Traseu neted și rugos: bilanț de energie la BAC

Un traseu cu porțiuni netede și rugoase cere un bilanț de energie pe etape. Pe o porțiune netedă, energia mecanică se conservă în modelul ideal. Pe o porțiune rugoasă, frecarea reduce energia mecanică disponibilă. Viteza la sfârșitul unei etape devine viteza inițială a celei următoare.

Lecția aparține modulului Mecanică, pentru profilurile real, militar și tehnologic. Considerăm un corp care alunecă fără rotație, suporturi fixe, rezistența aerului neglijabilă și frecare la alunecare constantă pe fiecare porțiune rugoasă orizontală. Nu presupunem pierderi suplimentare la racorduri, care sunt netede în model. Metoda poate fi exersată prin subiectele și baremele de BAC.

Marchează punctele de schimbare a modelului

Notează cu A punctul de pornire, cu B începutul porțiunii rugoase și cu C capătul ei. Dacă urmează o rampă netedă, notează un punct D pe aceasta. Pentru fiecare segment scrie dacă există frecare și ce diferență de înălțime apare.

Nu folosi un singur coeficient de frecare pentru tot traseul dacă enunțul spune că numai o porțiune este rugoasă. La fel, nu conserva energia mecanică pe întregul drum doar pentru că prima rampă este netedă. Locul în care acționează frecarea trebuie inclus în bilanț.

Segment	Condiție	Relație energetică
Rampă netedă	Fără frecare	Energie mecanică inițială = finală
Orizontală rugoasă	Frecare μmg	Energia cinetică scade cu μmgL
A doua rampă netedă	Fără frecare	Energia rămasă se transformă în energie potențială

Acest tabel este o schemă de lucru, nu o presupunere că orice problemă are exact trei segmente. Adaptează punctele la modificările reale din enunț.

Problema de bază

Un corp de 2 kg pornește din repaus de la înălțimea de 2 m pe o rampă netedă. Ajunge pe o porțiune orizontală rugoasă de lungime 3 m, cu μ = 0,2, apoi urcă pe o altă rampă netedă. Se ia g = 10 m/s². Determină viteza la baza primei rampe, viteza după porțiunea rugoasă și înălțimea maximă atinsă pe a doua rampă.

Alegem nivelul orizontal drept referință zero pentru energia potențială. În punctul A, energia este numai potențială: mgh = 40 J. În punctul B, la baza rampei, energia este numai cinetică. Rezultă mvB²/2 = 40 J, deci vB² = 40 m²/s² și vB ≈ 6,32 m/s.

Pe orizontala rugoasă, normala este mg = 20 N, iar frecarea 4 N. Lucrul frecării pe cei 3 m este −12 J. Energia cinetică în C este 40 − 12 = 28 J, deci vC² = 28 m²/s² și vC ≈ 5,29 m/s.

Pe a doua rampă netedă, cei 28 J se transformă în energie potențială până la oprire. Înălțimea maximă este 28/(2 × 10) = 1,4 m. Corpul nu mai atinge înălțimea inițială de 2 m deoarece o parte din energia mecanică a fost disipată pe segmentul rugos.

Verificarea globală

Poți comprima rezultatul într-un bilanț între început și punctul final de oprire: mghinițial = mghfinal + μmgL. După simplificare, hfinal = hinițial − μL. Pentru datele de mai sus, 2 − 0,2 × 3 = 1,4 m.

Formula scurtă este utilă pentru control, dar presupune că porțiunea rugoasă este parcursă integral. Dacă energia se epuizează înainte de capăt, corpul nu ajunge pe a doua rampă și hfinal nu descrie situația reală. De aceea, verificarea accesibilității segmentului trebuie făcută înainte de interpretarea rezultatului.

Faptul că masa se simplifică în această configurație nu înseamnă că energia disipată este aceeași pentru orice masă. Energia pierdută este proporțională cu masa, la fel ca energia inițială. Raportul lor permite simplificarea înălțimilor.

Corpul ajunge la capătul porțiunii rugoase?

Condiția este ca energia cinetică la intrare să fie cel puțin egală cu μmgL. Dacă este mai mare, corpul iese cu viteză nenulă. Dacă este egală, ajunge la capăt și se oprește acolo. Dacă este mai mică, se oprește în interiorul segmentului.

Să schimbăm înălțimea inițială la 0,4 m, păstrând μ = 0,2 și L = 3 m. Distanța de oprire pe orizontală este d = h/μ = 2 m. Corpul nu parcurge toți cei trei metri. Bilanțul formal pentru capăt ar da o energie cinetică negativă, ceea ce confirmă că acel punct nu este accesibil.

Nu lua radicalul din modulul unei valori negative pentru a fabrica o viteză. Localizează oprirea și încheie etapa de alunecare acolo. Pe un plan orizontal, în absența altor forțe orizontale, corpul rămâne în repaus după oprire.

Două porțiuni rugoase diferite

Dacă traseul orizontal conține două segmente cu coeficienții μ₁ și μ₂ și lungimile L₁ și L₂, energia disipată totală este mg(μ₁L₁ + μ₂L₂), cu condiția parcurgerii ambelor segmente. Nu folosi media aritmetică a coeficienților decât dacă lungimile sunt egale și situația justifică această simplificare.

Pentru o înălțime inițială de 3 m, un prim segment cu μ₁ = 0,1 și L₁ = 4 m și un al doilea cu μ₂ = 0,3 și L₂ = 2 m, pierderea echivalentă de înălțime este 0,4 + 0,6 = 1 m. Pe o rampă netedă ulterioară, corpul poate urca până la 2 m față de nivelul orizontal.

Totuși, verifică energia după fiecare segment. În acest exemplu rămâne pozitivă după primul și după al doilea, deci bilanțul global este accesibil. În alte date, oprirea poate avea loc în primul segment, iar al doilea nu mai contribuie deloc la mișcarea efectivă.

Revenirea prin porțiunea rugoasă

Dacă a doua rampă este netedă și permite întoarcerea, corpul revine la baza ei cu același modul al vitezei cu care a început urcarea. Când traversează din nou porțiunea rugoasă, frecarea efectuează din nou lucru negativ. Ea nu restituie energia disipată la prima trecere.

În problema de bază, la revenirea în C energia cinetică este 28 J. O nouă traversare completă a segmentului rugos consumă încă 12 J, deci în B rămân 16 J. Pe prima rampă netedă, corpul urcă până la înălțimea de 16/20 = 0,8 m.

Acest rezultat este valabil deoarece energia de 28 J permite traversarea integrală la întoarcere. Dacă ar fi fost sub 12 J, corpul s-ar fi oprit în porțiunea rugoasă. La fiecare trecere trebuie verificată din nou această condiție.

Greșeli de evitat

Nu adăuga energia disipată la energia rămasă atunci când cauți viteza finală. Frecarea pe suport fix reduce energia mecanică. Nu folosi înălțimea rampei în locul lungimii segmentului rugos și nu aplica frecarea pe segmente declarate netede.

Nu conserva energia cinetică pe o rampă netedă: ea se schimbă odată cu înălțimea. Se conservă energia mecanică, adică suma energiei cinetice și potențiale. Pe orizontala rugoasă, energia potențială gravitațională este constantă, iar energia cinetică scade.

Exerciții și soluții

Exercițiul 1. Un corp intră cu energia cinetică de 30 J pe un segment unde frecarea este 5 N. Ce energie are după 4 m?

Soluție: pierde 20 J și rămâne cu 10 J. Segmentul este accesibil deoarece energia finală este pozitivă.

Exercițiul 2. Același corp ar trebui să parcurgă 8 m. Unde se oprește?

Soluție: distanța de oprire este 30/5 = 6 m. Nu ajunge la capătul segmentului de 8 m.

Exercițiul 3. Un corp pornește de la înălțimea de 1,5 m și traversează o orizontală rugoasă de 2 m cu μ = 0,25. La ce înălțime poate urca apoi pe o rampă netedă?

Soluție: hfinal = 1,5 − 0,25 × 2 = 1 m, presupunând racorduri ideale și lipsa altor pierderi.

Întrebări frecvente

Pot rezolva totul dintr-o singură ecuație?

Uneori da, dar trebuie să verifici separat că fiecare segment este parcurs. Bilanțul global nu justifică automat accesibilitatea punctelor intermediare.

Frecarea are lucru pozitiv la întoarcere?

Nu pentru alunecarea pe suportul fix analizat aici. Ea își schimbă sensul împreună cu sensul opus vitezei și continuă să efectueze lucru negativ.

De ce nu calculez timpii pe fiecare segment?

Pentru viteze și înălțimi, metoda energetică este suficientă. Timpii ar cere informații și ecuații suplimentare despre mișcarea pe segmente.

Bilanțul pe etape susține înțelegerea problemei ca întreg. Pentru verificarea punctelor de oprire poți cere feedback unui profesor de fizică.

Sursa curriculară

Lecția aplică lucrul mecanic, energia cinetică, energia potențială și frecarea din programa oficială de fizică. Referința este documentul istoric verificat, fără afirmații despre un nou ordin anual.