Domeniul de definiție la BAC: radicali și logaritmi

Domeniul de definiție este mulțimea valorilor pentru care expresia unei funcții are sens. La exercițiile de BAC cu radicali, logaritmi și fracții, scrii toate condițiile, apoi le intersectezi. O valoare admisă de radical poate fi interzisă de numitor sau de logaritm.

În această lecție determinăm domeniul real maxim permis de formulă. Dacă enunțul oferă deja un domeniu mai mic, funcția poate fi restrânsă la el; nu îl înlocuiești automat cu domeniul maxim. Exemplele cu logaritmi se folosesc pentru profilele care includ acest capitol în programa aplicabilă.

Condițiile de bază

Expresie	Condiție
Radical pătrat din A(x)	A(x)≥0
Logaritm din A(x), cu bază validă	A(x)>0
Fracție cu numitor B(x)	B(x)≠0
Radical pătrat în numitor	Expresia de sub radical este strict pozitivă

Ultimul rând combină două cerințe. Radicalul trebuie să existe, iar valoarea lui nu trebuie să fie zero, fiind numitor. De aceea, sub radical nu mai este suficient semnul mai mare sau egal.

La un logaritm cu bază constantă verifici că baza este pozitivă și diferită de unu. În exemplele cu ln, baza este numărul e și această condiție este deja îndeplinită. Dacă baza depinde de x, apar restricții suplimentare, discutate mai jos.

Exemplu: radical împărțit la un factor liniar

Considerăm f(x)=√(x−1)/(x−3). Radicalul impune x≥1, iar numitorul impune x≠3. Domeniul este [1,3) reunit cu (3,+∞).

Valoarea unu este admisă: radicalul este zero, iar numitorul este minus doi, deci fracția are valoarea zero. Valoarea trei este interzisă, chiar dacă radicalul din numărător există și este pozitiv.

Nu folosi aceeași paranteză pentru ambele puncte doar fiindcă apar în formula inițială. Unu este capăt admis de radical, iar trei este o ruptură impusă de împărțire. Motivul fiecărei restricții decide dacă punctul rămâne.

Radicalul din numitor

Pentru g(x)=1/√(x−1), condiția este x−1>0, deci domeniul este (1,+∞). La unu radicalul există, dar este zero și nu poate fi numitor.

Compară acest exemplu cu √(x−1), al cărui domeniu maxim este [1,+∞). Aceeași expresie sub radical produce un capăt diferit atunci când radicalul este mutat în numitor. Poziția în formulă contează la fel de mult ca tipul operației.

Pentru g(x)=1/√(x²−4), trebuie rezolvat x²−4>0. Obținem x<−2 sau x>2, deci două intervale exterioare. Capetele sunt excluse, iar intervalul dintre ele nu permite un radical real pozitiv.

Două condiții care trebuie satisfăcute simultan

Luăm h(x)=ln(x−1)+√(5−x). Logaritmul impune x>1, iar radicalul impune x≤5. Intersecția este (1,5].

Nu facem reuniunea intervalelor. Pentru a calcula suma, ambele componente trebuie să existe la aceeași valoare a lui x. O valoare care face posibil numai unul dintre termeni nu permite calcularea întregii expresii.

La cinci avem ln(4)+0, o valoare definită. La unu apare ln(0), care nu este definit în numere reale. Aceste două substituții explică parantezele diferite ale domeniului.

Pentru a înțelege condițiile, nu doar lista lor, citește conjuncția dintre ele ca „și”. Numărul trebuie să fie mai mare decât unu și cel mult cinci. Cuvântul „sau” ar descrie o altă mulțime.

Logaritmul unui raport

Pentru p(x)=ln((x−2)/(x+1)), argumentul întreg trebuie să fie strict pozitiv. Nu impunem separat x−2>0 și x+1>0, deoarece raportul este pozitiv și atunci când ambii factori sunt negativi.

Punctele importante sunt minus unu și doi. Raportul este pozitiv pe (−∞,−1) și pe (2,+∞), negativ între ele. La minus unu nu există raportul, iar la doi argumentul este zero, nepermis pentru logaritm.

Domeniul este reuniunea celor două intervale exterioare. Dacă ai cere numai pozitivitatea numărătorului și a numitorului, ai pierde toate valorile mai mici decât minus unu. Regula privește argumentul complet, nu părțile lui luate separat.

Simplificarea nu reface puncte interzise

Funcția q(x)=(x²−1)/(x−1) are domeniul maxim R fără unu. Pentru x diferit de unu se poate simplifica factorul comun și obține x+1. Dar formula simplificată trebuie păstrată împreună cu restricția inițială.

Funcția definită pe toată axa prin x+1 și funcția inițială nu au același domeniu, deci nu sunt aceeași funcție. Valorile lor coincid numai unde ambele sunt definite. Această diferență contează când se cer egalitatea funcțiilor, continuitatea sau rezolvarea unei ecuații.

La determinarea domeniului, lucrează întâi cu expresia din enunț. Simplificările ulterioare pot face calculul mai comod, dar nu pot modifica retroactiv operațiile care trebuiau să aibă sens la început.

Baza logaritmului depinde de x

Pentru logaritmul în baza x−1 al numărului x+2, avem trei condiții: baza x−1 este pozitivă, baza x−1 este diferită de unu și argumentul x+2 este pozitiv. Rezultă x>1, x≠2 și x>−2.

Intersecția simplifică prima și a treia condiție la x>1, cu excluderea lui doi. Domeniul este (1,2) reunit cu (2,+∞). Numărul doi este interzis fiindcă ar produce baza unu, nu pentru că argumentul ar deveni zero.

Este util să păstrezi explicația restricției chiar dacă rezultatul final pare asemănător cu domeniul unei fracții. La verificare, poți astfel identifica regula care a generat fiecare punct exclus și nu amesteci baza cu argumentul.

Când intersecția este vidă?

Pentru √(x−3)+ln(2−x), prima condiție este x≥3, iar a doua este x<2. Niciun număr real nu le satisface simultan. Domeniul real maxim este mulțimea vidă.

Nu forța un interval între doi și trei. În acel interval, radicalul nu este definit, iar pentru valori mai mari decât trei logaritmul nu este definit. Un rezultat vid poate fi răspunsul corect al unui exercițiu construit pentru verificarea condițiilor.

Exerciții cu răspunsuri

1. Pentru √(4−x)/(x+2), condițiile sunt x≤4 și x≠−2. Domeniul este (−∞,−2) reunit cu (−2,4]. Capătul patru produce numărător zero și numitor nenul, deci este admis.
2. Pentru ln(x²−9), argumentul trebuie să fie pozitiv. Domeniul este (−∞,−3) reunit cu (3,+∞). Nu includem rădăcinile argumentului.
3. Pentru √(ln x), logaritmul trebuie să existe și să fie nenegativ. Condițiile x>0 și ln x≥0 conduc la [1,+∞). Numărul unu este admis și produce radical zero.
4. Pentru ln(√x), radicalul trebuie să fie strict pozitiv ca argument al logaritmului. Domeniul este (0,+∞), nu [0,+∞). La zero radicalul există, dar logaritmul lui nu există.

Întrebări frecvente

Condițiile se scriu înainte sau după transformări?

Înainte, pornind de la expresia inițială. Apoi poți simplifica inecuațiile și calcula intersecția. Această ordine păstrează punctele interzise care ar dispărea din formulă prin anularea unor factori.

Orice radical cere expresie nenegativă?

Radicalii de ordin par cer această condiție în numere reale. Radicalul de ordin impar există și pentru argumente negative. Exemplele din lecție folosesc radicalul pătrat; nu extinde regula fără să verifici ordinul.

Cum îmi verific răspunsul pentru BAC?

Testează capetele și câte un punct din fiecare interval ales sau exclus. Lucrează apoi pe subiecte BAC. Pentru corectarea intersecțiilor, poți compara anunțuri de matematică și prezenta lista condițiilor, nu numai domeniul final.