Tabel de semne la BAC: fracții și puncte interzise

La o inecuație cu fracție algebrică, tabelul de semne trebuie să păstreze atât zerourile numărătorului, cât și valorile interzise de numitor. O expresie simplificată poate avea aceeași valoare pe domeniul inițial, dar nu recuperează punctele unde fracția originală nu exista.

Lecția combină semnul trinomului cu semnul unui factor liniar, în exerciții de pregătire pentru BAC. Lucrăm în numere reale. Scopul este să alegi corect intervalele și capetele lor, nu doar să afli rădăcinile unor polinoame.

De ce nu înmulțim direct cu numitorul?

Dacă numitorul poate fi pozitiv sau negativ, înmulțirea inegalității cu el cere cunoașterea semnului. Pentru un număr negativ, sensul inegalității se inversează. O înmulțire fără separarea cazurilor poate transforma problema într-una cu alte soluții.

Tabelul de semne evită această dificultate: studiezi numărătorul și numitorul separat, apoi combini semnele. Nu trebuie să alegi dinainte un singur sens al inegalității pentru toate valorile lui x.

Primul pas rămâne domeniul. Scrie valorile pentru care numitorul este zero și exclude-le. O valoare interzisă nu poate deveni soluție nici când inegalitatea este nestrictă și nici când numărătorul se anulează în același punct.

Exemplul principal

Rezolvăm (x²−5x+6)/(x−1)≥0. Numitorul impune x≠1. Numărătorul se descompune în (x−2)(x−3), deci punctele importante sunt unu, doi și trei, în această ordine.

Numărătorul are coeficientul lui x² pozitiv. Este pozitiv în afara intervalului dintre rădăcini, negativ între ele și zero la două și trei. Numitorul este negativ la stânga lui unu și pozitiv la dreapta.

Interval	Numărător	Numitor	Fracție
(−∞,1)	+	−	−
(1,2)	+	+	+
(2,3)	−	+	−
(3,+∞)	+	+	+

Căutăm valori pozitive sau zero. Alegem intervalele (1,2) și (3,+∞), apoi analizăm punctele. Doi și trei anulează numărătorul fără să anuleze numitorul, deci sunt admise. Unu rămâne interzis.

Soluția este (1,2] reunit cu [3,+∞). Paranteza de la unu este rotundă din cauza domeniului. Parantezele de la doi și trei sunt pătrate deoarece inegalitatea admite zero. Infinitul nu primește niciodată paranteză pătrată.

Verificarea pe câte un punct

Pentru x=0, fracția este negativă, deci punctul nu trebuie să apară în soluție. Pentru x=3/2, numărătorul și numitorul sunt amândouă pozitive. Pentru x=5/2, numărătorul este negativ, iar numitorul pozitiv. Pentru x=4, ambele sunt pozitive.

Aceste valori confirmă semnele din cele patru intervale. Ele nu demonstrează singure că semnul este constant pe fiecare interval; această concluzie vine din factorii liniari și din faptul că nu mai există alte zerouri sau puncte interzise între capete.

Dacă un punct de control contrazice tabelul, refă întâi semnul fiecărui factor. Nu modifica doar rezultatul final ca să includă acel punct: cauza poate fi o coloană întreagă completată greșit.

Simplificarea nu șterge restricția inițială

Considerăm (x²−4)/(x−2)≥0. Domeniul exclude doi. Descompunem numărătorul ca (x−2)(x+2) și simplificăm factorul comun numai pentru x diferit de doi. Pe acest domeniu, inecuația devine x+2≥0.

Rezultă x≥−2, dar trebuie exclus în continuare x=2. Soluția este [−2,2) reunit cu (2,+∞). Expresia simplificată are o valoare la doi, însă fracția din enunț nu are; noi rezolvăm problema inițială.

Poți vedea acest lucru și prin substituție: la doi, fracția ar avea numitor zero. Faptul că și numărătorul este zero nu definește un raport egal cu zero sau cu unu. Scrierea zero împărțit la zero nu este o valoare reală admisă.

Rădăcina dublă nu schimbă semnul

În fracția (x−2)²/(x+1), numărătorul este pozitiv pentru orice x diferit de doi și zero la doi. Factorul pătrat nu devine negativ de o parte a rădăcinii. Numitorul își schimbă semnul la minus unu, care este exclus.

Pentru inecuația (x−2)²/(x+1)>0, soluția este (−1,2) reunit cu (2,+∞). Intervalul pozitiv de la dreapta lui minus unu pierde punctul doi deoarece cerința este strict pozitivă.

Pentru aceeași fracție cu semnul ≥0, soluția devine (−1,+∞), fiindcă doi este admis. Pentru semnul ≤0, soluția este (−∞,−1) reunit cu mulțimea formată numai din doi. Un punct izolat poate fi soluție chiar dacă intervalele din jur nu sunt.

Ce faci când numărătorul nu are rădăcini reale?

Numărătorul x²+x+1 are discriminant negativ și coeficient pătratic pozitiv, deci este strict pozitiv pentru orice x real. În inecuația (x²+x+1)/(x−3)<0, semnul fracției este atunci semnul numitorului.

Rezultă x<3. Valoarea trei este exclusă, iar numărătorul nu produce alte capete de interval. Nu inventa rădăcini doar pentru a obține un tabel cu mai multe coloane: un rând de semn constant este perfect valid.

Această situație arată de ce înțelegerea semnului unei expresii economisește calcule. Dacă numărătorul este mereu pozitiv, problema se reduce la numitor, cu păstrarea domeniului.

O schemă de lucru verificabilă

1. Adu inecuația la comparația unei singure fracții cu zero, dacă este necesar. Păstrează toate restricțiile din expresia inițială, inclusiv cele care ar putea dispărea prin simplificare.
2. Descompune numărătorul și numitorul sau studiază semnul lor prin discriminant. Notează separat rădăcinile simple și duble.
3. Ordonează toate punctele importante pe axă. Același punct poate anula mai mulți factori, dar apare o singură dată ca separator.
4. Completează semnele pe intervale și combină-le. Analizează apoi fiecare punct pentru domeniu și pentru caracterul strict sau nestrict al inegalității.

O greșeală de ordonare a punctelor poate compromite întregul tabel. Dacă rădăcinile sunt fracții sau radicali, compară-le înainte să trasezi coloanele; nu le așeza în ordinea în care au rezultat din calcul.

Exerciții cu răspunsuri

Rezolvă (x−1)/(x+2)≤0. Numitorul exclude minus doi, iar numărătorul se anulează la unu. Fracția este negativă între aceste valori și zero la unu, deci soluția este (−2,1].

Rezolvă (x−1)²/(x+2)<0. Numărătorul este nenegativ, iar fracția poate fi negativă numai când numitorul este negativ. Soluția este (−∞,−2). Rădăcina numărătorului nu aparține acestui interval și nici nu satisface o inegalitate strict negativă.

Rezolvă (x²−9)/(x−3)>0. Domeniul exclude trei, iar expresia simplificată este x+3. Obținem (−3,3) reunit cu (3,+∞). Minus trei este exclus de caracterul strict, iar trei de domeniul inițial.

Întrebări frecvente

Un zero al numitorului poate fi inclus la semnul mai mare sau egal?

Nu. Egalitatea admite valoarea zero a fracției, nu împărțirea la zero. Pentru ca fracția să fie zero, numărătorul trebuie să fie zero și numitorul nenul.

Semnul se schimbă la fiecare rădăcină?

Nu. Un factor la putere pară își păstrează semnul de o parte și de alta a rădăcinii. Verifică multiplicitatea, nu alterna mecanic plus și minus.

Cum verific dacă am ales bine capetele?

Înlocuiește fiecare capăt finit în expresia inițială sau verifică de ce este interzis. Exersează pe subiecte BAC, iar pentru corectarea unui tabel poți compara anunțurile de meditații la matematică.