Inegalități cu integrale la BAC: încadrare și limite

O integrală definită poate fi estimată fără să îi găsești primitiva. La BAC, inegalitățile dintre funcții se pot transforma în inegalități dintre integrale, dacă intervalul și sensul comparației sunt păstrate. Metoda este utilă pentru încadrări, demonstrarea pozitivității și limite ale unor șiruri de integrale.

Acest atelier explică alegerea unor funcții mai simple, îmbunătățirea unei încadrări și rolul factorilor nenegativi. Exemplele pot fi continuate cu subiectele de BAC, în funcție de programa profilului tău.

Regula de bază: dacă f(x) este cel mult g(x) pe întregul interval de la a la b, cu a mai mic decât b, atunci integrala lui f este cel mult integrala lui g, pentru funcții integrabile.

Compară pe întregul interval

O inegalitate verificată în câteva puncte nu este suficientă. Trebuie să fie adevărată pentru toate valorile argumentului din interval. Poți demonstra acest lucru prin semnul diferenței, prin monotonie sau printr-o transformare algebrică.

Dacă m și M sunt limite constante pentru f, adică m cel mult f(x) cel mult M, atunci integrala se află între m(b − a) și M(b − a). Lungimea intervalului nu trebuie omisă.

Situație	Atenție necesară
Înmulțești cu un factor pozitiv	Sensul se păstrează
Înmulțești cu un factor negativ	Sensul se inversează
Factorul își schimbă semnul	Împarți intervalul sau alegi altă comparație
Inversezi capetele integralei	Valoarea își schimbă semnul

În exemplele de aici, funcțiile sunt continue pe intervale închise, astfel încât integralele obișnuite există.

Exemplul unu: o încadrare simplă

Considerăm I, integrala de la zero la unu din x/(1 + x). Pentru x din acest interval, numitorul este între unu și doi, deci 1/2 cel mult 1/(1 + x) cel mult unu.

Înmulțim cu x, care este nenegativ. Obținem x/2 cel mult x/(1 + x) cel mult x. Prin integrare, rezultă:

$$\frac14\leq I\leq\frac12.$$

Inegalitățile sunt de fapt stricte. Diferențele dintre integrand și cele două funcții de comparație sunt pozitive în interiorul intervalului, cu excepția unor capete. Prin urmare, contribuția lor integrală este pozitivă.

Nu am calculat încă primitiva. Încadrarea rezultă numai din valorile posibile ale numitorului și din faptul că x nu schimbă sensul comparației.

Exemplul doi: un majorant mai bun

Pe intervalul de la zero la unu avem 1/(1 + x) cel mult 1 − x/2. Pentru verificare, înmulțim cu numitorul pozitiv. Inegalitatea devine unu cel mult 1 + x/2 − x²/2, echivalentă cu x(1 − x) nenegativ.

Înmulțind cu x, obținem x/(1 + x) cel mult x − x²/2. Integrarea dă I cel mult 1/2 − 1/6 = 1/3.

Acest majorant este mai bun decât o jumătate, deoarece este mai apropiat de integrală și mai mic. Din nou, inegalitatea este strictă în interior, deci I este strict mai mic decât o treime.

Alegerea unei funcții de comparație mai apropiate poate îmbunătăți rezultatul fără un calcul exact. Important este să demonstrezi comparația, nu doar să observi că ea pare plauzibilă pe un desen.

Exemplul trei: împarți intervalul pentru un minorant mai bun

Pe prima jumătate a intervalului, de la zero la o jumătate, avem 1/(1 + x) cel puțin două treimi. Pe a doua jumătate, avem cel puțin o jumătate.

Rezultă că I este cel puțin două treimi din integrala lui x între zero și o jumătate, plus o jumătate din integrala lui x între o jumătate și unu.

Prima contribuție este 1/12, iar a doua este 3/16. Suma este 13/48, mai mare decât vechiul minorant 1/4. Am obținut încadrarea strictă 13/48 < I < 1/3.

Pentru control, integrala exactă este 1 − ln 2, aproximativ 0,307, care se află între cele două limite. Calculul exact confirmă metoda, dar nu era necesar pentru demonstrarea încadrării.

Exemplul patru: un șir de integrale

Definim Iₙ ca integrala de la zero la unu din x la puterea n împărțit la 1 + x, pentru n întreg nenegativ. Factorul x la puterea n este nenegativ.

Din aceeași încadrare a numitorului rezultă:

$$\frac1{2(n+1)}\leq I_n\leq\frac1{n+1}.$$

Am folosit integrala lui x la puterea n între zero și unu, egală cu 1/(n + 1). Ambele limite ale încadrării tind la zero când n crește fără limită. Prin teorema cleștelui, Iₙ tinde la zero.

Nu trebuie să calculezi fiecare integrală și nici să găsești o formulă explicită în n. Încadrarea uniformă pe interval este suficientă pentru limita șirului.

O identitate care verifică șirul

Adunăm integranzii pentru Iₙ și Iₙ₊₁. Numărătorul devine x la puterea n înmulțit cu 1 + x, iar factorul se simplifică cu numitorul.

Rezultă Iₙ + Iₙ₊₁ = 1/(n + 1). Identitatea este compatibilă cu faptul că ambele integrale sunt pozitive și tind la zero.

De asemenea, pe intervalul unitate, x la puterea n plus unu este cel mult x la puterea n. Împărțirea prin 1 + x păstrează sensul, deci șirul Iₙ este descrescător. În interior, inegalitatea este strictă, așadar și scăderea este strictă.

Aceste observații sunt verificări suplimentare. Ele nu trebuie confundate: monotonia și pozitivitatea arată convergența șirului, dar încadrarea de mai sus identifică limita ca fiind zero.

Ce faci când integrandul poate fi negativ

Dacă o funcție este cuprinsă între minus doi și unu pe un interval de lungime trei, integrala ei este între minus șase și trei. Nu poți afirma că este pozitivă doar fiindcă limita superioară este pozitivă.

Pentru o estimare a modulului, poți folosi faptul că modulul integralei este cel mult integrala modulului. Dacă |f(x)| este cel mult M, atunci modulul integralei este cel mult M(b − a).

De exemplu, pentru o funcție cu modulul cel mult doi pe un interval de lungime trei, modulul integralei este cel mult șase. Aceasta controlează mărimea rezultatului fără să îi stabilească semnul.

Exerciții cu răspunsuri

1. Încadrează integrala lui x²/(1 + x) între zero și unu folosind numitorul între unu și doi.
2. O funcție continuă are valori între doi și cinci pe intervalul dintre unu și patru. Încadrează integrala.
3. Ce poți spune despre limita integralelor lui x la puterea n împărțit la 2 + x, între zero și unu?

Răspunsuri: între o șesime și o treime; între șase și cincisprezece; limita este zero, deoarece integralele sunt cuprinse între 1/[3(n + 1)] și 1/[2(n + 1)].

Justifică fiecare comparație înainte de integrare. Astfel consolidezi înțelegerea inegalităților. Dacă sensurile se inversează accidental, poți exersa un exemplu cu un profesor de matematică.

Întrebări frecvente

Este necesară o primitivă pentru încadrare?

Nu. Ai nevoie de funcții de comparație ale căror integrale pot fi calculate sau estimate.

Pot înmulți o inegalitate cu x fără verificare?

Nu. Trebuie să știi semnul lui x pe intervalul folosit.

De ce apar factori cu lungimea intervalului?

Integrala unei constante c între a și b este c(b − a). Comparația cu o constantă include această lungime.