Extreme la BAC: minim global și inegalități

Un punct în care derivata este zero nu este automat un punct de extrem, iar un minim local nu este neapărat minimul întregii funcții. La BAC, aceste diferențe apar când trebuie să determini valori extreme sau să demonstrezi o inegalitate folosind studiul unei funcții.

Acest atelier te învață să treci de la tabelul derivatei la o concluzie precisă: unde se atinge extremul, ce valoare are și pe ce domeniu este valabilă afirmația. Exemplele pot fi urmate de un exercițiu din subiectele de BAC pentru programa ta.

De reținut: abscisa punctului de extrem și valoarea extremă sunt lucruri diferite. Dacă minimul este atins în c, valoarea minimă este f(c), nu c.

Local sau global?

Un minim local compară f(c) cu valorile funcției dintr-o vecinătate a lui c. Un minim global compară f(c) cu toate valorile de pe domeniul studiat. Orice minim global este și local în sens relativ la domeniu, dar reciproca nu este valabilă.

Pentru un punct interior unde funcția este derivabilă, un extrem local impune derivata zero. Aceasta este o condiție necesară, nu suficientă. La un capăt de interval sau într-un punct unde derivata nu există, trebuie făcută o analiză separată.

Semnul derivatei înainte și după c	Concluzie locală
plus, apoi minus	maxim local
minus, apoi plus	minim local
plus în ambele părți	nu rezultă extrem; funcția continuă să crească
minus în ambele părți	nu rezultă extrem; funcția continuă să scadă

Tabelul se interpretează împreună cu continuitatea și domeniul. Un punct exclus nu poate fi punct de extrem al funcției inițiale.

Exemplul unu: punct staționar fără extrem

Pentru f(x) = x³, derivata este 3x². Ea se anulează în zero, dar este pozitivă în ambele părți. Funcția este strict crescătoare pe toată axa.

În orice vecinătate a lui zero există argumente negative cu valori negative și argumente pozitive cu valori pozitive. Valoarea f(0) = 0 nu este nici cea mai mică, nici cea mai mare din acea vecinătate.

Prin urmare, zero este punct staționar, dar nu punct de extrem. Răspunsul „f'(0) = 0, deci minim” ar fi greșit. După rezolvarea ecuației derivatei, verifică schimbarea semnului sau compară direct valorile.

Exemplul doi: extreme locale, fără extreme globale

Considerăm g(x) = x³ − 3x. Derivata este 3(x − 1)(x + 1). Funcția crește până la minus unu, scade între minus unu și unu, apoi crește după unu.

În minus unu are maxim local, cu valoarea g(−1) = 2. În unu are minim local, cu valoarea g(1) = −2.

Totuși, funcția nu are maxim global și nici minim global pe R. La plus infinit, valorile tind la plus infinit; la minus infinit, tind la minus infinit. Există valori mai mari decât doi și valori mai mici decât minus doi.

Cuvântul „local” nu poate fi omis din această concluzie. De exemplu, g(3) = 18 depășește maximul local, iar g(−3) = −18 este sub minimul local. Aceste două calcule confirmă diferența dintre comparația într-o vecinătate și comparația pe întregul domeniu.

Exemplul trei: minimul unei funcții cu logaritm

Studiază h(x) = x ln x pentru x pozitiv. Derivata este ln x + 1. Ea se anulează când ln x = −1, adică în x = 1/e.

Pentru x între zero și 1/e, derivata este negativă. Pentru x mai mare decât 1/e, derivata este pozitivă. Funcția descrește până la acest punct și crește după el, deci are minim global.

Valoarea minimă este h(1/e) = −1/e. Concluzia se poate scrie ca inegalitate:

$$x\ln x\geq-\frac1e,\qquad x>0.$$

Egalitatea are loc numai pentru x = 1/e. Un răspuns complet conține domeniul și cazul de egalitate, nu doar numărul minim.

Funcția nu are maxim global: pentru x suficient de mare, produsul x ln x crește fără limită. Faptul că limita la zero din dreapta este zero nu înseamnă că zero este minimul; funcția ia valori negative înainte de unu.

Exemplul patru: demonstrezi o inegalitate prin minim

Vrem să demonstrăm ln x cel mult x − 1 pentru orice x pozitiv. Mutăm termenii într-o funcție auxiliară F(x) = x − 1 − ln x.

Derivata este 1 − 1/x, adică (x − 1)/x. Numitorul este pozitiv, deci F descrește până la unu și crește după unu. Minimul global se atinge în unu și este F(1) = 0.

Rezultă F(x) cel puțin zero, exact inegalitatea dorită. Egalitatea apare numai în unu, deoarece monotonia este strictă pe fiecare parte a punctului de minim.

Nu este suficient să verifici inegalitatea pentru câteva numere. Studiul derivatei acoperă întregul domeniu pozitiv și justifică afirmația universală.

Exemplul cinci: inegalitate exponențială

Pentru a arăta că e la puterea x este cel puțin 1 + x pentru orice x real, alegem G(x) = e la puterea x − 1 − x.

Derivata este e la puterea x − 1, negativă pentru x negativ și pozitivă pentru x pozitiv. Funcția are minim global în zero, cu valoarea zero.

Obținem inegalitatea și cazul de egalitate x = 0. Observă că metoda este aceeași ca la logaritm, dar domeniul este acum întreaga axă reală. Nu transfera restricția x pozitiv de la un exercițiu la altul fără motiv.

Cum alegi funcția auxiliară

Pentru o inegalitate de forma A(x) cel puțin B(x), încearcă F(x) = A(x) − B(x). Scopul este să demonstrezi că minimul lui F este nenegativ. Dacă derivata se simplifică într-o expresie cu semn clar, alegerea este potrivită.

Dacă inegalitatea conține un parametru, stabilește mai întâi pentru ce valori ale lui este valabil domeniul și semnul derivatei. Nu presupune că orice punct critic produce automat o limită globală pentru toate valorile parametrului.

După studiu, întoarce-te explicit la inegalitatea inițială. Cititorul trebuie să vadă legătura dintre minimul funcției auxiliare și cerința de demonstrat.

Exerciții cu răspunsuri

1. Determină minimul lui x − ln x pe domeniul pozitiv.
2. Arată că e la puterea 2x este cel puțin 1 + 2x pentru orice x real.
3. Funcția x⁴ are extrem în zero? Compară cu x³.

Răspunsuri: minimul este unu, atins în unu; aplici inegalitatea exponențială argumentului 2x, cu egalitate numai în zero; x⁴ are minim global zero în origine, deoarece este nenegativă, în timp ce x³ nu are extrem acolo.

Explică diferența dintre ultimii doi polinomi prin semnul derivatei. Acest contrast sprijină înțelegerea în locul memorării mecanice. Dacă ai nevoie de feedback asupra funcției auxiliare alese, lucrează un exemplu cu un profesor de matematică.

Întrebări frecvente

Derivata zero garantează un extrem?

Nu. Este doar o condiție necesară pentru un extrem interior al unei funcții derivabile.

Un maxim local poate fi depășit în altă parte?

Da. Comparația locală se face numai într-o vecinătate, nu pe întregul domeniu.

Trebuie scris cazul de egalitate al inegalității?

Da, când îl poți determina din studiu sau când este cerut. El arată unde se atinge limita obținută.