Minim și maxim la BAC: parabola pe un interval

Minimul sau maximul unei funcții de gradul al doilea pe un interval se caută ținând cont de intervalul dat. Vârful parabolei poate fi în interior, la un capăt sau în afara lui. Dacă intervalul este deschis, o valoare spre care funcția se apropie poate să nu fie atinsă, deci să nu reprezinte un minim sau maxim.

Lecția folosește completarea pătratului și monotonia parabolei, fără derivate. Este potrivită pentru recapitularea funcției de gradul al doilea la BAC, cu atenție la domeniul din fiecare cerință. Exemplele sunt originale și separă valoarea extremă de punctul unde se obține.

Ce informații îți oferă forma cu pătrat?

Pentru f(x)=x²−6x+5, completăm pătratul și obținem f(x)=(x−3)²−4. Pătratul este nenegativ, deci pe toată mulțimea numerelor reale valoarea minimă este minus patru, obținută la x=3.

Dar dacă domeniul este [0,2], valoarea trei nu este permisă. Nu putem prezenta minimul de pe toată axa ca răspuns pentru acest interval. Trebuie să aflăm cât de aproape de trei ne putem situa folosind valori admise.

Pe [0,2], distanța până la trei este cea mai mică la doi și cea mai mare la zero. Rezultă minimul f(2)=−3 și maximul f(0)=5. Cele două valori sunt atinse, deoarece capetele intervalului sunt incluse.

Metoda punctelor candidate pe interval închis

Pentru un interval închis și mărginit [a,b], calculezi valorile în capete și, dacă aparține intervalului, valoarea în vârful parabolei. Compari aceste valori pentru a identifica minimul și maximul.

Poziția vârfului	Ce valori verifici
În interiorul intervalului	Ambele capete și vârful
Exact la un capăt	Ambele capete, fără dublarea aceluiași punct
În afara intervalului	Ambele capete

Metoda funcționează deoarece funcția pătratică este monotonă de fiecare parte a vârfului. Nu pot apărea alte puncte de întoarcere ascunse în interval. Prin urmare, lista candidaților este completă pentru acest tip de funcție.

Exemplu cu vârful în interior

Studiem aceeași funcție pe [1,6]. Vârful are abscisa trei și aparține intervalului. Calculăm f(1)=0, f(3)=−4 și f(6)=5.

Valoarea minimă este minus patru, obținută la x=3. Valoarea maximă este cinci, obținută la x=6. Faptul că parabola are ramurile în sus nu înseamnă că nu poate avea maxim pe un interval mărginit: lipsa maximului privește domeniul întreg real, nu orice restricție.

Capetele nu sunt la aceeași distanță de axa de simetrie. Unu se află la distanța doi de trei, iar șase la distanța trei. Forma cu pătrat explică imediat de ce valoarea din șase este mai mare.

Exemplu cu valori egale în capete

Pe intervalul [1,5], capetele sunt simetrice față de trei. Avem f(1)=f(5)=0 și f(3)=−4. Minimul rămâne minus patru, iar maximul zero este atins în două puncte.

Nu există obligația ca punctul de maxim să fie unic. Cerința poate solicita valoarea maximă, punctele în care se atinge sau ambele. Scrie exact informația cerută și nu pierde un capăt doar pentru că ai găsit deja unul cu aceeași valoare.

Imaginea intervalului [1,5] prin funcție este [−4,0]. Fiecare valoare dintre extremă și capete este atinsă, deoarece funcția este continuă. Pentru calculul de bază poți vedea acest lucru și din variația pătratului pe cele două jumătăți ale intervalului.

Ce se schimbă când ramurile sunt în jos?

Considerăm g(x)=−x²+4x+1=5−(x−2)² pe [−1,4]. Vârful este la x=2 și valoarea lui este cinci. Aceasta este valoarea maximă, deoarece scădem un pătrat din cinci.

În capete, g(−1)=−4 și g(4)=1. Valoarea minimă pe interval este minus patru, obținută la minus unu. Nu alege automat capătul din dreapta pentru minim: compară valorile sau distanțele față de axa de simetrie.

Schema rămâne aceeași indiferent de orientarea parabolei. Semnul coeficientului pătratic îți spune ce tip de extremă are vârful, iar capetele rezolvă cealaltă extremă atunci când intervalul este închis și mărginit.

Intervalele deschise cer verificarea atingerii

Revenim la f(x)=(x−3)²−4 pe intervalul (0,2). Funcția este strict descrescătoare aici. Valorile ei sunt cuprinse strict între minus trei și cinci, dar niciuna dintre aceste două limite nu este atinsă.

Nu există nici minim, nici maxim pe acest interval. Mulțimea valorilor este (−3,5). Pentru orice punct admis poți alege unul puțin mai aproape de doi și obține o valoare mai mică; la fel, apropierea de zero produce una mai mare.

Pe intervalul [0,2), maximul cinci este atins la zero, dar minimul nu există. Pe (0,2], minimul minus trei este atins la doi, dar maximul nu există. O singură paranteză poate schimba concluzia despre existența unei extreme.

Pentru a înțelege diferența dintre apropiere și atingere, întreabă-te dacă există efectiv un x admis care produce valoarea propusă. Nu este suficient să poți obține valori foarte apropiate de ea.

Problemă cu parametru în interval

Căutăm minimul lui h(x)=(x−m)² pe [0,4], în funcție de parametrul real m. Vârful are abscisa m, deci poziția lui față de interval împarte problema în trei cazuri.

Dacă m<0, punctul din interval cel mai apropiat de m este zero, iar minimul este m². Dacă 0≤m≤4, vârful este admis și minimul este zero, atins la x=m. Dacă m>4, punctul cel mai apropiat este patru, iar minimul este (4−m)².

La m=0 și m=4, formulele vecine dau aceeași valoare zero. Aceasta este o verificare a cazurilor de frontieră. Nu am impus ca parametrul să fie în interval de la început; tocmai poziția lui determină locul minimului.

Exerciții cu răspunsuri

Află extremele lui x² pe [−2,3]. Vârful zero este admis. Minimul este zero, iar maximul este nouă, la trei. Valoarea din minus doi este patru, deci capătul negativ nu produce maximul.

Află extremele lui −(x−1)²+2 pe [2,5]. Vârful unu este în afara intervalului. Funcția descrește pe interval: maximul este unu, la doi, iar minimul este minus paisprezece, la cinci.

Află minimul lui (x−2)² pe (0,4). Valoarea zero este atinsă la doi, deci minimul există. Nu există maxim: valorile se apropie de patru la capete, fără să îl atingă. Un interval deschis nu exclude automat orice extremă.

Află punctele de maxim ale lui (x−1)² pe [−1,3]. Ambele capete sunt la distanța doi de unu. Maximul este patru, atins în minus unu și trei.

Întrebări frecvente

Minimul este o valoare a lui x sau a funcției?

Valoarea minimă este rezultatul funcției. Punctul de minim se referă la argumentul unde este obținută. Scrierea „minimul este trei” este greșită dacă trei este abscisa vârfului, iar ordonata lui este minus patru.

Este obligatoriu să folosesc derivata?

Nu pentru aceste funcții. Forma cu pătrat și monotonia parabolei oferă o rezolvare completă. Folosește metoda potrivită conținuturilor cerute și datelor exercițiului.

Cum verific rezultatul înainte de examen?

Notează intervalul, lista punctelor admise și valorile calculate. Compară cu cerințe din arhiva BAC. Pentru feedback pe cazurile cu parametru, poți consulta anunțurile de matematică și prezenta separat fiecare poziție a vârfului.