Schimbare de variabilă la BAC: capetele integralei

Schimbarea de variabilă într-o integrală definită cere mai mult decât alegerea unei litere noi. La BAC, trebuie să transformi expresia, diferențiala și capetele intervalului în mod coerent. Cele mai frecvente erori apar când rezultatul este scris în noua variabilă, dar se folosesc încă limitele vechi.

Acest atelier urmărește integrale cu capete transformate, factori lipsă și substituții descrescătoare. Exemplele se verifică prin primitive sau printr-un al doilea calcul scurt. Pentru exerciții similare, consultă subiectele de BAC și programa profilului tău.

Regula practică: după substituție, fie lucrezi complet în noua variabilă, inclusiv cu noile capete, fie revii la variabila inițială înainte de evaluare. Nu combina cele două variante.

Schema schimbării de variabilă

Pentru o expresie de forma f(g(x))g'(x), alegi u = g(x). Atunci du = g'(x) dx, iar capetele devin g(a) și g(b).

$$\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)\,du.$$

Formula se folosește când funcțiile au regularitatea și domeniul necesare, de exemplu g derivabilă cu derivată continuă și f continuă pe valorile parcurse de g. În exemplele de aici, aceste condiții se verifică direct.

Element	Înainte	După substituție
Variabilă	x	u
Expresie compusă	g(x)	u
Diferențială	g'(x) dx	du
Capete	a și b	g(a) și g(b)

Dacă apare numai o parte din derivata lui g, compensezi printr-un factor numeric. Dacă derivata lipsește cu totul, substituția poate să nu simplifice integrala.

Exemplul unu: factorul o jumătate

Calculăm integrala de la zero la unu din x√(1 + x²) dx. Alegem u = 1 + x², deci du = 2x dx și x dx = du/2.

Pentru x = 0, noul capăt este u = 1. Pentru x = 1, noul capăt este u = 2. Integrala devine jumătate din integrala de la unu la doi din √u du.

O primitivă a lui √u este 2u la puterea trei supra doi, împărțit la trei. După înmulțirea cu o jumătate, obținem:

$$\int_0^1x\sqrt{1+x^2}\,dx=\frac{2\sqrt2-1}{3}.$$

Dacă uiți factorul o jumătate, rezultatul devine dublu. Verificarea prin derivare a expresiei (1 + x²) la puterea trei supra doi, împărțit la trei, reface exact integrandul x√(1 + x²).

Exemplul doi: o fracție care devine putere

Calculăm integrala de la zero la unu din 2x/(1 + x²)² dx. Alegem din nou u = 1 + x², iar du = 2x dx apare complet la numărător.

Capetele sunt unu și doi. Integrala transformată este integrala din u la puterea minus doi, între unu și doi. O primitivă este −1/u.

Evaluarea dă −1/2 − (−1) = 1/2. Paranteza de la capătul inferior este esențială: scazi o valoare negativă.

Observă diferența față de integrala cu numitorul la puterea întâi. Pentru 2x/(1 + x²), rezultatul ar implica logaritmul; pentru numitorul la pătrat, folosim regula puterii. Substituția este aceeași, dar funcția rămasă nu este aceeași.

Exemplul trei: logaritmul devine variabilă

Pentru integrala de la unu la e din (ln x)²/x dx, alegem u = ln x. Diferențiala este du = dx/x.

Capătul x = 1 devine u = 0, iar x = e devine u = 1. Integrala este acum cea a lui u² de la zero la unu, cu valoarea o treime.

Domeniul este pozitiv pe întregul interval, deci logaritmul și fracția sunt definite. Dacă ai păstra capetele unu și e în integrala lui u², ai calcula o altă integrală.

O verificare alternativă folosește direct primitiva (ln x)³/3 și capetele originale. Ambele metode dau același număr atunci când variabila și capetele sunt potrivite.

Exemplul patru: exponențiala și noul interval

Calculăm integrala de la zero la ln 2 din e la puterea x împărțit la 1 + e la puterea x. Punem u = 1 + e la puterea x, deci du = e la puterea x dx.

Capetele devin doi și trei. Integrala lui 1/u între aceste valori este ln 3 − ln 2, adică ln(3/2).

Noul interval nu începe în unu, deși exponențiala în zero este unu. Substituția conține și termenul adunat unu, deci valoarea completă a lui u în zero este doi. Calculează capetele din definiția exactă a substituției, nu dintr-o parte a ei.

Exemplul cinci: substituție descrescătoare

Pentru integrala de la zero la unu din (1 − x)³ dx, alegem u = 1 − x. Atunci du = −dx, iar capetele se transformă din zero și unu în unu și zero.

Rezultă minus integrala de la unu la zero din u³ du. Inversând capetele, minusul dispare și obținem integrala de la zero la unu din u³, cu valoarea un sfert.

Cele două schimbări de semn se compensează: una vine din diferențială, alta din inversarea capetelor. Dacă inversezi capetele fără să păstrezi semnul potrivit, poți obține o valoare negativă pentru o funcție nenegativă, ceea ce semnalează o eroare.

Când capetele noi coincid

Considerăm integrala de la minus unu la unu din 2x/(1 + x²) dx. Substituția u = 1 + x² produce aceleași capete, doi și doi, iar integrala este zero.

Acest rezultat este corect: integrandul este impar și contribuțiile celor două jumătăți se anulează. Formula cu f(g(x))g'(x) poate fi justificată prin derivarea unei primitive compuse, fără să impună aici ca g să fie injectivă.

Totuși, nu aplica aceeași concluzie unei integrale din e la puterea x² fără factorul 2x. Derivata necesară nu este prezentă, iar simpla coincidență a valorilor lui x² la capete nu face integrala zero.

Înainte de a transforma o integrală, verifică dacă noua expresie este mai simplă. O substituție corectă, dar complicată, poate crește riscul de eroare. În exemplele de mai sus, alegerea elimină o funcție compusă și lasă o putere, un logaritm sau o exponențială elementară.

Exerciții cu răspunsuri

1. Calculează integrala de la zero la unu din 3x²e la puterea x³ dx.
2. Calculează integrala de la unu la e² din ln x/x dx.
3. Calculează integrala de la zero la unu din 2x/(1 + x²)³ dx.

Răspunsuri: e − 1, prin u = x³; doi, prin u = ln x, cu capete zero și doi; trei optimi, prin u = 1 + x² și primitiva −1/(2u²).

Scrie lângă fiecare substituție un mic tabel cu cele două capete. Această verificare susține înțelegerea transformării. Dacă factorii din diferențială sunt neclari, discută un calcul complet cu un profesor de matematică.

Întrebări frecvente

Trebuie să schimb întotdeauna capetele?

Dacă evaluezi în noua variabilă, da. Dacă revii la variabila inițială înainte de evaluare, folosești capetele inițiale.

Un minus în diferențială poate fi ignorat?

Nu. Îl păstrezi sau îl compensezi explicit prin inversarea capetelor.

Aceleași capete noi înseamnă mereu integrală zero?

Numai dacă transformarea este validă pentru întregul integrand. Lipsa factorului derivată poate invalida substituția propusă.