Teorema energiei cinetice: probleme rezolvate BAC

Teorema variației energiei cinetice leagă vitezele de la începutul și sfârșitul unei deplasări de lucrul tuturor forțelor care acționează asupra corpului. Este deosebit de utilă când problema cere o viteză sau o distanță, fără să ceară timpul. Pasul decisiv este inventarierea lucrului fiecărei forțe, cu semnul potrivit.

Lecția aparține modulului Mecanică, pentru profilurile real, militar și tehnologic din programa oficială consultată. Modelăm corpul ca punct material sau considerăm numai energia sa cinetică de translație, în situații fără rotație relevantă. Nu aplicăm formulele de aici direct unui corp care se rostogolește și stochează și energie de rotație. Pentru antrenament, folosește subiectele de BAC și baremele.

Enunțul teoremei

Variația energiei cinetice este egală cu lucrul mecanic total al forțelor: Ecf − Eci = Ltotal. Pentru masă constantă, aceasta înseamnă m(vf² − vi²)/2 = Ltotal. Vitezele apar la pătrat, deci relația determină în mod direct modulul vitezei, nu sensul ei.

Lucrul total este suma algebrică a lucrurilor tuturor forțelor exterioare asupra corpului ales. O tracțiune poate adăuga energie, frecarea poate retrage energie cinetică, iar greutatea poate avea lucru pozitiv, negativ sau zero, în funcție de deplasare.

Dacă lucrul total este pozitiv, energia cinetică crește. Dacă este negativ, ea scade. Dacă este zero, energiile cinetice inițială și finală sunt egale. Acest ultim rezultat nu spune că fiecare forță a efectuat lucru zero; contribuțiile se pot compensa.

Tabelul lucrurilor înaintea calculelor

Pentru fiecare forță notează direcția, deplasarea și formula potrivită. O forță constantă are lucrul Fs cos θ, unde θ este unghiul dintre forță și deplasare. Pe un plan fix, reacțiunea normală perpendiculară pe deplasare are lucru zero.

Forță și situație	Lucru	Explicație
Tracțiune paralelă, în sensul deplasării	+Fs	Transferă energie către mișcare
Frecare la alunecare pe suport fix	−fs	Se opune deplasării relative
Greutate la coborâre cu înălțimea h	+mgh	Energia potențială scade
Greutate la urcare cu înălțimea h	−mgh	Energia potențială crește
Normală perpendiculară pe traseu	Zero	Nu are componentă pe deplasare

Tabelul nu este o listă universală de semne independente de situație. De exemplu, lucrul unei tensiuni poate fi pozitiv sau negativ. Decide semnul din geometria problemei, nu din numele forței.

Exemplu: tracțiune și frecare pe orizontală

Un corp de 2 kg se deplasează pe un plan orizontal cu viteza inițială de 3 m/s. Este tras în sensul mișcării de o forță constantă de 10 N, iar frecarea are modulul 2 N. Deplasarea este 5 m. Determină viteza finală.

Tracțiunea efectuează 10 × 5 = 50 J. Frecarea efectuează −2 × 5 = −10 J. Greutatea și normala au lucru zero, deoarece sunt perpendiculare pe deplasarea orizontală. Lucrul total este 40 J.

Energia cinetică inițială este 2 × 3²/2 = 9 J. Energia finală este 49 J. Din 2vf²/2 = 49 rezultă vf = 7 m/s, ca modul. Sensul rămâne cel inițial în acest exemplu, deoarece rezultanta este orientată în sensul mișcării pe întregul interval.

Verificarea prin dinamică este posibilă: accelerația este (10 − 2)/2 = 4 m/s². Relația vf² = vi² + 2as dă 9 + 40 = 49 m²/s². Cele două metode sunt coerente, dar metoda energetică nu a necesitat calculul timpului.

Exemplu: coborâre cu frecare

Un corp de 1 kg pornește din repaus și coboară pe un plan înclinat. Lungimea parcursă este 5 m, diferența de nivel este 3 m, iar frecarea constantă are modulul 2 N. Se ia g = 10 m/s². Care este viteza la capăt?

Lucrul greutății este 30 J, fiind determinat de scăderea înălțimii. Lucrul frecării este −10 J, fiind determinat de lungimea efectivă a drumului. Normala are lucru zero. Energia cinetică finală este astfel 20 J, de unde v² = 40 m²/s² și v ≈ 6,32 m/s.

Acest exemplu separă două distanțe care nu trebuie confundate: pentru greutate folosim înălțimea, iar pentru frecarea constantă folosim lungimea traseului. Aplicarea aceleiași valori în ambele locuri este una dintre erorile frecvente ale problemelor pe plan înclinat.

Distanța până la oprire

Un corp de 4 kg alunecă pe orizontală cu viteza inițială de 6 m/s. Singura forță care efectuează lucru este frecarea, cu modulul 12 N. La oprire, energia cinetică finală este zero. Teorema dă 0 − 4 × 6²/2 = −12s.

Energia inițială este 72 J, deci s = 6 m. Semnul negativ apare pe ambele părți: energia cinetică scade, iar frecarea efectuează lucru negativ. Dacă ai scrie frecarea cu plus, ai obține o distanță negativă și ai fi tentat să îi schimbi arbitrar semnul. Corect este să repari bilanțul.

Relația este valabilă până la oprire. Nu spune că frecarea continuă să accelereze corpul în sens opus după ce viteza a devenit zero. Regimul de după oprire trebuie stabilit din forțele existente și din condițiile contactului static.

Când un rezultat negativ arată o imposibilitate

Să presupunem că energia cinetică inițială este 20 J, iar lucrul calculat până la un punct îndepărtat este −30 J. Formula ar produce o energie finală de −10 J. Energia cinetică nu poate fi negativă; interpretarea este că mobilul nu ajunge la acel punct în regimul presupus.

Trebuie să cauți poziția la care energia cinetică devine zero. Pentru o frecare constantă de 5 N și energie inițială de 20 J, oprirea are loc după 4 m. Un calcul care presupune o deplasare de 6 m sub aceeași alunecare trebuie oprit la această limită.

Această verificare este mai utilă decât ștergerea semnului minus de sub radical. Un rezultat imposibil oferă informație despre accesibilitatea poziției, nu doar despre o eventuală greșeală aritmetică.

Diferența față de conservarea energiei mecanice

Teorema energiei cinetice se poate aplica și când există frecare. Conservarea energiei mecanice cere condiții suplimentare: contribuțiile neconservative relevante trebuie să fie absente sau să aibă lucru total zero în modelul analizat.

Dacă introduci energia potențială gravitațională în membrul energiilor, nu mai adaugi încă o dată lucrul greutății ca aport separat. Cele două scrieri sunt echivalente numai dacă fiecare contribuție este numărată o singură dată. Pentru început, o singură convenție consecventă pe toată rezolvarea este cea mai sigură.

În teorema prezentată aici scriem exclusiv variația energiei cinetice în stânga și toate lucrurile în dreapta. Această formă este potrivită pentru verificarea contribuțiilor și pentru probleme cu forțe date explicit.

Exerciții cu soluții

Exercițiul 1. Un corp de 2 kg are viteza inițială de 4 m/s. Lucrul total este 9 J. Află viteza finală.

Soluție: energia inițială este 16 J, iar cea finală 25 J. Cum m/2 = 1 kg, rezultă viteza de 5 m/s.

Exercițiul 2. O tracțiune efectuează 60 J, frecarea −25 J, iar greutatea −15 J. Cât este variația energiei cinetice?

Soluție: suma este 20 J. Energia cinetică crește cu 20 J; nu este necesară masa pentru această cerință.

Exercițiul 3. Un corp are aceeași viteză în modul la început și la sfârșit. Tracțiunea a efectuat 40 J, iar toate celelalte forțe, cu excepția frecării, au lucru zero. Cât a efectuat frecarea?

Soluție: variația energiei cinetice este zero, deci lucrul frecării este −40 J.

Întrebări frecvente

Pot afla timpul din teorema energiei cinetice?

De obicei nu direct. Teorema leagă stări și lucruri mecanice. Pentru timp poate fi necesară dinamica și o ecuație cinematică suplimentară.

Trebuie să folosesc viteza cu semn?

Energia cinetică depinde de pătratul vitezei. Sensul mișcării trebuie verificat separat din situația fizică și din evoluția forțelor.

O forță cu lucru zero poate influența mișcarea?

Da. O forță perpendiculară pe viteză poate schimba direcția mișcării fără să schimbe energia cinetică. În exemplele rectilinii de aici, normala asigură și contactul cu suportul.

Organizarea contribuțiilor este un exercițiu de înțelegere a bilanțului fizic. Un profesor de fizică poate verifica dacă ai ales corect corpul și dacă ai inclus toate lucrurile.

Sursa curriculară

Teorema variației energiei cinetice este inclusă în programa oficială de fizică. Referința curriculară este documentul istoric consultat; exemplele și explicațiile sunt originale.