Derivabilitate la BAC: funcții pe ramuri și parametri

O funcție definită pe ramuri este derivabilă într-un punct interior dacă raportul incremental are aceeași limită finită din ambele părți. La BAC, metoda sigură începe cu continuitatea și continuă cu derivatele laterale. Egalitatea formală a derivatelor celor două expresii nu este suficientă când valorile ramurilor nu se întâlnesc.

Acest articol este un atelier despre punctul de separare: cum alegi valoarea funcției, cum construiești raportul incremental și cum afli parametrii. Pentru antrenament, compară pașii cu un exercițiu din subiectele de BAC, folosind programa profilului tău.

De reținut: derivabilitatea implică continuitate. Dacă funcția nu este continuă în punct, te oprești: nu poate fi derivabilă acolo.

Definiția care previne confuziile

Pentru punctul c, derivata este limita raportului:

$$\frac{f(x)-f(c)}{x-c},\qquad x\to c.$$

Numărul f(c) este valoarea reală atribuită funcției în punct, nu limita unei ramuri aleasă după conveniență. Aceeași valoare f(c) apare atât în raportul din stânga, cât și în cel din dreapta.

Etapă	Întrebarea corectă
Valoare	Din ce ramură se citește f(c)?
Continuitate	Limitele laterale sunt egale cu f(c)?
Derivate laterale	Ce limite au cele două rapoarte incrementale?
Concluzie	Sunt finite și egale?

Pe interiorul fiecărei ramuri, folosești regulile obișnuite de derivare. Punctul de separare cere o justificare suplimentară, deoarece formula funcției se schimbă acolo.

Exemplul unu: polinom și logaritm

Definim f(x) = x² + ax + b pentru x cel mult unu și f(x) = ln x pentru x mai mare decât unu. Căutăm a și b astfel încât funcția să fie derivabilă în unu.

Valoarea din punct este f(1) = 1 + a + b. Limita din dreapta este ln 1 = 0, iar cea din stânga coincide cu valoarea polinomului. Continuitatea impune 1 + a + b = 0.

Pentru derivata din stânga, scădem valoarea polinomului în unu și împărțim prin x − 1:

$$\frac{x^2+ax+b-(1+a+b)}{x-1}=x+1+a.$$

Limita este 2 + a. Pentru derivata din dreapta folosim f(1) = 0, condiție deja obținută. Raportul ln x/(x − 1) are limita unu.

Derivabilitatea cere 2 + a = 1, deci a = −1. Din continuitate rezultă b = 0. Derivata funcției în unu este unu.

Observă ordinea: condiția de continuitate a permis să scriem corect raportul din dreapta. Dacă am fi derivat doar expresiile și am fi egalat valorile, am fi aflat a, dar am fi pierdut condiția asupra lui b.

Exemplul doi: un parametru rămâne liber

Considerăm g(x) = ax² + bx + 1 pentru x cel mult zero și g(x) = e la puterea x pentru x pozitiv. Valoarea în zero este unu, iar limita din dreapta este tot unu. Funcția este continuă în zero pentru orice a și b.

Raportul incremental din stânga este (ax² + bx + 1 − 1)/x = ax + b, cu limita b. Cel din dreapta este (e la puterea x − 1)/x, cu limita unu.

Rezultă b = 1, în timp ce a poate fi orice număr real. Nu trebuie să inventezi o a doua ecuație doar fiindcă enunțul conține doi parametri. Uneori o condiție este îndeplinită automat, iar soluția este o familie.

Pentru a = 7 și b = 1, funcția este derivabilă în zero. Pentru a = −3 și b = 1, este de asemenea derivabilă. Curbura ramurii polinomiale poate fi diferită, dar panta în punctul de întâlnire rămâne unu.

Capcana: derivatele ramurilor sunt egale, funcția sare

Definim h(x) = x + 1 pentru x cel mult zero și h(x) = x + 2 pentru x pozitiv. Derivatele expresiilor sunt amândouă unu.

Totuși, h(0) = 1, limita din stânga este unu, iar cea din dreapta este doi. Funcția nu este continuă și nu este derivabilă în zero.

Raportul incremental din dreapta confirmă problema: [x + 2 − 1]/x = 1 + 1/x, care tinde la plus infinit. Nu este egal cu derivata expresiei x + 2, deoarece raportul trebuie să scadă valoarea funcției în zero, adică unu.

Acest exemplu explică de ce verificarea continuității nu este un pas decorativ. Ea leagă valoarea folosită în definiție de valorile ramurilor și împiedică aplicarea incorectă a unei scurtături.

Cazul valorii absolute

Pentru f(x) = |x|, valoarea în zero este zero. Funcția este continuă, dar raportul incremental este |x|/x.

Din stânga, raportul este minus unu. Din dreapta, este unu. Derivatele laterale sunt finite, însă diferite, deci funcția nu este derivabilă în zero.

Pentru f(x) = |x|², situația se schimbă: funcția este x², iar raportul incremental în zero este x. Ambele limite sunt zero, deci derivata există și este zero.

Nu decide derivabilitatea numai după prezența barelor de modul. Trebuie analizată expresia completă. Ridicarea la pătrat a eliminat colțul, în timp ce simpla valoare absolută îl păstrează.

Derivată finită sau pantă infinită?

Funcția √|x| este continuă în zero. Raportul incremental este √|x|/x, care tinde la plus infinit din dreapta și la minus infinit din stânga.

În definiția obișnuită a derivabilității, derivata trebuie să fie un număr real finit. Prin urmare, funcția nu este derivabilă în zero. O discuție geometrică despre tangente verticale nu schimbă această concluzie.

La un capăt al domeniului, se poate cere explicit derivata laterală. Citește formularea: o limită numai din dreapta nu dovedește derivabilitatea bilaterală într-un punct interior.

Cum redactezi soluția pentru punctaj

Scrie mai întâi valoarea funcției în punct. Calculează cele două limite ale funcției și formulează condiția de continuitate. Păstrează această condiție vizibilă când treci la derivate.

Apoi arată rapoartele incrementale sau justifică folosirea derivatelor ramurilor prin continuitatea deja stabilită și prin regularitatea expresiilor respective. Compară limitele finite și rezolvă sistemul de condiții.

Încheie prin înlocuirea parametrilor și precizarea valorii derivatei, dacă aceasta este cerută. Dacă un parametru rămâne liber, scrie mulțimea completă a soluțiilor. Dacă nu există soluții, indică exact condițiile incompatibile.

Exerciții cu răspunsuri

1. Pentru f(x) = ax + b la stânga și în zero, respectiv x² + 2x + 3 la dreapta, află parametrii de derivabilitate.
2. Pentru f(x) = x² la stânga și în zero, respectiv cx la dreapta, află c.
3. Este funcția |x|³ derivabilă în zero?

Răspunsuri: b = 3 din continuitate și a = 2 din derivate; c = 0; da, cu derivata zero, deoarece raportul |x|³/x tinde la zero din ambele părți.

Explică de ce fiecare condiție apare, ca să consolidezi înțelegerea definiției. Dacă ai tendința să egalezi direct derivatele, verifică exemplul cu salt împreună cu un profesor de matematică.

Întrebări frecvente

Continuitatea garantează derivabilitatea?

Nu. Valoarea absolută este continuă în zero, dar are derivate laterale diferite.

Pot începe prin egalarea derivatelor ramurilor?

Poți calcula aceste expresii, dar concluzia cere și continuitate. Cel mai clar este să verifici continuitatea înainte.

O limită infinită a raportului este derivată?

Nu este o derivată reală finită în sensul obișnuit folosit aici. Precizează lipsa derivabilității și, dacă se cere, interpretează separat geometria.