Numărul soluțiilor la BAC: metoda derivatei

La BAC, unele ecuații nu cer să găsești explicit toate rădăcinile, ci să demonstrezi câte soluții au sau să localizezi o soluție într-un interval. Derivata ajută la unicitate, iar continuitatea ajută la existență. Cele două argumente trebuie folosite împreună.

Acest atelier tratează ecuații cu parametru de forma f(x) = m și ecuații a căror rădăcină nu are o expresie simplă. Vei construi tabelul de variație, vei citi imaginea fiecărei ramuri și vei evita numărarea de două ori a unui punct de extrem. Completează studiul cu subiectele de BAC pentru profilul tău.

Ideea de bază: continuitatea poate garanta că o valoare este atinsă; monotonia strictă garantează că este atinsă cel mult o dată pe intervalul respectiv.

Existență și unicitate sunt afirmații diferite

Dacă o funcție continuă pe un interval închis are valori de semne opuse la capete, teorema valorilor intermediare garantează cel puțin o rădăcină între ele. Nu spune automat că rădăcina este unică.

Dacă funcția este strict crescătoare sau strict descrescătoare pe un interval, ecuația f(x) = m are cel mult o soluție acolo. Nu spune automat că are o soluție: valoarea m trebuie să aparțină imaginii intervalului.

Ce ai demonstrat	Ce poți concluziona
Schimbare de semn și continuitate	Există cel puțin o rădăcină
Monotonie strictă	Există cel mult o rădăcină
Ambele, pe același interval	Există exact o rădăcină

Un calcul aproximativ poate sugera un interval, dar justificarea scrisă trebuie să precizeze proprietățile funcției și semnele valorilor folosite.

Exemplul unu: o ecuație cu soluție unică

Considerăm ecuația x³ + x − 1 = 0 pe R. Definim F(x) = x³ + x − 1. Funcția este continuă și derivabilă pe toată axa.

Derivata F'(x) = 3x² + 1 este strict pozitivă, deci F este strict crescătoare. Prin urmare, poate avea cel mult o rădăcină reală.

Calculăm F(0) = −1 și F(1) = 1. Semnele sunt opuse, iar continuitatea garantează o rădăcină între zero și unu. Împreună cu monotonia, rezultă exact o soluție reală.

Nu trebuie să folosești formula generală pentru ecuații cubice. Cerința privind numărul soluțiilor este rezolvată complet prin existență și unicitate.

Localizarea mai precisă a aceleiași rădăcini

Calculăm F(0,6) = −0,184 și F(0,7) = 0,043. Rădăcina se află între aceste două numere. La mijloc, F(0,65) = −0,075375, deci rădăcina este între 0,65 și 0,7.

Continuând împărțirea intervalului, obții o aproximare tot mai bună. Fiecare pas păstrează capete cu semne opuse și reduce lungimea intervalului la jumătate.

Dacă exercițiul cere doar un interval de lungime o zecime, prima localizare este suficientă. Nu confunda o aproximare zecimală cu valoarea exactă și nu adăuga cifre fără un control al erorii.

Exemplul doi: numărul soluțiilor depinde de parametru

Studiază ecuația x³ − 3x = m. Notăm f(x) = x³ − 3x. Derivata este 3(x² − 1), deci punctele critice sunt minus unu și unu.

Funcția crește pe ramura din stânga, de la minus infinit până la valoarea doi în x = −1. Apoi scade până la valoarea minus doi în x = 1. După aceea crește de la minus doi spre plus infinit.

Comparăm nivelul m cu valorile extreme locale:

Valoarea lui m	Numărul soluțiilor reale distincte
m < −2	una
m = −2	două
−2 < m < 2	trei
m = 2	două
m > 2	una

Pentru un nivel strict între minus doi și doi, fiecare dintre cele trei intervale deschise de monotonie conține câte o soluție. Continuitatea și monotonia justifică existența și unicitatea pe fiecare ramură.

Pentru un nivel deasupra lui doi, numai ramura din dreapta poate atinge valoarea. Pentru un nivel sub minus doi, numai ramura din stânga poate face acest lucru.

Nivelurile de frontieră și rădăcinile duble

Pentru m = 2, ecuația devine x³ − 3x − 2 = 0. Factorizarea este (x − 2)(x + 1)² = 0. Soluțiile distincte sunt doi și minus unu.

Pentru m = −2, factorizarea este (x + 2)(x − 1)² = 0. Soluțiile distincte sunt minus doi și unu.

Rădăcina dublă se numără o singură dată când cerința privește numărul soluțiilor reale distincte. Multiplicitatea este o altă informație. La citirea tabelului, punctul de extrem aparține frontierei a două ramuri, dar nu reprezintă două argumente diferite.

O metodă sigură este să numeri mai întâi soluțiile din intervalele deschise, apoi să verifici separat punctele critice. Astfel nu dublezi punctele comune ale intervalelor închise.

Exemplul trei: ecuație cu logaritm

Considerăm ln x − x = m, cu x pozitiv. Funcția g(x) = ln x − x are derivata (1 − x)/x. Ea crește strict până la unu și scade strict după unu.

Valoarea maximă este g(1) = −1. La zero din dreapta, funcția tinde la minus infinit. La plus infinit, tinde tot la minus infinit, deoarece termenul liniar domină logaritmul.

Rezultă două soluții pentru m mai mic decât minus unu, o singură soluție pentru m egal cu minus unu și nicio soluție pentru m mai mare decât minus unu. În cazul unic, soluția este x = 1.

Pentru m = −2, una dintre soluții se află între zero și unu, iar cealaltă este mai mare decât unu. Nu trebuie să le exprimi prin formule elementare pentru a demonstra că sunt exact două.

De ce nu ajunge o schiță

Graficul ajută la înțelegerea intersecțiilor cu dreapta orizontală y = m. Totuși, o schiță aproximativă poate rata o schimbare de monotonie sau poate sugera greșit că o valoare limită este atinsă.

În soluția scrisă, precizează domeniul, semnul derivatei, valorile în punctele critice și limitele de la capetele intervalelor. Aceste date stabilesc imaginile ramurilor și fac numărătoarea verificabilă.

Dacă funcția nu este continuă pe intervalul folosit, schimbarea semnului nu mai garantează o rădăcină. De exemplu, 1/x are valori de semne opuse în minus unu și unu, dar nu se anulează; intervalul conține punctul unde funcția nu este definită.

Exerciții cu răspunsuri

1. Câte soluții reale are x³ − 3x = 0?
2. Câte soluții pozitive are ln x − x = 0?
3. Demonstrează că x³ + 2x − 4 = 0 are o singură rădăcină și localizeaz-o între două numere întregi consecutive.

Răspunsuri: trei, anume zero și plus sau minus radical din trei; niciuna, deoarece maximul este minus unu; o singură rădăcină între unu și doi, deoarece derivata este pozitivă, iar valorile la capete sunt minus unu și opt.

Separă în redactare propoziția despre existență de cea despre unicitate. Acest obicei sprijină înțelegerea demonstrației. Pentru verificarea unui tabel cu parametru, poți lucra împreună cu un profesor de matematică.

Întrebări frecvente

O funcție strict crescătoare are obligatoriu o rădăcină?

Nu. De exemplu, exponențiala este strict crescătoare și pozitivă. Trebuie demonstrată și existența.

O rădăcină dublă înseamnă două soluții distincte?

Nu. Este aceeași valoare a necunoscutei, cu multiplicitate doi.

Pot folosi schimbarea de semn peste un punct exclus?

Nu fără continuitate pe întregul interval. Punctul exclus poate invalida argumentul de existență.