BAC M_tehnologic: șase exerciții de recapitulare

Pentru pregătirea la matematică, profil tehnologic, un set scurt de exerciții poate arăta rapid ce calcule de bază sunt sigure și unde apar greșeli. Scopul nu este să reciți formulele, ci să alegi operația potrivită, să păstrezi condițiile și să verifici răspunsul.

Mai jos ai șase exerciții originale de recapitulare pentru teme elementare din pregătirea M_tehnologic. Setul nu este un subiect oficial și nu promite structura unei sesiuni viitoare. Verifică programa aplicabilă și compară nivelul cu subiectele de BAC ale profilului tău.

Lucrează întâi fără soluții, apoi revino asupra fiecărui pas greșit. Timpul de douăzeci de minute poate fi folosit ca reper personal de antrenament, nu ca limită oficială sau garanție privind punctajul.

Fișa de lucru

Exercițiu	Cerință	Ce verifică
1	Simplifică √72 − 2√8	Extragerea factorilor de sub radical
2	Rezolvă (2x − 1)/3 + 1 = x	Ecuație liniară cu fracție
3	Rezolvă 2 la puterea x + 1 egal cu 8	Egalarea exponenților
4	Află minimul lui x² − 4x + 1 pe R	Forma canonică a parabolei
5	Alege uniform un număr de două cifre; află probabilitatea divizibilității cu cinci	Numărare și probabilitate
6	Pentru un unghi ascuțit cu sinusul trei cincimi, află cosinusul	Identitate trigonometrică și semn

La exercițiul trei, exponentul este întreaga expresie x + 1, adică 2^(x + 1). Scrierea parantezelor face parte din citirea corectă a enunțului.

Exercițiul unu: radicali cu aceeași parte irațională

Descompunem 72 în 36 înmulțit cu doi și 8 în patru înmulțit cu doi. Rezultă √72 = 6√2 și √8 = 2√2.

Expresia devine 6√2 − 2 ori 2√2, adică 6√2 − 4√2 = 2√2. Factorul doi din fața celui de-al doilea radical trebuie înmulțit cu întregul rezultat al simplificării.

Nu scădea numerele de sub radical pentru a scrie √(72 − 16). Radicalul nu se distribuie peste diferență. Regula folosită este scoaterea unui factor pătrat perfect dintr-un produs de numere nenegative.

Control: √72 este aproximativ 8,485, iar 2√8 este aproximativ 5,657. Diferența este aproximativ 2,828, în acord cu 2√2. Aproximarea verifică plauzibilitatea, dar răspunsul exact rămâne cu radical.

Exercițiul doi: eliminarea numitorului

Ecuația este (2x − 1)/3 + 1 = x. Numitorul este constanta nenulă trei, deci domeniul este R și putem înmulți întreaga ecuație cu trei.

Obținem 2x − 1 + 3 = 3x, apoi 2x + 2 = 3x. Scăzând 2x din ambele părți, rezultă x = 2.

Verificarea în ecuația inițială dă (4 − 1)/3 + 1 = 1 + 1 = 2. Ambele părți sunt egale.

Greșeala frecventă este înmulțirea cu trei numai a fracției, nu și a celorlalți termeni. Operația trebuie aplicată întregului membru stâng și întregului membru drept. Parantezele pot face acest pas mai clar.

Exercițiul trei: aceeași bază

Scriem opt ca doi la puterea trei. Ecuația devine 2^(x + 1) = 2³. Funcția exponențială cu baza doi este injectivă, deci exponenții sunt egali: x + 1 = 3.

Rezultă x = 2. Înlocuirea produce 2³ = 8, deci răspunsul este verificat.

Nu transforma 2^(x + 1) în 2^x + 1. Regula corectă este 2^(x + 1) = 2^x înmulțit cu doi. Confuzia dintre suma exponenților și suma valorilor schimbă complet ecuația.

Dacă bazele nu sunt imediat egale, caută mai întâi o rescriere prin puteri cunoscute. Nu este obligatoriu să introduci logaritmi într-un exercițiu care se reduce direct la aceeași bază.

Exercițiul patru: minim fără derivată

Pentru f(x) = x² − 4x + 1, completăm pătratul: f(x) = (x − 2)² − 3. Pătratul este nenegativ pentru orice x real.

Rezultă f(x) cel puțin minus trei, cu egalitate atunci când x − 2 = 0. Minimul este minus trei și se atinge în x = 2.

Distinge cele două informații: abscisa punctului de minim este doi, iar valoarea minimă este minus trei. Dacă enunțul cere coordonatele vârfului, răspunsul este (2, −3).

Control: f(1) și f(3) sunt ambele minus doi, mai mari decât minimul. Egalitatea acestor valori este compatibilă cu simetria parabolei față de dreapta x = 2.

Exercițiul cinci: spațiul de rezultate

Numerele naturale de două cifre sunt de la zece la nouăzeci și nouă, inclusiv. Sunt nouăzeci de rezultate posibile, iar alegerea uniformă înseamnă că toate au aceeași probabilitate.

Multiplii lui cinci sunt zece, cincisprezece și așa mai departe până la nouăzeci și cinci. Numărul lor este (95 − 10)/5 + 1 = 18.

Probabilitatea este 18/90 = 1/5. Poți număra și după ultima cifră: zero sau cinci, fiecare cu nouă posibilități pentru cifra zecilor, deci optsprezece numere.

Nu include zero sau cinci în lista numerelor de două cifre. Nu folosi o sută la numitor doar fiindcă numerele sunt scrise cu două poziții. Mulțimea alegerii trebuie citită exact.

Exercițiul șase: alegerea semnului

Pentru un unghi α ascuțit, avem sin α = 3/5. Identitatea fundamentală dă cos² α = 1 − sin² α = 1 − 9/25 = 16/25.

Din această egalitate ar rezulta două semne posibile pentru cosinus dacă nu am ști poziția unghiului. Dar α este ascuțit, deci cosinusul este pozitiv. Rezultă cos α = 4/5.

Condiția despre unghi nu este decorativă. Pentru un unghi din cadranul al doilea cu același sinus, cosinusul ar fi negativ. În problema dată, informația „ascuțit” selectează semnul corect.

Cum folosești greșelile pentru următoarea sesiune

Notează lângă fiecare exercițiu tipul erorii: citire, formulă, calcul sau verificare. O greșeală de semn cere alt antrenament decât necunoașterea formulei probabilității.

Refă numai exercițiile greșite, apoi schimbă datele păstrând structura. De exemplu, înlocuiește numărul opt cu șaisprezece în ecuația exponențială sau schimbă coeficientul liniar al parabolei. Explică ce pas rămâne identic și ce rezultat se modifică.

Această practică sprijină învățarea prin înțelegere. Dacă aceeași eroare reapare, poți cere feedback punctual unui profesor de matematică, folosind chiar rezolvarea ta scrisă.

O a doua rundă, cu date schimbate

Pentru radicali, simplifică √50 − √18. Rezultatul este tot 2√2, dar factorii pătrați extrași sunt douăzeci și cinci și nouă. Explică de ce aceeași valoare finală nu înseamnă că datele pot fi ignorate.

Pentru ecuații, rezolvă (x + 2)/2 = x și apoi 3 la puterea x egal cu douăzeci și șapte. Răspunsurile sunt doi și trei. În primul caz elimini un numitor constant; în al doilea folosești injectivitatea exponențialei. Nu amesteca justificările celor două metode.

Pentru parabolă, caută minimul lui x² − 6x + 4. Forma canonică este (x − 3)² − 5, deci valoarea minimă este minus cinci, atinsă în trei.

Pentru probabilitate, înlocuiește divizibilitatea cu cinci prin divizibilitatea cu zece. Există nouă cazuri favorabile, iar probabilitatea devine o zecime. Pentru trigonometrie, schimbă sinusul în cinci treisprezecimi, păstrând unghiul ascuțit. Cosinusul devine douăsprezece treisprezecimi. La fiecare răspuns, păstrează justificarea condiției folosite, nu doar rezultatul numeric.

Întrebări frecvente

Acest set este un model oficial de BAC?

Nu. Este un atelier original de recapitulare. Structura și programa oficială se verifică separat pentru sesiunea ta.

Pot folosi derivate la problema parabolei?

Da, dacă metoda este cunoscută și justificată, dar completarea pătratului oferă aici o soluție directă.

De ce verific răspunsurile dacă am terminat calculul?

Înlocuirea, semnul și estimarea numerică pot identifica rapid erori pe care simpla recitire a formulelor nu le observă.