BAC științe ale naturii: problemă cu matrice

O problemă de matrice pentru pregătirea BAC la științe ale naturii poate lega mai multe cerințe de aceeași familie: determinant, inversă, produs și sistem liniar. Avantajul este că rezultatele anterioare pot fi refolosite. Riscul este să aplici o formulă validă pentru un parametru și în cazurile în care matricea devine singulară.

Acest atelier original urmărește o singură familie de matrice de ordinul doi. Nu este un subiect oficial și nu afirmă structura unei sesiuni viitoare. Verifică programa M_șt-nat aplicabilă și compară exercițiul cu subiectele de BAC ale profilului tău.

Obiectiv: la final, fiecare calcul trebuie să susțină următorul pas, iar valorile excluse ale parametrului trebuie să rămână vizibile.

Familia și cerințele

Considerăm matricea:

$$A(t)=\begin{pmatrix}t&1\\2&t\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb R.$$

Vom calcula determinantul, inversa pentru t = 2, soluția unui sistem, produsul a două matrice din familie și cazurile singulare ale unei alte ecuații matriciale.

Cerință	Rezultat care va fi refolosit
Determinant	Valorile pentru care există inversa
Inversa lui A(2)	Rezolvarea unui sistem concret
Produsul A(s)A(t)	Compararea ordinii factorilor
Determinant egal cu suma diagonală	Ecuație în parametru
Sistem la valori singulare	Compatibilitate fără inversă

Înainte de calcul, observă pozițiile elementelor. Cele două elemente din afara diagonalei principale sunt unu și doi, deci matricea nu este simetrică, indiferent de t.

Pasul unu: determinant și inversabilitate

Pentru o matrice de ordinul doi, determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul celorlalte două. Aici obținem det A(t) = t² − 2.

Matricea este inversabilă dacă și numai dacă t² − 2 este nenul. Valorile excluse sunt t = √2 și t = −√2.

Nu scrie doar t diferit de doi. Ecuația t² = 2 are două rădăcini, iar niciuna nu este doi. Această verificare simplă previne o eroare care s-ar transmite în toate cerințele următoare.

Pentru parametrii admiși, formula inversei este:

$$A(t)^{-1}=\frac1{t^2-2}\begin{pmatrix}t&-1\\-2&t\end{pmatrix}.$$

Condiția t diferit de plus și minus radical din doi trebuie păstrată lângă formulă. Ea explică de ce nu putem folosi aceeași expresie în cazurile singulare.

Pasul doi: inversa pentru o valoare concretă

Pentru t = 2, determinantul este doi. Inversa este matricea cu liniile (1, −1/2) și (−1, 1).

Verificăm prin înmulțire cu A(2), ale cărei linii sunt (2, 1) și (2, 2). Elementul din prima linie și prima coloană al produsului este 2 ori 1 plus 1 ori minus unu, adică unu.

Elementul din prima linie și a doua coloană este 2 ori minus o jumătate plus unu, adică zero. A doua linie produce, în același mod, zero și unu. Produsul este matricea identitate.

Verificarea confirmă atât semnele, cât și factorul de împărțire. Dacă ai uitat determinantul din față, produsul nu ar mai fi identitatea.

Pasul trei: sistemul se rezolvă cu aceeași matrice

Considerăm sistemul 2x + y = 4 și 2x + 2y = 6. Forma matricială este A(2)X = B, unde X are componentele x și y, iar B are componentele patru și șase.

Înmulțim la stânga cu inversa lui A(2). Rezultă x = 4 − 6/2 = 1 și y = −4 + 6 = 2.

Controlul direct este obligatoriu de simplu: prima ecuație devine doi plus doi egal patru, iar a doua doi plus patru egal șase.

Poți verifica și prin eliminare, scăzând prima ecuație din a doua. Metodele diferite trebuie să conducă la aceeași soluție. Dacă nu, compară calculele înainte să continui problema.

Pasul patru: două matrice din aceeași familie

Calculăm produsul A(s)A(t), cu s și t reali. Prin regula linie ori coloană obținem:

$$A(s)A(t)=\begin{pmatrix}st+2&s+t\\2(s+t)&st+2\end{pmatrix}.$$

Expresia este neschimbată când inversăm s și t. Prin urmare, A(s)A(t) = A(t)A(s) pentru această familie.

Nu generaliza concluzia la toate matricele. Înmulțirea matricelor nu este comutativă în general. Aici egalitatea a fost demonstrată prin forma particulară a produsului.

O observație utilă este A(t) = tI + B, unde B are diagonala zero și elementele din afara diagonalei unu și doi. Ambele matrice din produs sunt construite din aceeași matrice B și din identitate, ceea ce explică structura simetrică în parametri.

Pasul cinci: o condiție numerică asupra matricei

Cerem ca determinantul lui A(t) să fie egal cu suma elementelor de pe diagonala principală. Această sumă este 2t, deci ecuația devine t² − 2 = 2t.

Rescriem t² − 2t − 2 = 0 și obținem t = 1 − √3 sau t = 1 + √3. Ambele valori sunt reale și nenule.

Pentru aceste soluții, determinantul este 2t, deci este nenul. Ambele matrice sunt inversabile. Nu trebuie să calculezi din nou pătratele cu radicali: egalitatea impusă oferă deja o verificare scurtă.

Precizează însă motivul pentru care t nu este zero. Numărul zero nu satisface ecuația inițială, fiindcă ar da minus doi egal zero.

Pasul șase: ce se întâmplă când inversa nu există

Studiază A(t)X = B, unde B are componentele unu și √2, pentru cele două valori singulare ale lui t.

Dacă t = √2, a doua linie a matricei este de √2 ori prima. Și al doilea termen liber este de √2 ori primul. Sistemul este compatibil și are o infinitate de soluții: alegem x = r, iar y = 1 − √2r, cu r real.

Dacă t = −√2, a doua linie este de minus √2 ori prima. Compatibilitatea ar cere al doilea termen liber egal cu minus √2, dar el este plus √2. Sistemul este incompatibil.

Aceste două cazuri arată că determinantul zero nu înseamnă automat „nicio soluție”. El spune că nu există soluție unică prin inversă; compatibilitatea se verifică separat folosind ecuațiile.

Cum verifici o problemă cu cerințe legate

Păstrează într-un colț formula determinantului și valorile excluse. Când apare o nouă valoare a parametrului, verifică mai întâi dacă se află în cazul inversabil sau singular.

La produse, scrie cel puțin un element complet pentru a fixa ordinea linie-coloană. La sisteme, verifică soluția în ecuațiile inițiale. La identități cu parametri, verifică dacă egalitatea trebuie să fie adevărată pentru toate valorile sau numai pentru anumite soluții.

Aceste controale susțin învățarea prin înțelegere. Dacă o eroare se propagă între cerințe, un profesor de matematică te poate ajuta să identifici primul pas care trebuie corectat.

Întrebări frecvente

Pot folosi inversa când determinantul este zero?

Nu. În acest caz, analizezi sistemul direct, fără formula inversei.

Matricele din orice familie comută?

Nu. Pentru familia de aici, egalitatea a fost demonstrată explicit prin produs.

Determinant zero înseamnă sistem incompatibil?

Nu. Sistemul poate fi incompatibil sau poate avea o infinitate de soluții, în funcție de termenii liberi.