Integrare prin părți la BAC: repetare și recurență

Integrarea prin părți la BAC devine mai clară când urmărești ce se simplifică după fiecare pas. Pentru un polinom înmulțit cu o exponențială, derivarea reduce gradul polinomului. Pentru un logaritm, derivarea elimină logaritmul dintr-un factor. Uneori metoda trebuie aplicată de două ori sau produce o relație între integrale consecutive.

Acest atelier se concentrează pe integrarea repetată, termenii de frontieră și recurențe simple. Nu înlocuiește tabelul primitivelor; îl folosește într-o ordine care reduce calculul. Alege apoi o cerință comparabilă din subiectele de BAC, potrivit programei tale.

Întrebarea de control: integrala rămasă după aplicarea formulei este mai simplă decât cea inițială? Dacă nu, verifică alegerea celor doi factori.

Formula și alegerea factorilor

Pentru funcții suficient de regulate pe interval, formula definită este:

$$\int_a^b u(x)v'(x)\,dx=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)\,dx.$$

Alegi u astfel încât derivata lui să se simplifice și v' astfel încât să îi găsești ușor o primitivă v. Notează explicit cele patru elemente înainte de calcul.

Produs	Alegere utilă pentru u	Alegere utilă pentru v'
polinom × exponențială	polinomul	exponențiala
polinom × sinus sau cosinus	polinomul	funcția trigonometrică
logaritm × putere	logaritmul	puterea

Tabelul oferă alegeri frecvente, nu o regulă care garantează succesul pentru orice produs. Domeniul și complexitatea integralei rămase trebuie verificate.

Exemplul unu: două aplicări succesive

Calculăm I = integrala de la zero la unu din x²e la puterea 2x dx. Alegem u = x² și v' = e la puterea 2x. Atunci u' = 2x și v = e la puterea 2x împărțit la doi.

Formula dă I = e²/2 − J, unde J este integrala de la zero la unu din xe la puterea 2x dx. Termenul de frontieră inferior este zero deoarece conține x².

Pentru J, alegem u = x și v' aceeași exponențială. Obținem J = e²/2 − jumătate din integrala exponențialei între zero și unu. Ultima integrală este (e² − 1)/2.

Prin urmare, J = e²/2 − (e² − 1)/4 = (e² + 1)/4. Revenind la I, rezultă:

$$I=\frac{e^2-1}{4}.$$

O verificare folosește primitiva e la puterea 2x înmulțită cu x²/2 − x/2 + 1/4. Derivarea ei reface x²e la puterea 2x, iar evaluarea la capete produce același rezultat.

Unde se pierd factorii

Primitiva lui e la puterea 2x nu este aceeași exponențială, ci jumătate din ea. Acest factor apare la fiecare aplicare a formulei.

În primul pas, factorul o jumătate se înmulțește cu derivata 2x și se simplifică. În al doilea pas, derivata lui x este unu, deci jumătatea rămâne. Dacă tratezi cele două etape identic fără să urmărești factorii, rezultatul se schimbă.

Scrie termenul de frontieră între paranteze și evaluează ambele capete. Faptul că primul termen inferior a fost zero nu înseamnă că toate evaluările ulterioare în zero sunt nule.

Exemplul doi: o relație de recurență

Definim Iₙ ca integrala de la zero la unu din x la puterea n înmulțit cu e la puterea x, pentru n întreg nenegativ.

Pentru n cel puțin unu, alegem u = x la puterea n și v' = e la puterea x. Derivata polinomului este n ori x la puterea n minus unu. Termenul de frontieră este e, deoarece la unu obținem e, iar la zero puterea pozitivă se anulează.

Rezultă relația Iₙ = e − nIₙ₋₁, valabilă pentru n cel puțin unu. Valoarea inițială se calculează separat: I₀ = e − 1.

Aplicând relația:

• I₁ = e − (e − 1) = 1;
• I₂ = e − 2 = e − 2;
• I₃ = e − 3(e − 2) = 6 − 2e.

Nu aplica recurența în zero fără să verifici termenul inferior. Pentru n = 0, funcția x la puterea zero este unu, iar contribuția capătului inferior nu mai dispare.

Controlul semnului unei recurențe

Toate integralele Iₙ sunt pozitive, deoarece integrandul este pozitiv în interiorul intervalului. De exemplu, 6 − 2e este pozitiv, în acord cu acest fapt.

Pe intervalul dintre zero și unu, x la puterea n plus unu este cel mult x la puterea n. Prin comparație, Iₙ₊₁ este cel mult Iₙ; de fapt, inegalitatea este strictă deoarece integranzii diferă în interior.

Aceste proprietăți nu înlocuiesc calculul exact, dar pot detecta o eroare de semn sau de coeficient. Dacă ai obținut o valoare negativă, întoarce-te la formula prin părți și la evaluarea termenilor de frontieră.

Exemplul trei: logaritm și polinom

Calculăm integrala de la unu la e din x ln x dx. Alegem u = ln x și v' = x. Atunci u' = 1/x și v = x²/2.

Termenul de frontieră este e²/2, deoarece ln 1 este zero. Integrala rămasă este jumătate din integrala lui x între unu și e, cu valoarea (e² − 1)/4.

Rezultatul final este (e² + 1)/4. Alegerea inversă, cu logaritmul drept factor de integrat, ar introduce o expresie mai lungă și nu ar simplifica la fel de eficient problema.

Domeniul pozitiv este esențial pentru ln x. Înainte să aplici formula, verifică faptul că întregul interval se află în domeniul funcțiilor folosite.

Exemplul patru: un produs trigonometric

Pentru integrala de la zero la pi din x sin x dx, alegem u = x și v' = sin x. O primitivă a sinusului este −cos x.

Formula produce termenul de frontieră −x cos x și integrala lui cos x cu semn plus. Evaluarea dă pi, deoarece cos pi este minus unu, iar sinusul este zero în ambele capete.

Semnul minus din primitiva sinusului schimbă semnul integralei rămase. Scrie formula înainte să simplifici, ca să nu pierzi acest minus în două locuri diferite.

Exerciții cu răspunsuri

1. Folosind recurența, calculează I₄.
2. Calculează integrala de la zero la unu din xe la puterea 3x dx.
3. Calculează integrala de la unu la e din ln x dx.

Răspunsuri: I₄ = 9e − 24; a doua integrală este (2e³ + 1)/9; a treia este unu, din primitiva x ln x − x. Verifică rezultatele prin derivarea primitivelor, unde este posibil.

Păstrează pașii intermediari până când ai înlocuit integrala auxiliară în cea inițială. Acest lucru ajută înțelegerea calculului. Pentru feedback pe alegerea factorilor, poți lucra un exercițiu cu un profesor de matematică.

Întrebări frecvente

Câte aplicări sunt necesare pentru un polinom?

Pentru un polinom înmulțit cu o exponențială, derivarea repetată reduce gradul până la o constantă. Numărul pașilor depinde de grad și de forma cerută.

Pot folosi recurența fără valoarea inițială?

Nu pentru a calcula valori concrete succesive. Ai nevoie de un punct de pornire verificat separat.

De ce verific semnul integralei?

Semnul integrandului oferă un control rapid. Un integrand nenegativ nu poate avea integrală negativă pe un interval orientat de la capătul mic la cel mare.