Tangenta la BAC: punct exterior și abscisă necunoscută

Într-un exercițiu de BAC, tangenta poate fi cerută într-un punct al graficului sau poate fi cerută să treacă printr-un punct dat din plan. Acestea sunt două situații diferite. În al doilea caz, abscisa punctului de tangență este necunoscută și trebuie determinată.

Acest atelier se concentrează pe tangente cu o condiție suplimentară: trec printr-un punct, sunt paralele ori perpendiculare pe o dreaptă sau apar într-o familie cu parametru. Exemplele sunt originale și pot fi completate cu exerciții din subiectele de BAC pentru profilul tău.

Ideea principală: notează cu t abscisa punctului de tangență. Punctul de contact este (t, f(t)), iar panta tangentei este f'(t). Punctul prin care trebuie să treacă dreapta poate fi un alt punct.

Formula de pornire

Tangenta la grafic în punctul de abscisă t are ecuația:

$$y=f(t)+f'(t)(x-t).$$

Dacă dreapta trebuie să treacă prin A(u, v), înlocuiești x cu u și y cu v. Obții ecuația în necunoscuta t:

$$v=f(t)+f'(t)(u-t).$$

După rezolvare, păstrezi numai valorile lui t din domeniul în care funcția este derivabilă. Pentru fiecare valoare admisă, scrii ecuația tangentei și verifici punctul A.

Nu înlocui t direct cu u. Acest lucru ar presupune că A este punctul de contact, ceea ce nu rezultă din simpla cerință ca tangenta să treacă prin A.

Exemplul unu: două tangente prin același punct

Pentru f(x) = x², tangenta în t este y = t² + 2t(x − t), adică y = 2tx − t². Cerem să treacă prin A(0, −1).

Înlocuirea coordonatelor dă −1 = −t², deci t = −1 sau t = 1. Obținem două tangente:

• pentru t = 1: y = 2x − 1;
• pentru t = −1: y = −2x − 1.

Ambele trec prin A, dar ating parabola în puncte diferite: (1, 1), respectiv (−1, 1). Punctul A nu aparține parabolei, deoarece f(0) = 0, diferit de minus unu.

Verificarea contactului se poate face și algebric. Intersecția dintre y = x² și y = 2x − 1 produce (x − 1)² = 0, o rădăcină dublă. Pentru cealaltă tangentă apare (x + 1)² = 0.

Clasificarea pentru un punct oarecare al planului

Păstrăm parabola y = x² și punctul A(u, v). Condiția v = 2tu − t² se rescrie t² − 2ut + v = 0.

Discriminantul este 4(u² − v). Prin urmare:

Poziția punctului	Număr de valori reale pentru t	Număr de tangente
v < u²	Două	Două
v = u²	Una dublă	Una
v > u²	Niciuna	Niciuna

Când v = u², punctul se află pe parabolă, iar t = u. Când punctul este deasupra parabolei la aceeași abscisă, nu există tangente reale care să treacă prin el.

Această clasificare este specifică parabolei studiate. Nu o transforma într-o regulă universală pentru orice funcție. Alte grafice pot avea mai multe tangente prin același punct sau pot avea o structură diferită.

Exemplul doi: tangente paralele unei drepte

Pentru f(x) = x³, căutăm tangente paralele cu dreapta y = 3x + 7. Panta dreptei este trei, deci condiția este f'(t) = 3.

Derivata este 3t², astfel încât t² = 1. Pentru t = 1, tangenta este y = 1 + 3(x − 1) = 3x − 2. Pentru t = −1, tangenta este y = −1 + 3(x + 1) = 3x + 2.

Termenul constant șapte al dreptei date nu intră în condiția de paralelism. El stabilește poziția acelei drepte, nu panta. Tangentele găsite au aceeași pantă, dar alte ordonate la origine.

Dacă s-ar cere tangente coincidente cu o dreaptă dată, egalitatea pantelor nu ar fi suficientă: ar trebui verificat și termenul constant.

Exemplul trei: perpendicularitate

Pentru parabola y = x², cerem o tangentă perpendiculară pe dreapta y = −x/2 + 4. Panta dreptei este minus o jumătate.

Pentru două drepte cu pante finite, perpendicularitatea impune produsul pantelor egal cu minus unu. Panta tangentei trebuie deci să fie doi. Din 2t = 2 obținem t = 1, iar tangenta este y = 2x − 1.

Formula produsului pantelor nu se folosește direct când una dintre drepte este verticală, deoarece aceasta nu are pantă finită. O tangentă perpendiculară pe o verticală este orizontală, deci pentru o funcție derivabilă cauți f'(t) = 0.

Exemplul patru: tangenta la logaritm prin origine

Considerăm f(x) = ln x, cu domeniul pozitiv. Tangenta în t, unde t este pozitiv, are ecuația y = ln t + (x − t)/t.

Pentru a trece prin origine, înlocuim x = 0 și y = 0. Rezultă ln t − 1 = 0, deci t = e. Tangenta este y = x/e.

Punctul de contact este (e, 1), nu originea. Funcția logaritm nici nu este definită în zero, însă tangenta, ca dreaptă din plan, poate trece prin origine. Domeniul restrânge punctul de contact, nu toate punctele dreptei tangente.

Verificarea este simplă: pentru x = e, dreapta are valoarea unu, iar panta ei este 1/e, egală cu derivata logaritmului în e.

O familie de drepte și condiția de tangență

Pentru parabola y = x², studiem dreptele y = mx − 1. Egalarea ecuațiilor produce x² − mx + 1 = 0.

Tangența apare când ecuația are o rădăcină dublă, deci m² − 4 = 0. Obținem m = 2 sau m = −2, exact cele două tangente prin A(0, −1) din primul exemplu.

Metoda discriminantului funcționează aici deoarece intersecția este descrisă de o ecuație de gradul al doilea. Pentru o funcție generală, nu există întotdeauna un discriminant de folosit; formula tangentei și condiția asupra punctului rămân metoda de bază.

Tangenta poate traversa graficul

Imaginea unei drepte care doar atinge un cerc nu descrie toate tangentele la grafice de funcții. Pentru y = x³ în zero, derivata este zero, deci tangenta este axa orizontală. Graficul trece dintr-o parte în cealaltă a acestei drepte. Definiția prin derivată rămâne valabilă. De aceea, nu respinge o tangentă doar pentru că o schiță sugerează traversarea graficului; verifică punctul de contact și panta.

Exerciții cu răspunsuri

1. Câte tangente la y = x² trec prin A(1, 0)?
2. Determină tangenta orizontală la y = x³ − 3x în punctul cu abscisă pozitivă.
3. Determină tangenta la y = ln x paralelă cu dreapta y = 2x + 1.

Răspunsuri: două, cu abscisele de contact zero și doi, deci dreptele y = 0 și y = 4x − 4; pentru al doilea, t = 1 și y = −2; pentru al treilea, t = o jumătate și y = 2x − 1 − ln 2.

Verifică fiecare dreaptă prin punctul de contact și pantă. Acest control susține înțelegerea geometrică a calculului. Dacă încurci punctul dat cu punctul de contact, poți exersa această distincție cu un profesor de matematică.

Întrebări frecvente

Tangenta trece obligatoriu prin punctul de contact?

Da. Formula conține exact această condiție, împreună cu panta dată de derivată.

Un punct exterior determină întotdeauna două tangente?

Nu. Numărul depinde de funcție și de poziția punctului. Chiar pentru parabolă poate fi zero, unu sau doi.

Pot găsi o tangentă printr-un punct în afara domeniului funcției?

Da. Punctul de contact trebuie să fie în domeniu; alte puncte ale dreptei pot avea abscise din afara lui.