Limite de puteri la BAC: exponent variabil

O limită în care atât baza, cât și exponentul depind de x poate părea mai complicată decât un raport. Pentru exercițiile de BAC cu bază pozitivă, logaritmarea transformă puterea într-un produs. Dificultatea reală este să păstrezi domeniul, direcția de apropiere și factorul care rămâne după folosirea unei limite remarcabile.

În acest atelier lucrezi puteri cu exponent variabil, inclusiv două situații în care baza tinde la unu, dar rezultatele sunt complet diferite. Exemplele folosesc logaritmul natural și limite elementare; verifică în subiectele de BAC programa profilului tău și felul în care este formulată cerința.

Ideea centrală: pentru o bază u(x) pozitivă, scrii u(x) la puterea v(x) sub forma exp[v(x) ln u(x)]. Mai întâi calculezi limita exponentului, apoi folosești continuitatea exponențialei sau comportamentul ei la infinit.

Schema de lucru și condițiile ei

Pas	Ce verifici	De ce contează
Domeniu	u(x) este pozitivă lângă punctul studiat	Logaritmul real trebuie să existe
Transformare	L(x) = v(x) ln u(x)	Produsul este mai ușor de analizat
Normalizare	Izolezi ln(1+t)/t, cu t spre zero	Limita remarcabilă devine aplicabilă
Concluzie	Revii la exp[L(x)]	Rezultatul exponentului nu este rezultatul puterii

Dacă L(x) tinde la un număr real c, puterea tinde la e la puterea c. Dacă L(x) tinde la plus infinit, puterea tinde la plus infinit. Dacă L(x) tinde la minus infinit, puterea tinde la zero.

Când limitele laterale ale exponentului sunt diferite, le studiezi separat. Nu scrii o singură limită bilaterală înainte de această verificare.

Exemplul unu: două constante care contribuie la rezultat

Calculăm limita lui (1 + 3x) la puterea 2/x, când x tinde la zero. Baza este pozitivă pentru x mai mare decât minus o treime, deci este pozitivă într-o vecinătate a lui zero.

Logaritmul expresiei este 2 ln(1 + 3x)/x. Îl rescriem astfel:

$$\frac{2\ln(1+3x)}{x}=6\cdot\frac{\ln(1+3x)}{3x}.$$

Ultimul raport tinde la unu. Logaritmul puterii tinde la șase, deci limita cerută este e la puterea șase.

Greșeala tipică este răspunsul e la puterea doi, obținut ignorând coeficientul din interiorul logaritmului. O altă greșeală este răspunsul șase, fără revenirea de la logaritm la expresia inițială.

Generalizarea este utilă: pentru constante reale a și b, limita lui (1 + ax) la puterea b/x, la zero, este e la puterea ab. Dacă a este zero, baza este identic unu și rezultatul este unu; nu împarți prin a ca să justifici acest caz.

Exemplul doi: exponentul are și un termen constant

Calculăm limita lui (1 + 2/x) la puterea 3x + 1, pentru x spre plus infinit. Baza este pozitivă pentru toate valorile pozitive ale lui x.

Logaritmul expresiei se scrie:

$$(3x+1)\ln(1+2/x)=\left(6+\frac2x\right)\frac{\ln(1+2/x)}{2/x}.$$

Primul factor tinde la șase, al doilea la unu. Rezultatul final este din nou e la puterea șase.

Termenul constant din exponent nu schimbă aici limita. Explicația nu este că orice constantă poate fi ignorată, ci că produsul ei cu ln(1 + 2/x) tinde la zero. La o altă bază, același argument ar putea să nu fie valabil.

La minus infinit, baza este de asemenea pozitivă pentru x suficient de negativ. Aceeași transformare arată același rezultat. Verificarea domeniului se face pe coada negativă, fără să pretindem că expresia există pentru toate valorile intermediare.

Exemplul trei: o compunere trigonometrică

Pentru limita lui (1 + sin x) la puterea 1/x, când x tinde la zero, baza este pozitivă în apropierea punctului. Logaritmul este ln(1 + sin x)/x.

Îl descompunem în produsul ln(1 + sin x)/sin x și sin x/x. Pentru x suficient de mic și nenul, împărțirea prin sin x este permisă. Ambii factori tind la unu, așadar limita puterii este e.

Unghiul este măsurat în radiani în limita sin x/x. Acest detaliu nu trebuie schimbat prin introducerea unui calculator setat pe grade.

Dacă exponentul ar fi 2/x, logaritmul ar tinde la doi, iar rezultatul ar fi e la pătrat. Dacă baza ar fi 1 + sin(3x), cu exponent 1/x, rezultatul ar fi e la puterea trei.

Exemplul patru: aceeași bază aparentă, altă scară

Considerăm (1 + x²) la puterea 1/x, la zero. Logaritmul este:

$$\frac{\ln(1+x^2)}x=x\cdot\frac{\ln(1+x^2)}{x^2}.$$

Raportul tinde la unu, dar factorul x tinde la zero. Logaritmul tinde la zero, deci puterea tinde la unu.

Pentru (1 + x²) la puterea 1/x², logaritmul este chiar raportul remarcabil, care tinde la unu. Puterea tinde acum la e.

Aceste două exemple arată de ce forma verbală „unu la infinit” nu determină răspunsul. Ritmul apropierii bazei de unu trebuie comparat cu ritmul creșterii exponentului. Calculul face această comparație precisă.

Exemplul cinci: limite laterale diferite

Studiază (1 + x) la puterea 1/x², în vecinătatea lui zero. Baza este pozitivă pentru x mai mare decât minus unu.

Logaritmul se scrie [ln(1 + x)/x] înmulțit cu 1/x. Primul factor tinde la unu și este pozitiv lângă zero. Al doilea tinde la plus infinit din dreapta și la minus infinit din stânga.

Prin urmare, puterea tinde la plus infinit din dreapta și la zero din stânga. Limita bilaterală nu există, nici ca număr real, nici ca infinit cu același semn.

Nu atribui automat valoarea e unei puteri a cărei bază tinde la unu. Aici aceeași bază produce două comportamente laterale incompatibile, pentru că exponentul crește prea repede față de abaterea bazei de la unu.

Exerciții cu răspunsuri explicate

1. Calculează limita lui (1 − 2x) la puterea 3/x, la zero.
2. Calculează limita lui (1 + 4/x) la puterea x/2, la plus infinit.
3. Calculează limita lui (1 + x²) la puterea 5/x², la zero.
4. Calculează limita lui (1 + x) la puterea 1/√x, la zero din dreapta.

Răspunsuri: e la puterea minus șase; e la pătrat; e la puterea cinci; unu. În ultimul caz, logaritmul devine √x înmulțit cu ln(1 + x)/x și tinde la zero. Domeniul impune apropierea din dreapta.

Pentru fiecare răspuns, scrie mai întâi limita logaritmului. Această separare ajută învățarea prin înțelegere, fiindcă poți identifica exact unde s-a pierdut un coeficient. Dacă transformările rămân neclare, discută două exemple contrastante cu un profesor de matematică.

Întrebări frecvente

Pot logaritma o bază negativă?

Nu în această metodă cu logaritmi reali. Trebuie analizat mai întâi domeniul expresiei inițiale; puterea reală variabilă nu este definită în general pentru baze negative.

Dacă logaritmul tinde la zero, puterea tinde la zero?

Nu. Exponențiala lui zero este unu, deci puterea tinde la unu.

Trebuie folosită regula lui l'Hospital?

Nu pentru exemplele de aici. Limita logaritmică remarcabilă și factorizarea corectă sunt suficiente.