Distanța de oprire: întârziere și frânare la BAC

Distanța totală până la oprire poate avea două contribuții: drumul parcurs înainte de începerea frânării și drumul parcurs în timpul frânării. Cele două etape au legi de mișcare diferite. Dacă le amesteci într-o singură formulă de accelerație constantă, rezultatul poate fi greșit chiar dacă unitățile par corecte.

Lecția este o aplicație de Mecanică pentru profilurile real, militar și tehnologic. Folosim un cărucior ideal pe o pistă orizontală: după un semnal, mecanismul începe frânarea cu o întârziere dată, apoi produce o accelerație constantă opusă vitezei. Este un model școlar, nu un calcul de siguranță pentru trafic. Poți identifica cerințe cinematice asemănătoare în subiectele și baremele de BAC.

Separarea celor două etape

În intervalul de întârziere τ, presupunem că viteza rămâne constantă la valoarea v₀. Distanța parcursă este s₁ = v₀τ. La începutul frânării, căruciorul are încă viteza v₀, dar poziția sa s-a schimbat deja.

În etapa de frânare, alegem sensul pozitiv în direcția vitezei inițiale și notăm cu b modulul accelerației de frânare, b > 0. Componenta accelerației este a = −b. Viteza scade după legea v = v₀ − bt, unde t se măsoară de la începutul frânării.

Etapă	Accelerație	Durată	Distanță
Întârziere	Zero	τ	v₀τ
Frânare uniform variată	−b	v₀/b	v₀²/(2b)
Întregul proces	Diferită pe etape	τ + v₀/b	Suma celor două distanțe

Originea timpului se poate alege și la semnal, dar atunci în ecuația frânării apare timpul scurs după τ. Folosirea unui timp local pentru fiecare etapă face mai ușoară verificarea continuității vitezei.

Deducerea distanței de frânare

La oprire, viteza finală este zero. Din v² = v₀² + 2as rezultă 0 = v₀² − 2bs₂, deci s₂ = v₀²/(2b). Distanța este pozitivă deoarece folosim modulul b al accelerației opuse mișcării.

Același rezultat se obține din graficul viteză–timp. În timpul frânării, graficul formează un triunghi cu înălțimea v₀ și baza v₀/b. Aria este jumătate din produsul lor. Această verificare explică de ce nu folosești v₀ înmulțită cu întreaga durată de frânare: viteza nu rămâne constantă.

Distanța totală este s = v₀τ + v₀²/(2b). Formula combină un termen liniar în viteza inițială și un termen pătratic. De aici rezultă comportamente diferite când viteza se modifică.

Problemă rezolvată complet

Un cărucior se deplasează cu 8 m/s. Frânarea începe la 0,5 s după semnal și are accelerația de modul 2 m/s². Determină distanța totală și timpul total până la oprire.

În întârziere, căruciorul parcurge 8 × 0,5 = 4 m. Frânarea durează 8/2 = 4 s. Distanța de frânare este 8²/(2 × 2) = 16 m. Distanța totală este 20 m, iar timpul total 4,5 s.

Verificarea grafică adună aria unui dreptunghi, 4 m, cu aria unui triunghi, 16 m. Dacă ai folosi accelerația −2 m/s² încă din momentul semnalului, ai omite intervalul în care mecanismul nu frânează și ai obține o oprire prea timpurie.

Viteza medie pe întregul proces este 20/4,5, aproximativ 4,44 m/s. Ea nu este media simplă dintre 8 m/s și zero, deoarece prima etapă prelungește timpul petrecut la viteza inițială. Media capetelor funcționează pentru o singură etapă cu accelerație constantă, nu automat pentru procesul compus.

Ce se întâmplă dacă dublezi viteza

Păstrăm aceeași întârziere de 0,5 s și aceeași frânare de 2 m/s², dar viteza inițială devine 16 m/s. Drumul din întârziere se dublează, de la 4 m la 8 m. Drumul de frânare se multiplică de patru ori, de la 16 m la 64 m.

Distanța totală devine 72 m, nu 40 m și nici exact 80 m. Nu se dublează deoarece există termenul pătratic și nu se cvadruplează deoarece termenul din întârziere este numai liniar. Pentru întregul proces trebuie recalculată suma.

Această comparație este o proprietate a modelului cu b și τ constante. Într-un sistem real, mecanismul de frânare sau condițiile pistei pot schimba aceste valori. Nu transforma raportul matematic într-o predicție universală în afara ipotezelor.

Frânare produsă de o forță constantă

Dacă asupra căruciorului de masă m acționează o rezultantă constantă de modul F opusă vitezei, b = F/m. Distanța de frânare devine mv₀²/(2F). Aceeași relație se obține din teorema energiei cinetice: forța efectuează lucrul −Fs₂ până când energia cinetică inițială este consumată.

Pentru m = 2 kg, v₀ = 6 m/s și F = 9 N, accelerația de frânare este 4,5 m/s². Energia inițială este 36 J, deci distanța de frânare este 36/9 = 4 m. Dacă există și o întârziere de 0,2 s la viteză constantă, se adaugă 1,2 m, iar totalul devine 5,2 m.

Dacă frânarea este modelată exclusiv prin frecare la alunecare pe orizontală, F = μmg și b = μg. Masa se simplifică din distanța de frânare. Acest model presupune alunecare și nu descrie automat orice frână, roată sau contact static.

Aflarea accelerației necesare din distanța disponibilă

Un cărucior are v₀ = 10 m/s și întârzierea τ = 0,3 s. Distanța totală disponibilă în model este 13 m. Înaintea frânării se consumă 3 m, deci pentru frânare rămân 10 m. Relația 10 = 100/(2b) dă b = 5 m/s².

Dacă distanța disponibilă ar fi mai mică decât cei 3 m parcurși în întârziere, nicio frânare începută abia după acel interval nu ar putea opri căruciorul înainte de capăt în modelul dat. Dacă ar fi exact 3 m, ar fi necesară o oprire instantanee după întârziere, incompatibilă cu o accelerație finită.

Prin urmare, înainte de a calcula b, verifică dacă distanța rămasă pentru frânare este strict pozitivă. Un numitor negativ nu reprezintă o soluție de frânare, ci arată că cerința nu poate fi îndeplinită cu ipotezele date.

Unde se termină ecuația frânării

Legea v = v₀ − bt este folosită până la t = v₀/b. Dacă o prelungești mai departe, ea produce viteze negative. Un mecanism care doar frânează și apoi ține căruciorul oprit nu îl pune automat în mișcare inversă.

După oprire, legea mișcării se schimbă: viteza rămâne zero dacă sistemul este menținut în repaus. Verificarea domeniului temporal al unei formule este la fel de importantă ca înlocuirea numerică. O rădăcină sau un moment aflat în altă etapă nu trebuie acceptat fără analiză.

Exerciții și soluții

Exercițiul 1. Viteza inițială este 4 m/s, întârzierea 0,25 s, iar b = 2 m/s². Află distanța totală.

Soluție: prima etapă are 1 m, frânarea are 4 m, deci totalul este 5 m.

Exercițiul 2. Un corp frânează de la 12 m/s la zero în trei secunde, cu accelerație constantă. Cât drum parcurge în frânare?

Soluție: viteza medie în această etapă este 6 m/s, deci distanța este 18 m. Modulul accelerației este 4 m/s².

Exercițiul 3. Se dublează întârzierea, dar viteza inițială și frânarea rămân identice. Se dublează distanța totală?

Soluție: nu în general. Se dublează numai distanța din etapa inițială; distanța de frânare rămâne aceeași.

Întrebări frecvente

Pot folosi aceeași accelerație pentru întregul proces?

Nu în modelul cu întârziere la viteză constantă și frânare ulterioară. Accelerația este zero în prima etapă și negativă în a doua.

Trebuie să convertesc kilometrii pe oră?

Da, dacă celelalte date sunt în secunde și metri. Împărțirea valorii în km/h la 3,6 produce valoarea în m/s.

Timpul de frânare include întârzierea?

Nu. Timpul total este suma întârzierii și a timpului de frânare. Precizează în răspuns ce interval ai calculat.

Separarea etapelor sprijină înțelegerea ecuațiilor de mișcare. Pentru verificarea unui grafic sau a domeniului formulelor poți lucra cu un profesor de fizică.

Sursa curriculară

Mișcarea rectilinie și principiile dinamicii sunt cuprinse în programa oficială de fizică. Lecția este o aplicație originală a documentului istoric verificat, fără afirmații despre un nou ordin anual.