BAC mate-info: problemă cu funcție și logaritm

Într-o problemă de analiză pentru pregătirea BAC la matematică-informatică, aceeași funcție poate apărea în cerințe despre derivată, monotonie, inegalități și integrale. O rezolvare eficientă păstrează rezultatele utile și le refolosește, fără să piardă domeniul sau ipotezele fiecărei metode.

Acest atelier original urmărește funcția f(x) = ln x + 1/x, definită pentru x pozitiv. Nu este un subiect oficial și nu prezice structura unei sesiuni. Folosește-l alături de programa aplicabilă și de subiectele de BAC ale profilului tău.

Obiectiv: să legi cerințele într-o demonstrație coerentă. Derivata va produce monotonia, monotonia va produce o inegalitate și numărul soluțiilor unei ecuații, iar expresia funcției va permite două integrale diferite.

Harta problemei

Cerință	Informația folosită
Derivata	Reguli pentru logaritm și invers
Monotonie și minim	Semnul derivatei pe domeniul pozitiv
Limite la capete	Comparația ritmurilor de creștere
Ecuația f(x) = m	Imaginile celor două ramuri monotone
Integrala lui f	Primitiva logaritmului și a lui 1/x
Integrala lui xf'(x)	Forma simplificată a derivatei

Încearcă fiecare cerință înainte să citești soluția. La final, verifică dacă poți explica de ce rezultatul unei etape este suficient pentru etapa următoare.

Domeniul și derivata

Logaritmul natural impune x pozitiv, iar fracția impune x nenul. Intersecția condițiilor este intervalul pozitiv. Pe acest interval, funcția este continuă și derivabilă.

Derivata este 1/x − 1/x². Aducând la același numitor, obținem:

$$f'(x)=\frac{x-1}{x^2}.$$

Numitorul este strict pozitiv pe domeniu, deci semnul derivatei este dat de x − 1. Această formă este mai utilă pentru monotonie decât diferența inițială de fracții.

Nu include zero în tabel ca punct al funcției. El este un capăt exclus al domeniului, important pentru limită, dar nu poate fi punct de extrem sau soluție a unei ecuații f(x) = m.

Monotonie și minim global

Pe intervalul dintre zero și unu, derivata este negativă. După unu, derivata este pozitivă. Funcția descrește strict până la unu și crește strict după unu.

Valoarea f(1) este unu. Prin urmare, minimul global este unu, atins numai în x = 1. Concluzia este globală deoarece cele două intervale acoperă întregul domeniu și variația se îndreaptă spre aceeași valoare minimă.

Obținem inegalitatea ln x + 1/x cel puțin unu, pentru orice x pozitiv. Echivalent, ln x este cel puțin 1 − 1/x. Egalitatea apare numai în unu.

Nu schimba sensul inegalității când muți termenul 1/x. Operația este o scădere din ambele membre, nu o înmulțire cu un număr negativ. Domeniul pozitiv trebuie păstrat lângă rezultatul final.

Limita la zero din dreapta

Când x tinde la zero pozitiv, ln x tinde la minus infinit, iar 1/x la plus infinit. Nu putem aduna formal cele două simboluri pentru a decide rezultatul.

Punem t = 1/x, astfel încât t tinde la plus infinit. Funcția devine t − ln t, pe care o scriem t[1 − ln t/t]. Raportul ln t/t tinde la zero, deci paranteza tinde la unu.

Rezultă că f(x) tinde la plus infinit când x tinde la zero din dreapta. Termenul 1/x domină în acest caz logaritmul negativ. Dreapta x = 0 este asimptotă verticală din partea domeniului.

Justificarea raportului logaritmic poate folosi limita cunoscută din analiza de liceu sau o metodă admisă în programa studiată. Nu înlocui comparația ritmurilor prin afirmația vagă că „infinitul pozitiv este mai mare”.

Limita la plus infinit

Când x tinde la plus infinit, ln x tinde la plus infinit și 1/x tinde la zero. Prin urmare, f(x) tinde la plus infinit.

Funcția nu are asimptotă orizontală în această direcție. Pentru o asimptotă oblică cu pantă nenulă, ar trebui ca f(x)/x să tindă la un număr nenul. Aici raportul este ln x/x + 1/x² și tinde la zero, deci nu există o astfel de asimptotă oblică.

Nu confunda panta limită zero cu existența automată a unei asimptote orizontale. Pentru aceasta din urmă, funcția însăși ar trebui să aibă limită finită, ceea ce nu se întâmplă.

Numărul soluțiilor ecuației f(x) = m

Pe ramura dintre zero și unu, funcția descrește de la plus infinit spre unu. Pe ramura după unu, crește de la unu spre plus infinit. Continuitatea și monotonia strictă stabilesc imaginile acestor ramuri.

Dacă m este mai mic decât unu, ecuația nu are soluții, deoarece ar încălca minimul global. Dacă m este unu, există o singură soluție, x = 1.

Dacă m este mai mare decât unu, există exact două soluții: una între zero și unu și una mai mare decât unu. Existența vine din continuitate și din limite, iar unicitatea pe fiecare ramură vine din monotonia strictă.

Nu trebuie să exprimi aceste soluții prin formule elementare. Cerința privind numărul lor este rezolvată prin studiul funcției. Punctul de minim se numără o singură dată, chiar dacă este frontieră comună pentru două intervale.

Integrala funcției între unu și e

Calculăm integrala lui ln x + 1/x între unu și e. O primitivă a logaritmului este x ln x − x, iar o primitivă a lui 1/x pe domeniul pozitiv este ln x.

Alegem F(x) = x ln x − x + ln x. În e, valoarea este unu. În unu, valoarea este minus unu. Diferența F(e) − F(1) este doi.

Verificarea prin derivare este directă: derivata lui x ln x este ln x + 1, care se combină cu derivata lui minus x. Rămân ln x și 1/x, exact funcția inițială.

Paranteza la capătul inferior contează: unu minus minus unu este doi, nu zero. Nu omite capătul inferior doar fiindcă logaritmul lui unu este zero; termenul minus x rămâne nenul.

O integrală care folosește derivata deja calculată

Pentru integrala lui xf'(x) între unu și e, nu calcula din nou derivata. Din forma găsită, xf'(x) = (x − 1)/x = 1 − 1/x.

O primitivă este x − ln x. Evaluarea dă (e − 1) − 1 = e − 2. Rezultatul este pozitiv, în acord cu faptul că f' este nenegativă pe intervalul dintre unu și e.

Această cerință arată avantajul simplificării derivatei la început. O formulă bine organizată reduce calculul ulterior și face semnul rezultatului ușor de verificat.

Cum verifici întregul lanț

Păstrează domeniul pozitiv la fiecare cerință. Verifică derivata prin două forme echivalente, apoi folosește numai semnul numărătorului după ce ai justificat pozitivitatea numitorului.

La ecuația cu parametru, menționează separat existența și unicitatea pe ramuri. La integrale, verifică primitivele și ambele evaluări. Dacă un rezultat contrazice minimul sau semnul funcției, revino la primul pas unde informațiile nu se mai potrivesc.

Această abordare susține învățarea prin înțelegere. Pentru feedback pe redactarea completă, poți lucra problema cu un profesor de matematică, păstrând soluția ta inițială pentru comparație.

Întrebări frecvente

Minimul global cere neapărat calcularea limitelor?

Aici monotonia pe întregul domeniu și valoarea din punctul de schimbare sunt suficiente. Limitele sunt utile ulterior pentru imaginile ramurilor.

De ce ecuația are două soluții pentru m mai mare decât unu?

Fiecare dintre cele două ramuri continue și strict monotone atinge nivelul o singură dată.

Este acest articol un subiect oficial?

Nu. Este un atelier original care leagă metode de analiză folosite în pregătirea pentru BAC; programa și modelele oficiale se verifică separat.