Ecuații cu radicali la BAC: evită soluțiile false

La o ecuație cu radical pătrat, ridicarea la pătrat poate introduce soluții care nu verifică enunțul inițial. Metoda sigură este să stabilești domeniul, să izolezi radicalul, să verifici semnul celeilalte părți și apoi să rezolvi ecuația obținută. La final controlezi candidații în ecuația inițială.

Lecția folosește ecuații elementare cu radicali, pentru pregătirea de BAC la profilele care includ acest conținut. Toate soluțiile căutate sunt reale, iar simbolul radical pătrat reprezintă valoarea nenegativă. Exemplele arată atât pierderea unor restricții, cât și modul de a evita calcule inutile.

De ce pătratul nu păstrează automat echivalența?

Numerele trei și minus trei au același pătrat, dar nu sunt egale. Din A=B rezultă A²=B². În sens invers, egalitatea pătratelor permite și situația A=−B, dacă nu cunoști semnele.

Pentru √A(x)=B(x), radicalul este nenegativ. Orice soluție trebuie să satisfacă A(x)≥0 și B(x)≥0. Sub aceste condiții, ridicarea la pătrat conduce la A(x)=B(x)² fără schimbarea mulțimii soluțiilor.

Poți observa că egalitatea A=B², împreună cu B≥0, implică deja A≥0. Totuși, scrierea inițială a domeniului este utilă pentru organizare și pentru evitarea operațiilor făcute pe expresii nedefinite.

Exemplu în care apare un candidat fals

Rezolvăm √(x+2)=x. Radicalul există când x≥−2. În plus, membrul drept trebuie să fie nenegativ, deci x≥0. Intersecția condițiilor este x≥0.

Ridicăm la pătrat și obținem x+2=x², adică x²−x−2=0. Factorizarea dă (x−2)(x+1)=0, deci candidații sunt doi și minus unu. Dintre ei, numai doi respectă condiția x≥0.

Verificăm direct: pentru doi avem √4=2, adevărat. Pentru minus unu avem √1=−1, fals. Candidatul minus unu a apărut deoarece ecuația pătratelor nu distinge unu de minus unu.

Nu îl numim soluție și apoi îl „ștergem” fără explicație. El este o rădăcină a ecuației transformate, care nu satisface condițiile de echivalență sau verificarea inițială. Această formulare arată clar de unde a apărut diferența.

Exemplu cu două soluții admise

Rezolvăm √(x²−3)=1. Domeniul cere x²≥3, iar membrul drept este deja nenegativ. Ridicarea la pătrat conduce la x²−3=1, deci x²=4 și candidații sunt minus doi și doi.

Ambele valori respectă domeniul și produc √1=1. Ecuația are două soluții reale. Semnul negativ al lui x nu este o problemă aici: x nu apare singur ca membru drept, ci la pătrat sub radical.

Comparația cu primul exemplu este esențială. Acolo membrul drept era x și trebuia să fie nenegativ. Aici membrul drept este constanta unu; condiția lui nu impune x≥0. Nu transfera o restricție dintr-un exercițiu în altul doar fiindcă ambele conțin radicali.

Poți generaliza la √(x²−a)=b, unde a și b sunt parametri reali. Dacă b<0, nu există soluții. Dacă b≥0, ecuația transformată este x²=a+b². Când a+b² este pozitiv, există două soluții; când este zero, există numai soluția zero; când este negativ, nu există soluții reale.

Pentru b≥0, soluțiile ecuației transformate respectă automat radicandul x²−a=b²≥0. Totuși, condiția b≥0 nu poate fi eliminată: ea este cea care păstrează semnul radicalului la întoarcerea de la pătrate la ecuația inițială. Această familie explică toate cele trei posibilități fără să presupună că un radical produce obligatoriu o singură soluție.

Izolează radicalul înainte să ridici la pătrat

Rezolvăm √(x+1)+1=x. Mutăm unu în dreapta și obținem √(x+1)=x−1. Domeniul inițial cere x≥−1, iar semnul membrului drept cere x≥1.

După ridicare la pătrat: x+1=x²−2x+1, deci x²−3x=0. Candidații sunt zero și trei. Condiția x≥1 păstrează numai trei, iar verificarea dă √4+1=3.

Dacă ai ridica direct la pătrat suma din stânga, ar trebui să păstrezi termenul dublului produs: (√(x+1)+1)²=x+2+2√(x+1). Omiterea acestuia produce altă ecuație. Izolarea radicalului evită această extindere inutilă.

Două radicale și o verificare de domeniu

Pentru √(x+4)=√(3x−2), condițiile sunt x≥−4 și x≥2/3, deci x≥2/3. Ambii membri sunt nenegativi, astfel că egalitatea radicalilor este echivalentă cu egalitatea expresiilor de sub radical pe acest domeniu.

Obținem x+4=3x−2 și x=3. Verificarea dă √7=√7. Nu trebuie să introduci un semn plus sau minus în fața radicalilor: simbolul radical pătrat din enunț are deja o valoare nenegativă determinată.

La o sumă de două radicale egală cu un număr, situația poate cere o a doua ridicare la pătrat. Atunci păstrezi condițiile la fiecare etapă. Nu transforma automat toate ecuațiile cu radicali în egalitatea radicanzilor: acest pas este valabil aici pentru câte un radical izolat pe fiecare parte.

Un exemplu rezolvat prin comparație

Ecuația √(x²+1)=x nu are soluții reale. Membrul drept ar trebui să fie nenegativ, iar pentru orice x≥0 avem x²+1>x², deci radicalul este strict mai mare decât x. Egalitatea nu poate apărea.

Și ridicarea la pătrat ar produce contradicția x²+1=x². Comparația oferă însă explicația geometrică a imposibilității: adăugarea lui unu sub radical crește strict valoarea față de radicalul lui x² pentru x nenegativ.

Pentru învățarea prin înțelegere, încearcă întâi un control al semnelor și al mărimilor. Uneori poți decide existența soluțiilor înainte de a calcula un discriminant.

Schema de rezolvare

Etapă	Întrebarea de control
Domeniu	Toți radicalii și numitorii sunt definiți?
Izolare	Am un radical singur pe un membru?
Semn	Celălalt membru poate fi egal cu o valoare nenegativă?
Transformare	Ridicarea la pătrat este echivalentă sub condițiile scrise?
Verificare	Candidații satisfac ecuația inițială?

Păstrează condițiile lângă calcule. Dacă le scrii numai la sfârșit, este ușor să uiți o restricție introdusă de un numitor sau de a doua ridicare la pătrat. Verificarea finală rămâne un control bun chiar și după transformări echivalente.

Exerciții cu răspunsuri explicate

1. Pentru √(x+6)=x, condiția x≥0 și ecuația x²−x−6=0 dau candidații trei și minus doi. Rămâne trei, deoarece √9=3, iar minus doi nu poate fi egal cu un radical pătrat.
2. Pentru √(5−x)=x−1, condițiile sunt 1≤x≤5. Ecuația pătratelor este x²−x−4=0. Rămâne (1+√17)/2; rădăcina cu minus este negativă și nu aparține intervalului.
3. Pentru √(x²)=3, radicalul este modulul lui x. Soluțiile sunt minus trei și trei. Înlocuirea radicalului lui x² direct cu x ar pierde soluția negativă.
4. Pentru √(x+2)=−1, nu există soluții reale, deoarece un radical pătrat nu este negativ. Ridicarea la pătrat fără controlul semnului ar produce candidatul minus unu, care este fals.

Întrebări frecvente

Este suficient domeniul radicalului?

Nu întotdeauna. În √(x+2)=x, domeniul admite și valori negative ale lui x, dar egalitatea cere ca membrul drept să fie nenegativ. Condiția de semn este suplimentară.

Când scriu plus sau minus?

Când rezolvi o ecuație precum x²=9, obții x=±3. Radicalul √9 dintr-o expresie este însă trei, nu două valori. Separă operația radical de rezolvarea unei ecuații pătratice.

Cum exersez pentru BAC?

Alege cerințe din arhiva BAC și notează motivul eliminării fiecărui candidat. Pentru corectarea pașilor de echivalență, poți consulta anunțurile de matematică și prezenta rezolvarea completă, nu numai răspunsul.