Primitivă la BAC: parametri și condiție inițială

La BAC, cerința „determină primitiva care îndeplinește o condiție” are două etape: găsești familia de primitive, apoi alegi constanta potrivită. Dacă funcția propusă conține parametri, îi determini prin egalitatea dintre derivata ei și funcția dată. Condiția într-un punct se folosește abia după această verificare.

Acest atelier se concentrează pe primitive cu parametri și valori impuse, inclusiv pe situația unui domeniu alcătuit din mai multe intervale. Exemplele completează antrenamentul din subiectele de BAC, în limitele programei profilului tău.

Regula de bază: F este o primitivă a lui f pe un interval dacă F este derivabilă acolo și F'(x) = f(x) pentru fiecare x din interval. Verificarea într-un singur punct nu este suficientă.

Schema unei rezolvări complete

Etapă	Ce faci
Domeniu	Identifici intervalul pe care lucrezi
Derivare	Calculezi F' și o compari cu f
Parametri	Egalezi coeficienții sau simplifici identitatea
Constantă	Folosești valoarea impusă într-un punct
Control	Verifici atât derivata, cât și condiția inițială

Pe un interval, două primitive ale aceleiași funcții diferă printr-o constantă. De aceea, o valoare impusă într-un punct determină cel mult o primitivă din familia găsită.

Constanta nu influențează derivata, dar influențează valorile funcției. Nu încerca să o determini din egalitatea derivatelor: ea dispare tocmai prin derivare.

Exemplul unu: produs cu exponențială

Fie f(x) = (6x + 1)e la puterea 2x. Căutăm o primitivă de forma F(x) = (ax + b)e la puterea 2x + C, cu F(0) = 4.

Aplicăm regula produsului și regula funcției compuse:

$$F'(x)=a e^{2x}+2(ax+b)e^{2x}=(2ax+a+2b)e^{2x}.$$

Exponențiala este nenulă, deci egalitatea F' = f se reduce la identitatea 2ax + a + 2b = 6x + 1. Compararea coeficienților dă 2a = 6 și a + 2b = 1.

Rezultă a = 3 și b = −1. Familia de primitive este F(x) = (3x − 1)e la puterea 2x + C. Din F(0) = −1 + C = 4 obținem C = 5.

Răspunsul este F(x) = (3x − 1)e la puterea 2x + 5. Verifică separat cele două cerințe: derivata reface f, iar valoarea în zero este patru.

Exemplul doi: polinom de gradul al doilea

Pentru f(x) = (x² + 1)e la puterea x, propunem F(x) = (x² + ax + b)e la puterea x + C. Derivata devine:

$$F'(x)=[x^2+(a+2)x+(a+b)]e^x.$$

Comparăm cu funcția dată. Coeficientul lui x trebuie să fie zero, deci a + 2 = 0. Termenul constant trebuie să fie unu, deci a + b = 1. Obținem a = −2 și b = 3.

Dacă se cere F(0) = 0, atunci b + C = 0, de unde C = −3. Primitiva cerută este (x² − 2x + 3)e la puterea x − 3.

Nu elimina termenul liniar înainte de derivare doar fiindcă funcția f nu îl conține. Tocmai anularea lui după aplicarea regulii produsului determină parametrul a.

Condiția inițială alege o singură constantă

Pentru f(x) = 2x + 3, familia de primitive pe R este F(x) = x² + 3x + C. Dacă F(1) = 7, obținem 1 + 3 + C = 7, deci C = 3.

Dacă se impune și F(2) = 13, condiția este compatibilă, deoarece 4 + 6 + 3 = 13. Dacă a doua valoare impusă ar fi doisprezece, nu ar exista o primitivă care să satisfacă simultan ambele condiții.

O a doua valoare nu introduce o a doua constantă independentă pe același interval. Ea verifică dacă datele sunt compatibile cu prima condiție și cu funcția derivată dată.

Domeniu întrerupt: constante independente

Considerăm f(x) = 2x/(x² − 4), definită pentru x diferit de minus doi și doi. O expresie de primitivă este ln|x² − 4|, deoarece derivata logaritmului modulului este 2x/(x² − 4) acolo unde numitorul nu este zero.

Domeniul are trei intervale separate. Familia completă de primitive poate avea câte o constantă diferită pe fiecare:

• ln|x² − 4| + C₁ pentru x mai mic decât minus doi;
• ln|x² − 4| + C₂ pentru x între minus doi și doi;
• ln|x² − 4| + C₃ pentru x mai mare decât doi.

Condiția F(1) = 0 determină numai C₂ = −ln 3. Nu stabilește C₁ și C₃, fiindcă punctul unu aparține doar intervalului din mijloc.

Afirmația „toate primitivele diferă printr-o constantă” trebuie înțeleasă pe un interval. Pe componente separate, constantele pot fi independente. La BAC, enunțul precizează adesea un interval tocmai pentru a evita această ambiguitate.

De ce apare modulul în logaritm

Pentru x între minus doi și doi, expresia x² − 4 este negativă. Logaritmul natural al acestei expresii nu este real, dar ln|x² − 4| este definit.

Pe intervalul din mijloc, poți scrie echivalent ln(4 − x²). Derivata sa este −2x/(4 − x²), egală cu 2x/(x² − 4). Pe intervalele exterioare, poți scrie ln(x² − 4).

Alegerea formei trebuie să respecte intervalul. Nu copia automat un logaritm fără modul dintr-un exemplu cu domeniu pozitiv într-o problemă unde argumentul poate fi negativ.

Verificarea unei primitive date

Dacă enunțul spune „arată că F este o primitivă”, nu este necesar să calculezi de la început integrala nedefinită. Derivezi funcția F și demonstrezi identitatea F' = f pe domeniul indicat.

De exemplu, pentru F(x) = x − ln(1 + x), pe intervalul x mai mare decât minus unu, derivata este 1 − 1/(1 + x) = x/(1 + x). Aceasta verifică direct că F este primitivă pentru fracția respectivă.

Dacă obții o expresie aparent diferită, adu termenii la același numitor sau factorizează înainte să concluzionezi că rezultatul este greșit. Două forme algebrice pot descrie aceeași funcție pe domeniul comun.

Constanta se adaugă întregii primitive

Scrierea F(x) + C nu este echivalentă cu introducerea lui C într-un factor al lui F. De exemplu, pentru o primitivă de forma xe la puterea x, expresia x(e la puterea x + C) adaugă termenul Cx, a cărui derivată este C. Ai schimbat astfel funcția derivată. Păstrează constanta ca termen adunat la întreaga expresie, apoi folosește paranteze clare când înlocuiești argumentul în condiția inițială.

Exerciții cu răspunsuri

1. Determină primitiva lui 3x² − 2x care are valoarea cinci în zero.
2. Pentru F(x) = (ax + b)e la puterea x, impune F'(x) = xe la puterea x.
3. Pentru f(x) = 1/x pe domeniul pozitiv, află primitiva cu F(e) = 0.

Răspunsuri: x³ − x² + 5; a = 1 și b = −1; ln x − 1. În al doilea exercițiu, o constantă adăugată ulterior ar produce aceeași derivată, dacă se cere familia tuturor primitivelor.

Verifică fiecare răspuns prin derivare și prin valoarea impusă. Acest dublu control susține învățarea prin înțelegere. Dacă te încurci la produs sau la constante pe intervale, lucrează un exemplu cu un profesor de matematică.

Întrebări frecvente

Constanta se află prin derivare?

Nu. Derivata ei este zero. Constanta se determină dintr-o condiție asupra valorii primitivei.

Două condiții într-un interval dau două constante?

Nu. Ele trebuie să fie compatibile cu aceeași constantă.

Pot avea constante diferite pe intervale separate?

Da. Fără o condiție suplimentară care le leagă, fiecare componentă a domeniului are propria constantă.