Ecuații logaritmice la BAC: metoda substituției

O ecuație care conține pătratul unui logaritm se poate transforma într-o ecuație de gradul al doilea printr-o substituție. Notezi logaritmul cu o literă nouă, rezolvi ecuația în acea literă și revii la x. Condiția de existență privește argumentul logaritmului, iar valoarea logaritmului poate fi negativă.

Lecția tratează această metodă în exerciții originale pentru BAC, la profilele care includ ecuații logaritmice. Folosim baze pozitive, diferite de unu. Nu confundăm pătratul logaritmului cu logaritmul unui pătrat: sunt expresii diferite și conduc la alte calcule.

Cum citești corect expresia?

Scrierea (log₂ x)² înseamnă că întâi calculezi logaritmul și apoi ridici rezultatul la pătrat. Scrierea log₂(x²) înseamnă că întâi ridici x la pătrat și apoi aplici logaritmul. Pentru x=4, prima expresie este patru, iar a doua este tot patru, dar coincidența nu reprezintă o identitate.

Pentru x=8, prima expresie este nouă, iar a doua este șase. Un singur contraexemplu arată că nu poți înlocui una cu cealaltă în orice ecuație. În plus, domeniile pot fi diferite: prima cere x>0, în timp ce a doua există pentru orice x nenul.

În lecție scriem parantezele explicit. Dacă ai o notație abreviată în enunț, identifică operația înainte de a alege substituția. Altfel poți rezolva impecabil o ecuație care nu este cea cerută.

Exemplu: două valori ale logaritmului

Rezolvăm (log₂ x)²−3log₂ x+2=0. Domeniul este x>0. Notăm t=log₂ x, iar ecuația devine t²−3t+2=0, adică (t−1)(t−2)=0.

Obținem t=1 sau t=2. Revenirea la x produce log₂ x=1, deci x=2, respectiv log₂ x=2, deci x=4. Ambele valori sunt pozitive și verifică ecuația inițială.

Nu scrie mulțimea soluțiilor ca {1,2}: acelea sunt valorile variabilei auxiliare. Necunoscuta enunțului este x, iar răspunsul trebuie exprimat în ea. Într-o rezolvare ordonată, păstrează separat coloana pentru t și cea pentru x.

Valoarea lui t	Ecuația de revenire	Valoarea lui x
1	log₂ x=1	2
2	log₂ x=2	4

Un logaritm negativ este permis

Considerăm (log₃ x)²+log₃ x−2=0, cu x>0. Substituția t=log₃ x conduce la t²+t−2=0, ale cărei rădăcini sunt unu și minus doi.

Ambele valori ale lui t sunt admise. Din t=1 obținem x=3, iar din t=−2 obținem x=1/9. Argumentul logaritmului este pozitiv în ambele cazuri, deși una dintre valorile logaritmului este negativă.

Aceasta este diferența față de substituția t=3ˣ, unde t trebuie să fie strict pozitiv. Pentru t=log₃ x, variabila auxiliară poate parcurge toate numerele reale dacă x parcurge numerele pozitive. Nu transfera restricția de la funcția exponențială la cea logaritmică.

Cum aduci logaritmii la aceeași bază?

Rezolvăm log₂ x·log₄ x=2. Domeniul este x>0. Deoarece log₄ x=(log₂ x)/2, notăm t=log₂ x și obținem t²/2=2.

Rezultă t²=4, deci t=−2 sau t=2. Revenirea dă x=1/4 sau x=4. Pentru prima valoare, log₂ x este minus doi și log₄ x este minus unu; produsul lor este doi, așa cum se cere.

Schimbarea bazei nu înseamnă împărțirea argumentelor. Formula folosită este log₄ x=log₂ x/log₂ 4, iar numitorul este doi. Scrierea acestui pas previne o simplificare falsă de tipul „anulez logaritmii”.

Când apare logaritmul la numitor?

Pentru log₂ x+1/log₂ x=5/2, condițiile sunt x>0 și x≠1. A doua vine din faptul că log₂ x nu poate fi zero, fiind numitor. Notăm t=log₂ x, cu t≠0.

Ecuația devine t+1/t=5/2. Înmulțirea cu 2t este permisă deoarece t este nenul și lucrăm cu o egalitate. Obținem 2t²−5t+2=0, cu rădăcinile t=2 și t=1/2.

Revenind, x=4 sau x=√2. Niciuna dintre valori nu este unu, deci ambele respectă domeniul. Într-o inecuație, înmulțirea cu t ar cere și discutarea semnului; faptul că aici avem ecuație face transformarea mai simplă.

Substituția cu argument deplasat

În ecuația (ln(x−1))²−ln(x−1)−2=0, domeniul este x>1. Notăm t=ln(x−1), rezolvăm t²−t−2=0 și obținem t=2 sau t=−1.

Revenirea dă x−1=e² sau x−1=e⁻¹. Prin urmare, soluțiile sunt 1+e² și 1+e⁻¹. Nu uita deplasarea cu unu: substituția a vizat logaritmul lui x−1, nu logaritmul lui x.

Ambele soluții sunt mai mari decât unu deoarece puterile lui e sunt pozitive. Verificarea domeniului se poate face exact, fără aproximări zecimale. Păstrează forma cu e când cerința nu solicită o valoare aproximativă.

Parametru în ecuația auxiliară

Pentru (ln x)²=m, condiția este x>0. Dacă m<0, nu există soluții, deoarece pătratul unui număr real nu este negativ. Dacă m=0, avem ln x=0 și unica soluție x=1.

Dacă m>0, logaritmul poate fi √m sau −√m. Rezultă două soluții distincte, e la puterea √m și e la puterea −√m. Produsul lor este unu, ceea ce oferă un control rapid al revenirii.

Această clasificare folosește faptul că funcția logaritmică acoperă toate valorile reale și este injectivă. Fiecare valoare admisă a lui t produce exact un x pozitiv. Nu apar soluții suplimentare sau pierdute la revenire.

În ecuația (ln x)²−ln x=0, factorizarea în variabila auxiliară dă t(t−1)=0. Nu împărți direct la t: ai pierde cazul t=0, care corespunde soluției x=1. Cealaltă soluție este x=e. Domeniul x>0 permite ambele valori; numai o restricție explicită de numitor ar fi putut exclude t=0.

Exerciții cu răspunsuri explicate

1. Pentru (log₂ x)²−4=0, valorile auxiliare sunt minus doi și doi. Soluțiile în x sunt 1/4 și patru, nu minus doi și doi.
2. Pentru (log₅ x)²=0, rezultă log₅ x=0 și x=1. Rădăcina dublă a ecuației auxiliare produce o singură valoare distinctă a lui x.
3. Pentru (ln x)²+1=0, nu există soluții reale. Argumentul pozitiv nu face posibil un pătrat negativ; domeniul este necesar, dar nu garantează existența soluțiilor.
4. Pentru log₂ x·log₈ x=3, notăm t=log₂ x și folosim log₈ x=t/3. Avem t²=9, deci x=1/8 sau x=8.

Întrebări frecvente

Trebuie să impun t pozitiv?

Nu pentru t egal cu un logaritm cu argument pozitiv, dacă nu există alte restricții în problemă. Logaritmul poate fi negativ, zero sau pozitiv. Condițiile suplimentare, precum t≠0, apar din operațiile în care este folosit.

Cum verific că am revenit corect la x?

Transformă fiecare egalitate logaritmică în egalitatea exponențială corespunzătoare și înlocuiește în expresia inițială. Această verificare susține învățarea prin înțelegere, mai ales când argumentul este x−1 sau altă expresie.

Ce exersez pentru BAC?

Separă pe o foaie domeniul, ecuația în t și revenirea. Alege exerciții din arhiva BAC, iar pentru feedback poți compara anunțurile profesorilor de matematică. Cere verificarea restricțiilor, nu doar a ecuației de gradul al doilea.