Ecuație exponențială cu parametru la BAC

Ecuația 2ˣ+2⁻ˣ=m se rezolvă în funcție de parametrul real m prin substituția t=2ˣ, cu t>0. Obții o ecuație de gradul al doilea în t, dar discriminantul singur nu este suficient: rădăcinile auxiliare trebuie să fie pozitive. Clasificarea completă are zero, una sau două soluții reale în x.

Lecția este un atelier despre parametru și domeniul substituției, pentru pregătirea BAC la profilele care includ funcții exponențiale și logaritmice. Exemplele sunt originale. Folosim puteri cu baze pozitive, diferite de unu, astfel încât funcția exponențială să fie injectivă.

De ce introducem variabila t?

Avem 2⁻ˣ=1/2ˣ. Notând t=2ˣ, ecuația devine t+1/t=m. Variabila t este strict pozitivă pentru orice x real; nu poate fi zero și nici negativă.

Înmulțim egalitatea cu t, care este nenul, și obținem t²−mt+1=0. Această transformare este echivalentă pe domeniul t>0. După rezolvare, fiecare rădăcină pozitivă t produce exact o soluție x=log₂ t.

Un număr t negativ poate rezolva ecuația de gradul al doilea, dar nu poate fi imaginea unui x real prin 2ˣ. De aceea, numărul rădăcinilor reale ale ecuației auxiliare poate fi diferit de numărul soluțiilor problemei inițiale.

Prima clasificare: discriminantul

Discriminantul ecuației auxiliare este m²−4. El este nenegativ când m≤−2 sau m≥2. Pentru −2<m<2, ecuația în t nu are rădăcini reale, deci nici ecuația inițială nu are soluții reale.

Dar cele două intervale exterioare nu sunt echivalente din punctul de vedere al condiției t>0. Trebuie să studiem semnul rădăcinilor. Suma lor este m, iar produsul este unu.

Produsul pozitiv arată că, atunci când sunt reale, rădăcinile au același semn. Dacă m este pozitiv, suma pozitivă le face pe amândouă pozitive. Dacă m este negativ, amândouă sunt negative și nu pot fi folosite pentru revenirea la x.

Tabelul complet al cazurilor

Parametru	Rădăcini auxiliare	Soluții reale în x
m<−2	Două negative	Niciuna
m=−2	Rădăcină dublă −1	Niciuna
−2<m<2	Nicio rădăcină reală	Niciuna
m=2	Rădăcină dublă 1	O soluție: x=0
m>2	Două pozitive distincte	Două soluții distincte

Concluzia se poate comprima: pentru m<2 nu există soluții, pentru m=2 există numai zero, iar pentru m>2 există două soluții. Tabelul explică însă de ce regiunea m≤−2 nu trebuie păstrată doar fiindcă discriminantul este nenegativ.

O demonstrație scurtă a pragului doi

Pentru t>0, avem t+1/t−2=(t−1)²/t. Numărătorul este nenegativ și numitorul pozitiv, deci t+1/t≥2. Egalitatea apare numai la t=1.

Rezultă imediat că membrul stâng al ecuației inițiale nu poate fi sub doi și că valoarea doi se obține numai când 2ˣ=1, adică x=0. Această identitate verifică primele două cazuri ale clasificării fără discriminant.

Pentru m>2, ecuația pătratică arată că există efectiv două rădăcini pozitive distincte. O limită inferioară singură nu ar demonstra că orice valoare mai mare decât doi este atinsă de două ori; acest pas completează argumentul.

De ce soluțiile sunt opuse?

Rădăcinile auxiliare au produsul unu, deci una este reciproca celeilalte. Dacă t₁=2ˣ¹, atunci t₂=1/t₁=2⁻ˣ¹. Prin injectivitate, a doua soluție este opusul primei.

Poți vedea simetria direct: înlocuirea lui x cu −x interschimbă cei doi termeni ai sumei și păstrează valoarea ei. Pentru m>2, soluțiile formează o pereche cu semne opuse; pentru m=2, perechea se reduce la zero.

Această verificare este utilă după calcule. Dacă ai găsit două soluții pozitive pentru această familie, cel puțin una este greșită. Proprietatea nu se transferă însă automat unei ecuații exponențiale fără aceeași simetrie.

Exemplu numeric: m=5/2

Ecuația auxiliară este t²−(5/2)t+1=0. Înmulțind cu doi, obținem 2t²−5t+2=0, cu rădăcinile doi și o jumătate. Ambele sunt pozitive.

Din 2ˣ=2 rezultă x=1, iar din 2ˣ=1/2 rezultă x=−1. Înlocuirea în ecuația inițială produce de fiecare dată doi plus o jumătate, adică cinci pe doi. Am verificat și semnul, și valoarea rezultatului.

Pentru m=3, rădăcinile auxiliare sunt (3−√5)/2 și (3+√5)/2. Soluțiile rămân logaritmii în baza doi ai acestor valori. Nu este obligatoriu ca răspunsul să fie întreg; forma exactă este corectă fără aproximare zecimală.

Ce se întâmplă pentru o bază subunitară?

Înlocuim baza doi cu o bază a, unde 0<a<1. Substituția t=aˣ parcurge tot intervalul numerelor pozitive și este în continuare injectivă, deși funcția este descrescătoare.

Ecuația aˣ+a⁻ˣ=m conduce la aceeași ecuație în t și la aceeași clasificare după m. La revenire folosești logaritmul în baza a. Schimbarea sensului monotoniei nu schimbă numărul soluțiilor acestei egalități.

Baza unu este exclusă din acest argument. Dacă ai folosi unu, membrul stâng ar fi permanent doi: la m=2 orice x real ar fi soluție, iar la alte valori nu ar exista soluții. Ipoteza asupra bazei are un rol real, nu este decorativă.

Dacă necunoscuta este restrânsă la un interval

Clasificarea de mai sus presupune x real fără alte restricții. Dacă se cere x≥0, pentru m>2 rămâne numai soluția pozitivă, iar la m=2 rămâne zero. Pentru m<2 continuă să nu existe soluții. Pe intervalul x>0, chiar și soluția zero dispare.

Restricția asupra lui x se aplică după sau în timpul revenirii din t. Pentru baza doi, x≥0 este echivalent cu t≥1, astfel că dintre rădăcinile reciproce alegi pe cea cel puțin egală cu unu. Acest control explică de ce numărul soluțiilor depinde și de domeniul necunoscutei, nu numai de parametru.

Exerciții cu răspunsuri

1. Pentru m=1, ecuația nu are soluții. Identitatea cu pătratul arată că suma este cel puțin doi, deci nu este nevoie să calculezi radicali dintr-un discriminant negativ.
2. Pentru m=−3, discriminantul auxiliar este pozitiv, dar rădăcinile sunt negative. Ecuația inițială nu are soluții, deoarece suma a două puteri pozitive nu poate fi negativă.
3. Pentru 3ˣ+3⁻ˣ=10/3, valorile auxiliare sunt trei și o treime. Soluțiile sunt unu și minus unu, iar produsul rădăcinilor auxiliare este unu.
4. Pentru 2ˣ+2⁻ˣ=17/4, valorile auxiliare sunt patru și o pătrime. Soluțiile sunt doi și minus doi. Verificarea dă patru plus un sfert pentru ambele.

Întrebări frecvente

Pot decide totul doar din discriminant?

Nu. El verifică existența rădăcinilor reale în t, dar substituția cere rădăcini strict pozitive. Completează calculul cu semnul sumei și al produsului sau verifică direct fiecare rădăcină.

Două rădăcini egale în t dau două soluții în x?

Nu. O singură valoare distinctă a lui t produce o singură valoare a lui x, prin injectivitatea funcției exponențiale. Multiplicitatea algebrică nu dublează mulțimea soluțiilor.

Cum exersez justificarea?

Reconstituie identitatea cu pătratul, conform învățării prin înțelegere, apoi rezolvă o cerință din arhiva BAC. Pentru feedback asupra parametrului și substituției, poți compara anunțuri de matematică și prezenta atât tabelul, cât și revenirea la x.