Problemă BAC: corp pe masă și masă suspendată

O problemă cu un corp pe masă și un corp suspendat poate combina forțe, accelerație, tensiune, timp, viteză și energie. Rezolvarea devine clară dacă păstrezi același model pe toate subpunctele și verifici rezultatele printr-o a doua metodă. Nu este nevoie de o formulă nouă pentru fiecare cerință.

Lecția aparține modulului Mecanică, pentru profilurile real, militar și tehnologic din programa oficială consultată. Sistemul folosește un fir ideal inextensibil trecut peste un scripete fix ideal, aflat la marginea unei mese. Corpul de pe masă alunecă orizontal, iar cel suspendat se deplasează vertical. Presupunem firul întins și spațiu suficient pentru mișcare. Pentru comparație cu formatul examenului, consultă subiectele și baremele de BAC.

Enunțul problemei complete

Corpul A, cu masa de 3 kg, se află pe o masă orizontală. El este legat prin fir de corpul B, cu masa de 2 kg, suspendat vertical. Coeficientul de frecare la alunecare dintre A și masă este 0,2. Sistemul pornește din repaus, corpul B coborând. Se ia g = 10 m/s². Analizează mișcarea pe o deplasare de 1,4 m, înaintea oricărui contact cu un obstacol.

Cerințele sunt: reacțiunea normală și frecarea asupra lui A, accelerația comună, tensiunea firului, timpul și viteza după deplasarea dată, apoi verificarea prin energie. Enunțul precizează pornirea și sensul, astfel încât nu trebuie să deducem pragul frecării statice dintr-un coeficient de alunecare.

Pasul întâi: două diagrame de forțe

Asupra corpului A acționează greutatea sa în jos, normala mesei în sus, tensiunea spre scripete și frecarea în sens opus alunecării. Firul care îl trage este orizontal, deci nu modifică ecuația verticală.

Asupra corpului B acționează greutatea în jos și tensiunea în sus. Nu există o normală a mesei asupra lui B, fiindcă acesta este suspendat. Nu transfera forțele din diagrama unui corp în diagrama celuilalt.

Firul impune accelerații cu același modul, dar direcții diferite. Alegem sensul pozitiv spre scripete pentru A și în jos pentru B. Tensiunea are același modul în cele două ramuri în modelul ideal precizat.

Pasul al doilea: normala și frecarea

Pe verticală, corpul A nu accelerează. Normala este NA = mAg = 3 × 10 = 30 N. Frecarea la alunecare este f = μNA = 0,2 × 30 = 6 N.

Acest rezultat se bazează pe firul orizontal. Dacă firul ar trage oblic, componenta sa verticală ar schimba normala și, implicit, frecarea. Schema geometriei trebuie păstrată până la final, nu înlocuită cu o regulă universală N = mg.

Greutatea corpului B este 20 N. Ea furnizează efectul motor al sistemului, în timp ce frecarea de 6 N se opune mișcării lui A. Nu scădem greutatea corpului A din greutatea lui B pe direcția mișcării, deoarece greutatea lui A este perpendiculară pe deplasarea sa.

Pasul al treilea: accelerația

Pentru A, ecuația orizontală este T − 6 = 3a. Pentru B, ecuația verticală în sens descendent este 20 − T = 2a. Adunând, obținem 14 = 5a, deci a = 2,8 m/s².

Tensiunea se elimină deoarece transmite interacțiunea în interiorul ansamblului legat. Masa totală de accelerat este 5 kg. Rezultatul pozitiv confirmă sensurile presupuse, iar valoarea mai mică decât g este compatibilă cu faptul că masa suspendată nu cade liber.

Forma simbolică este a = (mBg − μmAg)/(mA + mB), pentru alunecarea în sensul presupus. Dacă numărătorul ar fi negativ într-o situație în care sistemul deja se deplasează astfel, ar rezulta încetinire. Pentru pornirea din repaus ar trebui analizată frecarea statică, nu atribuit automat un sens nou.

Pasul al patrulea: tensiunea

Din ecuația corpului A, T = 3 × 2,8 + 6 = 14,4 N. Din ecuația corpului B, T = 20 − 2 × 2,8 = 14,4 N. Cele două valori coincid, oferind o verificare independentă a semnelor.

Tensiunea nu este egală cu greutatea de 20 N a corpului suspendat, deoarece acesta accelerează în jos. Diferența de 5,6 N dintre greutate și tensiune este rezultanta sa. Pentru corpul de pe masă, diferența dintre tensiune și frecare este 8,4 N, egală cu mAa.

Corp	Forță în sens pozitiv	Forță opusă	Rezultantă
A	T = 14,4 N	f = 6 N	8,4 N
B	mBg = 20 N	T = 14,4 N	5,6 N

Această verificare pe corpuri arată de ce nu poți atribui aceeași rezultantă ambelor mase doar pentru că accelerațiile au același modul.

Pasul al cincilea: timpul și viteza

Sistemul pornește din repaus, iar accelerația este constantă în etapa analizată. Pentru deplasarea de 1,4 m, relația s = at²/2 dă 1,4 = 2,8t²/2, deci t = 1 s. Se alege rădăcina pozitivă deoarece căutăm timpul după pornire.

Modulul vitezei este v = at = 2,8 m/s. Ambele corpuri au acest modul al vitezei: A pe orizontală, B pe verticală. Relația fără timp v² = 2as dă 7,84 m²/s² și confirmă rezultatul.

Înainte de acceptarea timpului, verificăm condiția geometrică din enunț: corpul B trebuie să poată coborî 1,4 m fără să ajungă la podea, iar A trebuie să nu atingă scripetele. Aceste condiții au fost presupuse explicit, deci etapa este validă.

Pasul al șaselea: verificarea prin energie

Pe deplasarea de 1,4 m, corpul B pierde energie potențială gravitațională în valoare de 2 × 10 × 1,4 = 28 J. Frecarea asupra lui A disipă 6 × 1,4 = 8,4 J. Rămân 19,6 J pentru energia cinetică totală a celor două corpuri.

Energia cinetică finală este (mA + mB)v²/2 = 5 × 2,8²/2 = 19,6 J. Bilanțul este exact: 28 J = 8,4 J + 19,6 J.

Lucrul tensiunii asupra lui A este pozitiv, T s = 20,16 J. Asupra lui B este negativ, −T s = −20,16 J. Pentru ansamblu se compensează, deoarece deplasările au module egale și tensiunea ideală este aceeași. Aceasta explică de ce tensiunea nu apare în bilanțul energetic total, deși transferă energie între corpuri.

Dacă se cere coeficientul de frecare

O variantă inversă poate oferi accelerația și masele și poate cere μ. Din relația ansamblului, μ = [mBg − (mA + mB)a]/(mAg). Cu masele de 3 kg și 2 kg și accelerația de 2,8 m/s², obținem (20 − 14)/30 = 0,2.

Coeficientul nu are unitate. Dacă rezultatul este negativ, verifică sensul presupus, datele și existența unei alte forțe. Nu îl accepta ca pe o proprietate obișnuită a frecării la alunecare în acest model.

Ce se schimbă după ce masa suspendată atinge podeaua

Contactul cu podeaua introduce o forță nouă și poate relaxa firul. Accelerația comună de 2,8 m/s² nu mai este garantată. Corpul de pe masă poate continua să se deplaseze din inerție, iar frecarea îl poate încetini, în funcție de starea firului și de geometrie.

O problemă care cere etapa de după contact trebuie rezolvată separat, cu noi diagrame și condiții inițiale. Viteza chiar înainte de contact poate fi folosită pentru etapa următoare numai după analiza impactului și a legăturii, conform ipotezelor oferite. Nu extinde formula inițială fără această verificare.

Exerciții și soluții

Exercițiul 1. Masele sunt mA = 4 kg și mB = 1 kg, μ = 0,1, iar sistemul alunecă în sensul coborârii lui B. Pentru g = 10 m/s², află accelerația.

Soluție: frecarea este 4 N, deci a = (10 − 4)/5 = 1,2 m/s².

Exercițiul 2. Pentru aceleași date, află tensiunea.

Soluție: T = 4 × 1,2 + 4 = 8,8 N. Corpul suspendat verifică 10 − 8,8 = 1 × 1,2.

Exercițiul 3. Sistemul din exercițiile precedente pornește din repaus și se deplasează 0,6 m. Află timpul.

Soluție: 0,6 = 1,2t²/2, deci t = 1 s, cât timp etapa ideală rămâne validă.

Întrebări frecvente

De ce greutatea corpului de pe masă nu accelerează direct sistemul?

Ea este perpendiculară pe deplasarea orizontală și este compensată de normală. Influențează totuși frecarea prin valoarea normalei.

Pot afla tensiunea numai din bilanțul energetic total?

Nu direct, deoarece contribuțiile tensiunii se compensează pentru sistemul ideal. Pentru tensiune izolezi unul dintre corpuri și folosești ecuația sa dinamică.

Accelerațiile sunt vectori egali?

Nu. Au module egale impuse de fir, dar direcții diferite: una orizontală, cealaltă verticală.

Rezolvarea prin două metode este un exercițiu de înțelegere și verificare. Pentru analiza propriilor diagrame poți lucra cu un profesor de fizică.

Sursa curriculară

Problema integrează principiile dinamicii, frecarea, cinematica și energia din programa oficială de fizică. Documentul istoric a fost verificat pentru domeniul lecției, fără atribuirea unui statut anual nou.