Lucrul mecanic din graficul forță–poziție la BAC

Când forța nu este constantă, produsul dintre o singură valoare a forței și distanța totală nu mai descrie automat lucrul mecanic. Dacă primești un grafic al componentei forței în funcție de poziție, lucrul se calculează prin aria cu semn dintre grafic și axa poziției. Pentru porțiuni drepte, problema se reduce la dreptunghiuri, triunghiuri și trapeze.

Lecția aparține modulului Mecanică, cu accent pe profilurile real și militar, unde programa oficială consultată precizează interpretarea geometrică a lucrului mecanic. Pentru profilul tehnologic, verifică cerințele variantei aplicabile înainte de a considera acest tip de grafic o cerință obligatorie. Exemplele tratează mișcarea rectilinie și componenta forței pe axa aleasă. Poți compara formularea cu subiectele și baremele de BAC.

Ce trebuie să fie pe axe

Axa orizontală reprezintă poziția x, în metri, iar cea verticală componenta Fₓ a forței pe aceeași direcție, în newtoni. Nu este un grafic forță–timp: aria aceluia ar reprezenta impulsul forței, o altă mărime. Citește denumirile și unitățile axelor înainte de orice calcul.

Pentru deplasare în sensul pozitiv, o porțiune deasupra axei poziției contribuie cu lucru pozitiv, iar una dedesubt cu lucru negativ. Aria geometrică este pozitivă ca mărime, dar lucrul asociat primește semnul componentei forței.

Unitatea rezultată este newton ori metru, adică joule. Dacă scara orizontală este în centimetri, trebuie convertită în metri. O arie numerică de 30 N·cm reprezintă 0,30 J, nu 30 J.

Legătura cu forța constantă

Pentru o forță constantă paralelă cu deplasarea, graficul este o linie orizontală. Aria dreptunghiului este FₓΔx, exact formula lucrului mecanic. Dacă forța face un unghi constant cu direcția mișcării, componenta reprezentată este F cos α.

Nu înmulți aria unui grafic al componentei Fₓ cu încă un cosinus. Proiecția a fost deja inclusă pe axa verticală. Dacă graficul ar reprezenta doar modulul forței, iar direcția ar varia, ar fi necesare informații suplimentare pentru calculul lucrului.

Pentru o componentă care variază liniar între două poziții, lucrul este media aritmetică a valorilor de la capete înmulțită cu intervalul de poziție. Aceasta este aria trapezului cu înălțimi semnate. Nu presupune că aceeași regulă a mediei capetelor funcționează pentru orice curbă neliniară.

Exemplu cu trei porțiuni pozitive

Componenta forței crește liniar de la zero la 10 N între x = 0 și x = 2 m. Rămâne 10 N până la x = 5 m, apoi scade liniar la zero la x = 7 m. Calculăm lucrul pentru deplasarea de la zero la șapte metri.

Prima porțiune formează un triunghi cu baza 2 m și înălțimea 10 N, deci lucrul este 10 J. Porțiunea centrală formează un dreptunghi cu baza 3 m, deci contribuie cu 30 J. Ultima porțiune este un triunghi cu baza 2 m și contribuie cu încă 10 J.

Lucrul total este 50 J. Folosirea forței maxime pe tot intervalul ar fi dat 70 J și ar fi supraestimat rezultatul. Media forței pe întregul interval, în sensul echivalent pentru lucru, este 50/7 N, aproximativ 7,14 N.

Această medie nu este obligatoriu media aritmetică a forțelor inițială și finală. Ambele sunt zero, dar forța este pozitivă în interiorul intervalului și efectuează lucru pozitiv.

Porțiune care traversează axa

Considerăm o componentă a forței care scade liniar de la 6 N la −2 N pe un interval de 4 m. Variația totală este −8 N, deci panta graficului este −2 N/m. Forța ajunge la zero după primii 3 m ai intervalului.

Aria pozitivă este un triunghi de bază 3 m și înălțime 6 N: 9 J. Aria negativă are baza 1 m și înălțimea geometrică 2 N: contribuția sa este −1 J. Lucrul total este 8 J.

Formula trapezului semnat confirmă: media valorilor de la capete este (6 − 2)/2 = 2 N, iar 2 N × 4 m = 8 J. Separarea celor două triunghiuri ajută însă la interpretarea fizică și la evitarea adunării modulelor.

Dacă ai aduna ariile fără semn, ai obține 10 J. Această sumă nu este lucrul total al forței. Partea negativă reduce energia cinetică pe care forța o poate adăuga corpului.

Legătura cu energia cinetică

Lucrul rezultantei forțelor este egal cu variația energiei cinetice. Dacă graficul reprezintă o singură forță dintre mai multe, aria sa este numai contribuția acelei forțe. Trebuie să adaugi și lucrul celorlalte forțe pentru a afla variația energiei cinetice.

Un corp de 2 kg are viteza inițială de 3 m/s. O forță efectuează 50 J, iar frecarea efectuează −10 J. Lucrul total este 40 J. Energia cinetică inițială este 9 J, iar cea finală 49 J. Din mv²/2 = 49 J rezultă viteza de 7 m/s.

Dacă ai folosi direct cei 50 J din grafic drept variație totală, ai ignora frecarea. Identifică mereu dacă enunțul spune „forță aplicată”, „forță de tracțiune” sau „rezultanta forțelor”. Aceste formulări nu sunt interschimbabile.

Cazul unei forțe elastice

Pentru un resort ideal, forța exterioară necesară unei întinderi foarte lente are modulul kx. Graficul ei în funcție de alungire este o dreaptă prin origine. Lucrul forței exterioare între alungirile x₁ și x₂ este aria trapezului corespunzător, k(x₂² − x₁²)/2.

Forța elastică a resortului este opusă întinderii, deci efectuează lucrul negativ al acestei expresii atunci când alungirea crește. Cele două grafice diferă prin semn dacă folosesc aceeași axă de alungire. Nu atribui ariei pozitive a forței exterioare numele de lucru al forței elastice fără schimbarea semnului.

Această interpretare cere să precizezi ce forță este reprezentată. Mențiunea „forță elastică” și mențiunea „forță de întindere” pot duce la semne opuse, deși valorile modulelor sunt aceleași în procesul cvasistatic.

Deplasarea în sens invers

Regula „deasupra axei înseamnă lucru pozitiv” presupune parcurgerea intervalului de la poziția mai mică la cea mai mare. Dacă aceeași forță dependentă de poziție este parcursă de la x₂ la x₁, cu x₂ > x₁, lucrul își schimbă semnul față de parcurgerea directă.

De exemplu, o forță constantă de 5 N orientată spre dreapta efectuează −15 J când corpul se deplasează trei metri spre stânga. Graficul componentei rămâne deasupra axei, dar variația poziției este negativă. Pentru forțe precum frecarea, care își schimbă sensul la inversarea mișcării, trebuie refăcut și graficul forței; nu este automat aceeași funcție pe drumul de întoarcere.

Exerciții cu răspuns

Exercițiul 1. Forța crește liniar de la 4 N la 12 N pe o deplasare pozitivă de 3 m. Află lucrul.

Răspuns: media forțelor este 8 N, deci lucrul este 24 J. Graficul este un trapez, nu un triunghi cu înălțimea 12 N.

Exercițiul 2. Componenta forței este −6 N pe intervalul de la 1 m la 4 m. Află lucrul pentru deplasarea în sens pozitiv.

Răspuns: L = −6 × 3 = −18 J. Lungimea intervalului este diferența pozițiilor, nu poziția finală.

Exercițiul 3. Un triunghi dintr-un grafic Fₓ(x) are baza 20 cm și înălțimea 10 N, deasupra axei. Care este lucrul?

Răspuns: baza este 0,20 m, deci L = 0,20 × 10/2 = 1 J.

Întrebări frecvente

Pot folosi aria pentru orice grafic de fizică?

Nu cu aceeași interpretare. Mărimea rezultată depinde de cele două axe și de unități. Aici discutăm componenta forței în funcție de poziție.

Lucrul negativ înseamnă o energie cinetică negativă?

Nu. El reprezintă o contribuție la scăderea energiei cinetice. Energia cinetică rămâne nenegativă; un rezultat imposibil poate arăta că mobilul se oprește înainte de capătul intervalului presupus.

Este necesar calcul integral pentru aceste probleme?

Nu pentru grafice formate din segmente și figuri geometrice simple. Ariile dreptunghiurilor, triunghiurilor și trapezelor sunt suficiente.

Citirea unităților și a semnelor sprijină înțelegerea formulelor. Pentru interpretarea unui grafic neclar, un profesor de fizică poate verifica întâi axele și sensul deplasării.

Sursa curriculară

Interpretarea geometrică a lucrului mecanic este verificată în secțiunea pentru real și militar a programei oficiale de fizică. Documentul este referința istorică consultată, fără presupuneri privind o nouă programă anuală.