Monotonie la BAC: parametri și intervale de domeniu

Semnul derivatei stabilește monotonia pe intervale. La BAC, două detalii schimbă frecvent răspunsul: parametrul poate modifica semnul derivatei, iar domeniul poate fi întrerupt de puncte excluse. Un calcul corect al derivatei nu este suficient dacă concluzia este formulată pe o mulțime nepotrivită.

În acest atelier vei discuta familii de funcții, vei separa intervalele domeniului și vei vedea de ce o derivată nulă într-un punct nu exclude creșterea strictă. Folosește apoi subiectele de BAC pentru a exersa redactarea cerută la profilul tău.

Schema utilă: domeniu → derivată factorizată → puncte unde derivata este zero sau nu există → tabel de semne pe intervale → concluzie pentru fiecare interval.

Ce spune semnul derivatei

Pe un interval unde funcția este derivabilă, derivata pozitivă implică o funcție strict crescătoare, iar derivata negativă implică o funcție strict descrescătoare. Dacă derivata este nenegativă, funcția este nedescrescătoare; dacă este nepozitivă, funcția este necrescătoare.

Termenii „crescătoare” și „descrescătoare” pot fi folosiți în manuale cu convenții diferite privind strictețea. Când contează, scrie explicit „strict” sau formulează inegalitatea dintre valorile funcției.

O derivată care se anulează numai în puncte izolate poate fi compatibilă cu monotonia strictă. În schimb, dacă derivata este zero pe un interval întreg, funcția este constantă pe acel interval și nu este strict monotonă acolo.

Exemplul unu: parametru într-un polinom cubic

Considerăm f(x) = x³ − 3ax, cu a real. Derivata este f'(x) = 3(x² − a). Discutăm semnul în funcție de a.

Dacă a este negativ, x² − a este strict pozitiv pentru orice x, deci funcția este strict crescătoare pe toată axa reală.

Dacă a este zero, funcția este x³. Derivata este 3x², nenegativă și nulă numai în zero. Funcția rămâne strict crescătoare. Putem verifica direct: pentru x diferit de y, factorul x² + xy + y² este pozitiv, iar diferența y³ − x³ are semnul lui y − x.

Dacă a este pozitiv, derivata se anulează în minus radical din a și radical din a. Semnul este pozitiv în exterior și negativ între aceste puncte.

Interval	Semnul derivatei	Variația funcției
înainte de −√a	pozitiv	strict crescătoare
între −√a și √a	negativ	strict descrescătoare
după √a	pozitiv	strict crescătoare

Concluzia pentru întrebarea „când este funcția strict crescătoare pe R?” este a cel mult zero. Condiția a strict negativ ar pierde cazul valid a = 0.

Exemplul doi: aceeași familie, interval restrâns

Cerem acum ca f(x) = x³ − 3ax să fie strict crescătoare pe intervalul de la unu la infinit, inclusiv unu.

Pentru x cel puțin unu, avem x² cel puțin unu. Dacă a este cel mult unu, derivata 3(x² − a) este nenegativă pe interval și strict pozitivă pentru x mai mare decât unu. Funcția este strict crescătoare pe intervalul cerut.

Dacă a este mai mare decât unu, există valori x între unu și radical din a pentru care derivata este negativă. Funcția scade pe o porțiune, deci nu poate fi crescătoare pe întregul interval.

Răspunsul este a cel mult unu. Diferența față de primul exemplu provine din intervalul impus, nu dintr-o altă derivată. Scrie întotdeauna unde trebuie să fie valabil semnul.

Exemplul trei: domeniul întrerupt

Pentru g(x) = (x + 1)/(x − 1), domeniul exclude unu. Derivata este −2/(x − 1)², strict negativă în fiecare punct al domeniului.

Rezultă că funcția este strict descrescătoare pe intervalul din stânga lui unu și strict descrescătoare pe intervalul din dreapta lui unu. Nu rezultă că este descrescătoare pe reuniunea lor.

Un contraexemplu este suficient: zero este mai mic decât doi, dar g(0) = −1 și g(2) = 3. Pentru o funcție descrescătoare pe întregul domeniu ar trebui g(0) mai mare decât g(2), ceea ce este fals.

Teorema despre semnul derivatei se aplică pe intervale. Între zero și doi se află punctul exclus unu, deci nu avem un interval de derivabilitate care să lege cele două argumente.

Exemplul patru: logaritm și parametru

Studiază h(x) = ln x − ax, pentru x pozitiv. Derivata este 1/x − a, adică (1 − ax)/x. Numitorul este pozitiv, deci semnul depinde de numărător.

Dacă a este zero sau negativ, 1 − ax este pozitiv pentru orice x pozitiv. Funcția este strict crescătoare pe întregul domeniu.

Dacă a este pozitiv, derivata se anulează în 1/a. Funcția crește strict până la acest punct și descrește strict după el. Nu împărți prin a înainte de discuția semnului: valoarea zero și sensul inegalităților cer atenție.

Pentru a = 2, pragul este o jumătate. Pentru a = o jumătate, pragul este doi. Aceste verificări simple te ajută să observi dacă ai inversat accidental a cu 1/a.

Ce faci cu punctele de frontieră

Dacă funcția este continuă la un capăt inclus, monotonia de pe interior se poate extinde până la acel capăt. De exemplu, funcția x² este strict crescătoare pe intervalul de la zero la infinit, inclusiv zero, deși derivata este zero în capăt.

Un punct exclus nu poate fi introdus în intervalul de monotonie prin folosirea unei limite. Pentru g din exemplul anterior, paranteza la unu rămâne deschisă.

Dacă funcția este definită pe ramuri, verifică și felul în care se întâlnesc valorile la punctul de legătură. Semnele derivatelor pe două bucăți nu justifică singure monotonia globală atunci când apare un salt în sens opus variației dorite.

Exerciții cu răspunsuri

1. Pentru x³ − 3ax, află a astfel încât funcția să fie strict crescătoare pe intervalul de la doi la infinit.
2. Studiază monotonia lui x + 1/x pe domeniul pozitiv.
3. Este funcția −1/x strict crescătoare pe întregul domeniu nenul?

Răspunsuri: a cel mult patru; funcția din al doilea exercițiu descrește pe intervalul dintre zero și unu și crește după unu; nu pentru al treilea, deși derivata este pozitivă pe fiecare dintre cele două intervale ale domeniului. De exemplu, valorile în minus unu și unu sunt unu și minus unu, încălcând creșterea globală.

Refă tabelul fără să privești răspunsul și explică fiecare semn. Aceasta ajută înțelegerea metodei, mai ales când parametrul schimbă numărul de puncte critice. Pentru feedback pe redactare, poți lucra un exemplu cu un profesor de matematică.

Întrebări frecvente

O derivată nulă într-un punct exclude creșterea strictă?

Nu. Funcția x³ este strict crescătoare, deși derivata ei este zero în origine.

Derivata negativă peste tot în domeniu garantează descreștere globală?

Pe un interval, da. Pe un domeniu întrerupt, concluzia trebuie verificată separat între componente.

Trebuie să verific parametrul egal cu zero?

Da, când el apare la numitor după transformări sau schimbă numărul rădăcinilor derivatei. Nu îl exclude printr-o împărțire nejustificată.