Conservarea energiei mecanice pe traseu neted: BAC

Pe un traseu fix și neted, un corp poate transforma energia potențială gravitațională în energie cinetică și invers. Dacă singura forță care efectuează lucru este greutatea, suma celor două energii rămâne constantă. Pentru calculul vitezei contează diferența de înălțime, nu lungimea drumului parcurs.

Lecția aparține modulului Mecanică, pentru profilurile real, militar și tehnologic din programa oficială consultată. Modelăm corpul ca punct material care alunecă, fără rotație, pe un suport fix fără frecare. Rezistența aerului este neglijată, iar contactul cu traseul este presupus menținut acolo unde folosim această condiție. Verifică apoi metoda pe subiectele de BAC și baremele lor.

Ce energie se conservă

Energia mecanică este suma energiei cinetice și a energiei potențiale gravitaționale: E = mv²/2 + mgh. Alegem un nivel de referință pentru h și îl păstrăm pe întreaga rezolvare. Pentru două puncte A și B, conservarea se scrie mva²/2 + mgha = mvb²/2 + mghb.

Normala suportului este perpendiculară pe deplasarea locală și nu efectuează lucru în modelul traseului fix și neted. Greutatea este o forță conservativă, iar efectul ei este inclus prin energia potențială. Nu adăugăm încă o dată lucrul greutății în aceeași ecuație de conservare.

Energia cinetică și energia potențială nu sunt fiecare constante. Una poate crește în timp ce cealaltă scade. Ceea ce se păstrează este suma, în condițiile precizate.

Formula vitezei între două înălțimi

După simplificarea masei și rearanjare, obținem vb² = va² + 2g(ha − hb). Dacă punctul B este mai jos, diferența ha − hb este pozitivă și viteza crește în modul. Dacă B este mai sus, diferența este negativă și viteza scade.

Masa dispare din această relație deoarece ambele forme de energie sunt proporționale cu ea. Această independență aparține modelului ideal de alunecare fără frecare. Nu trebuie extinsă automat la corpuri cu rezistență a aerului sau la sisteme cu alte transferuri de energie.

Formula oferă modulul vitezei prin radicalul nenegativ. Sensul mișcării rezultă din traseu și din etapa analizată. Într-o revenire, corpul poate trece prin aceeași poziție cu același modul al vitezei, dar în sens opus.

Exemplu: coborâre de pe o rampă

Un corp pornește din repaus de la înălțimea de 5 m și alunecă pe un traseu neted până la înălțimea de 1,8 m. Se ia g = 10 m/s². Determină viteza în punctul final.

Scăderea înălțimii este 3,2 m. Relația energetică dă v² = 2 × 10 × 3,2 = 64 m²/s², deci v = 8 m/s. Nu avem nevoie de lungimea rampei pentru această cerință.

Dacă masa ar fi 2 kg, energia potențială ar scădea cu 64 J, iar energia cinetică ar crește cu aceeași valoare. Verificarea 2 × 8²/2 = 64 J confirmă bilanțul. Alegerea nivelului zero la baza traseului sau la altă înălțime ar schimba valorile energiilor potențiale, dar nu diferența dintre ele.

Două trasee diferite, aceleași capete

Două rampe netede leagă aceleași înălțimi, iar corpurile pornesc cu aceeași viteză inițială. Dacă ambele ajung la capăt și condițiile modelului sunt respectate, modulele vitezelor finale sunt egale. Energia gravitațională disponibilă depinde numai de diferența de nivel.

Timpul de parcurgere nu trebuie să fie egal. Forma traseului schimbă evoluția vitezei și lungimea parcursă, deci poate schimba durata. Conservarea energiei nu este suficientă singură pentru calculul timpului pe un traseu arbitrar.

Dacă una dintre rampe are frecare, egalitatea vitezelor finale nu mai rezultă din simpla egalitate a înălțimilor. Lucrul frecării depinde de traseu și de apăsare, iar energia mecanică a corpului nu se mai conservă în forma folosită aici.

Înălțimea maximă accesibilă

Un corp aflat la înălțimea h₀ are viteza v₀ și urcă pe un traseu neted. În punctul de întoarcere, viteza devine zero. Conservarea dă hmax = h₀ + v₀²/(2g), dacă traseul permite atingerea acelei poziții și contactul este menținut.

Pentru h₀ = 1 m, v₀ = 6 m/s și g = 10 m/s², creșterea maximă a înălțimii este 1,8 m. Înălțimea maximă față de referința aleasă este 2,8 m. Nu confunda creșterea de înălțime cu înălțimea absolută.

Un punct situat la 3 m nu poate fi atins în acest regim. Înlocuirea lui în formula vitezei ar produce un pătrat negativ al vitezei. Acesta este un semnal de inaccesibilitate, nu o invitație de a lua valoarea absolută sub radical.

Trecerea peste un obstacol de înălțime dată

Un corp trebuie să urce de la nivelul inițial până la un punct cu 2 m mai sus. Viteza minimă energetică la plecare satisface v₀²/(2g) = 2 m, deci v₀ = radical din 40, aproximativ 6,32 m/s, pentru g = 10 m/s².

Aceasta este condiția energetică pentru a ajunge la înălțimea respectivă cu viteză zero. Pentru a continua dincolo de un vârf cu o viteză nenulă, este necesară o energie suplimentară. În configurații curbe care cer menținerea contactului, poate exista și o condiție dinamică suplimentară; energia singură nu verifică reacțiunea normală.

Lecția de aici nu tratează bucle verticale sau desprinderi. Mențiunea condiției suplimentare previne aplicarea nejustificată a formulei unei simple urcări la orice traseu desenat.

Alegerea nivelului de referință

Poți alege energia potențială zero la punctul de pornire, la baza rampei sau la un alt nivel convenabil. Dacă un punct se află sub acel nivel, energia sa potențială poate fi negativă. Acest lucru nu este o problemă, deoarece numai variațiile de energie potențială influențează bilanțul.

De exemplu, dacă alegi hA = 0 și punctul B este cu 3 m mai jos, hB = −3 m. Relația va da vb² = va² + 60 pentru g = 10 m/s². Dacă ai alege în schimb hB = 0 și hA = 3 m, ai obține exact aceeași variație a pătratului vitezei.

Nu schimba nivelul zero între membrii aceleiași ecuații. O schimbare consecventă adaugă aceeași constantă energiei potențiale în ambele stări și se simplifică; o schimbare neconsecventă produce un aport fictiv de energie.

Schemă de rezolvare

Întrebare	Acțiune
Există frecare sau o forță care transferă energie?	Verifică dacă poți folosi conservarea simplă
Care sunt cele două stări?	Notează vitezele și înălțimile în A și B
Unde este nivelul zero?	Alege o singură referință
Ce se cere?	Izolează viteza sau diferența de înălțime
Este rezultatul posibil?	Controlează semnul lui v² și condițiile traseului

Scrie întâi ecuația simbolică. Astfel vezi dacă masa se simplifică și dacă ai introdus corect diferența înălțimilor. Înlocuirea prematură a numerelor poate ascunde o alegere greșită a punctelor inițial și final.

Exerciții și soluții

Exercițiul 1. Un corp pornește din repaus și coboară fără frecare cu 1,25 m. Pentru g = 10 m/s², află viteza finală.

Soluție: v² = 25 m²/s², deci v = 5 m/s.

Exercițiul 2. Un corp are viteza de 4 m/s și urcă pe un traseu neted. Cu cât poate crește înălțimea până la oprire?

Soluție: creșterea este 16/20 = 0,8 m. Aceasta este diferența de nivel, nu lungimea drumului.

Exercițiul 3. Un corp trece la coborâre prin înălțimea de 2 m cu viteza de 6 m/s, apoi urcă pe o altă porțiune netedă. Ce modul al vitezei are când ajunge din nou la 2 m?

Soluție: tot 6 m/s, dacă nu există pierderi sau aporturi de energie și traseul este accesibil. Direcția vitezei poate fi diferită.

Întrebări frecvente

Energia mecanică se conservă dacă viteza crește?

Da, dacă energia potențială scade cu aceeași valoare cu care crește energia cinetică și condițiile modelului sunt îndeplinite.

De ce nu folosesc lungimea rampei în mgh?

Energia potențială gravitațională depinde de înălțimea verticală. Lungimea rampei poate fi folosită pentru a afla înălțimea prin geometrie, dar nu o înlocuiește direct.

Pot aplica formula unui cilindru care se rostogolește?

Nu în forma cu numai mv²/2. Rostogolirea poate implica și energie cinetică de rotație, absentă din modelul de punct material al lecției.

Compararea celor două stări ajută la înțelegerea conservării energiei. Pentru alegerea modelului potrivit poți cere feedback unui profesor de fizică.

Sursa curriculară

Energia mecanică și conservarea ei sunt incluse în programa oficială de fizică. Documentul istoric a fost verificat pentru domeniul lecției, fără afirmații despre o nouă programă anuală.