci b = −3.

Numărătorul devine x² + 2x − 3 = (x − 1)(x + 3). Funcția este x + 3 pe domeniul inițial, iar limita în unu este patru.

Dacă enunțul ar cere în schimb existența asimptotei verticale x = 1, ar trebui b diferit de minus trei. Nu am avea o singură valoare pentru b, ci o familie. Cuvintele „există” și „nu există” schimbă tipul condiției: inegalitate, respectiv egalitate.

Exemplul trei: două puncte excluse, verificări separate

Considerăm g(x) = (ax² + bx + c)/(x² − 1), cu x diferit de minus unu și unu. La infinit, limita este a, deoarece coeficienții termenilor de gradul al doilea dau raportul a/1. Formula rămâne corectă și pentru a zero: gradul numărătorului scade și limita este zero.

Dreapta y = a este asimptotă orizontală în ambele direcții. Pentru punctele excluse, calculăm separat valorile numărătorului:

• în unu: a + b + c;
• în minus unu: a − b + c.

Dacă prima valoare este nenulă, x = 1 este asimptotă verticală. Dacă este zero, factorul x − 1 se simplifică și limita este finită, fiindcă factorul rămas din numitor nu se anulează acolo.

Același raționament se aplică în minus unu, cu a doua valoare. O condiție verificată la unu nu rezolvă automat situația de la minus unu.

Exemplul patru: o singură asimptotă verticală

Alegem a = 2, b = 3 și c = −5. Numărătorul este 2x² + 3x − 5 = (x − 1)(2x + 5). După simplificare, g(x) = (2x + 5)/(x + 1), păstrând ambele excluderi inițiale.

În unu, limita este șapte supra doi, deci nu avem asimptotă verticală. În minus unu, numărătorul formei simplificate tinde la trei, iar numitorul la zero. Limitele laterale sunt minus infinit și plus infinit, în această ordine.

Asimptota orizontală este y = 2. Graficul are astfel o întrerupere finită la unu și o asimptotă verticală la minus unu. Descrierea fiecărui punct este parte din soluție, chiar dacă aceeași fracție inițială le exclude pe amândouă.

Când dispar ambele asimptote verticale

Impunem simultan a + b + c = 0 și a − b + c = 0. Scăderea ecuațiilor dă b = 0, iar apoi c = −a.

Numărătorul devine a(x² − 1), iar funcția este constantă, egală cu a, pe domeniul inițial. Ambele limite finite sunt a. Cele două puncte pot fi completate cu valoarea a pentru a obține o funcție continuă pe toată axa reală.

Nu confunda această completare cu funcția inițială. Ea definește o funcție nouă, cu domeniul extins. Dacă exercițiul cere numai asimptote, nu modifici din proprie inițiativă domeniul dat.

Exerciții cu răspunsuri

1. Pentru f(x) = (x² + ax + b)/(x − 1), cere asimptota oblică y = x − 2 și lipsa asimptotei verticale.
2. Pentru g(x) = (3x² + bx + c)/(x² − 1), cere lipsa ambelor asimptote verticale.
3. Pentru h(x) = (x + 1)/(x² − 1), clasifică punctele excluse și asimptota orizontală.

Răspunsuri: în primul caz, a = −3 și b = 2. În al doilea, b = 0 și c = −3. În al treilea, simplificarea dă 1/(x − 1): limita în minus unu este minus o jumătate, x = 1 este asimptotă verticală, iar y = 0 este asimptotă orizontală.

Explică fiecare rezultat fără să sari direct la egalități de parametri. Astfel exersezi înțelegerea condițiilor. Dacă te încurci între domeniu și limite, un profesor de matematică poate verifica exact acest pas.

Întrebări frecvente

Un zero al numitorului produce întotdeauna asimptotă verticală?

Nu. După simplificarea factorilor comuni, limita poate fi finită.

Pot elimina din domeniu mai puține puncte după simplificare?

Nu pentru funcția inițială. Forma simplificată este egală cu ea numai unde aceasta era definită.

Asimptota orizontală depinde de existența celor verticale?

Nu. Se determină prin comportamentul la infinit, separat de limitele în puncte finite.