Relațiile lui Viète la BAC: formule și parametri

Relațiile lui Viète îți permit să folosești suma și produsul rădăcinilor unei ecuații de gradul al doilea fără să calculezi separat fiecare rădăcină. Pentru $ax^2+bx+c=0$, cu $a\ne0$, notezi $S=x_1+x_2=-b/a$ și $P=x_1x_2=c/a$. La BAC, metoda devine utilă când cerința conține expresii simetrice sau un parametru.

Lecția presupune că știi coeficienții ecuației și discriminantul. Exemplele sunt originale. Condițiile asupra rădăcinilor contează: dacă problema cere rădăcini reale, nu este suficient să obții o valoare a parametrului dintr-o identitate. Trebuie să verifici și existența acelor rădăcini în mulțimea cerută.

Schema de lucru

Pas	Ce scrii	Ce previi
1	$a$, $b$, $c$, cu semnele lor	Confuzia dintre coeficient și termen
2	$a\ne0$ și condiția pentru rădăcini reale, dacă este cerută	Folosirea formulelor pentru o ecuație degenerată
3	$S=-b/a$, $P=c/a$	Calculul inutil al rădăcinilor
4	Rescrierea expresiei în $S$ și $P$	Introducerea radicalilor fără nevoie
5	Rezolvarea și verificarea parametrului	Acceptarea unor valori incompatibile

Poți aplica schema pe exerciții din arhiva de subiecte BAC. Alege varianta profilului tău și păstrează exact formularea despre rădăcini. „Reale”, „reale distincte” și „nenule” sunt condiții diferite.

De unde vin formulele

Dacă rădăcinile sunt $x_1$ și $x_2$, polinomul se scrie $a(x-x_1)(x-x_2)$. Dezvoltarea dă ax²-a(x₁+x₂)x+ax₁x₂. Compari coeficienții cu ax²+bx+c și obții suma și produsul.

Această derivare explică semnul minus din suma rădăcinilor. Nu este o convenție arbitrară. Termenii de gradul întâi din produs sunt -ax₁x și -ax₂x, de aceea coeficientul lor cumulat este opusul lui aS. Produsul rădăcinilor apare în termenul liber cu semnul pozitiv al dezvoltării.

Pentru 2x²-6x+4=0, coeficienții sunt a=2, b=-6, c=4. Rezultă S=3 și P=2. Rădăcinile 1 și 2 confirmă formulele, dar calcularea lor nu este necesară dacă cerința solicită doar suma pătratelor.

Expresiile pe care merită să le recunoști

Expresie	Rescriere	Condiție suplimentară
x₁²+x₂²	S²-2P	Niciuna
(x₁-x₂)²	S²-4P	Niciuna pentru identitate
1/x₁+1/x₂	S/P	P≠0
x₁³+x₂³	S³-3PS	Niciuna
x₁/x₂+x₂/x₁	(S²-2P)/P	P≠0

Prima formulă vine din dezvoltarea pătratului sumei. Ai (x₁+x₂)²=x₁²+2x₁x₂+x₂², deci scazi 2P. Greșeala frecventă este să scrii x₁²+x₂²=S², pierzând termenul dublului produs.

Pentru fracții, verifică numitorii înainte de simplificare. Condiția P≠0 înseamnă că niciuna dintre rădăcini nu este zero. Nu este suficient să spui că suma lor este diferită de zero: două numere pot avea sumă nenulă, deși unul este zero.

Exemplu rezolvat: suma pătratelor

Se consideră ecuația 2x²-6x+4=0, cu rădăcinile x₁,x₂. Calculează x₁²+x₂² fără formula rădăcinilor.

Ai S=3, P=2. Prin urmare, x₁²+x₂²=3²-2 · 2=5. Verificarea directă cu 1 și 2 dă 1²+2²=5. Această verificare este utilă la antrenament, deoarece confirmă simultan semnele din Viète și identitatea folosită.

Dacă ți s-ar cere suma inverselor, ai obține S/P=3/2. Dacă ți s-ar cere suma cuburilor, rezultatul ar fi S³-3PS=27-18=9. Același cuplu de date rezolvă trei cerințe diferite.

Exemplu cu parametru: verifică rădăcinile distincte

Determină valorile reale ale lui m pentru care ecuația x²-(m+1)x+m=0 are două rădăcini reale distincte și x₁²+x₂²=5.

Din Viète, S=m+1 și P=m. Condiția devine (m+1)²-2m=5, adică m²+1=5. Obții m=-2 sau m=2.

Discriminantul este Δ=(m+1)²-4m=(m-1)². Pentru rădăcini reale distincte ai nevoie de m≠1. Ambele valori găsite respectă condiția. Răspunsul este mulțimea {-2,2}.

Pentru a vedea când verificarea elimină o valoare, schimbă numai cerința în x₁²+x₂²=2. Obții m²=1, deci m=-1 sau m=1. Acum valoarea 1 trebuie eliminată, fiindcă produce rădăcină dublă. Rămâne m=-1. Formula aplicată corect nu te scutește de verificarea condiției „distincte”.

Când rădăcinile sunt pozitive

Pentru două rădăcini reale strict pozitive, condițiile sunt Δ≥0, S>0 și P>0. Produsul pozitiv arată că rădăcinile au același semn; suma pozitivă stabilește că acel semn este pozitiv. Dacă se cer și distincte, înlocuiești prima condiție cu Δ>0.

Exemplu: pentru x²-4x+m=0, suma este 4, produsul este m, iar discriminantul este 16-4m. Două rădăcini reale strict pozitive există pentru 0<m≤4. Dacă se cer distincte, intervalul devine 0<m<4.

La m=0, una dintre rădăcini este zero, deci nu este strict pozitivă. La m=4, ambele rădăcini sunt 2: sunt pozitive, dar nu distincte. Aceste două capete de interval verifică sensul fiecărei inegalități.

Cum recunoști o metodă nepotrivită

Viète este eficientă pentru expresii simetrice, care nu se schimbă când inversezi etichetele x₁ și x₂. Dacă cerința privește explicit rădăcina mai mică sau o expresie nesimetrică, poate fi nevoie să calculezi rădăcinile ori să introduci o relație suplimentară.

Nu forța metoda doar pentru că ai recunoscut o ecuație de gradul al doilea. De exemplu, din S și P poți calcula pătratul diferenței, dar semnul lui x₁-x₂ depinde de ordonarea rădăcinilor. Dacă problema nu o precizează, nu alege arbitrar un semn.

Pentru dificultăți recurente, un exercițiu util de discutat cu un profesor de matematică este tocmai cel în care formula produce o valoare ce trebuie respinsă. Acolo se vede diferența dintre calcul și rezolvarea completă.

Construiește ecuația pornind de la rădăcini

Metoda funcționează și în sens invers. Dacă știi suma și produsul a două numere și vrei o ecuație de gradul al doilea care le are drept rădăcini, alegi coeficientul termenului pătratic egal cu unu. Coeficientul termenului de gradul întâi este opusul sumei, iar termenul liber este produsul. Obții astfel ecuația monică asociată.

De exemplu, rădăcinile doi și cinci au suma șapte și produsul zece. Ecuația este x²-7x+10=0. Dacă înmulțești întreaga ecuație cu trei, rădăcinile rămân aceleași: ai schimbat coeficienții proporțional, nu mulțimea soluțiilor. În schimb, dacă modifici numai termenul liber, nu mai păstrezi aceeași ecuație.

Acest exercițiu invers este și o verificare a semnelor. Rădăcinile minus doi și cinci au suma trei și produsul minus zece. Termenul de gradul întâi trebuie deci să aibă coeficient negativ, iar termenul liber este tot negativ. Verifică prin înlocuirea fiecărei rădăcini, nu doar prin asemănarea vizuală cu exemplul anterior.

Exerciții cu răspunsuri explicate

1. Pentru 3x²-12x+9=0, calculează suma pătratelor rădăcinilor.
2. Pentru x²-5x+6=0, calculează suma inverselor rădăcinilor.
3. Găsește m dacă rădăcinile lui x²-(m+1)x+m=0 sunt distincte și suma pătratelor lor este 2.
4. Determină m pentru care x²-6x+m=0 are două rădăcini reale strict pozitive, distincte.

Rezolvări:

1. S=4, P=3, deci rezultatul este 16-6=10. Împărțirea coeficienților la a=3 nu trebuie omisă.
2. S=5, P=6≠0, deci suma inverselor este 5/6.
3. m²+1=2 dă m=±1. Valoarea 1 produce discriminant nul, deci răspunsul este m=-1.
4. S=6>0, P=m>0, iar Δ=36-4m>0. Intersecția condițiilor este m ∈ (0,9).

Întrebări frecvente

Se folosesc relațiile și dacă discriminantul este negativ?

Identitățile lui Viète se aplică și rădăcinilor complexe. Într-o problemă despre rădăcini reale trebuie însă verificată separat condiția Δ≥0. Nu amesteca cele două mulțimi.

Trebuie să calculez mereu discriminantul?

Nu dacă existența rădăcinilor în mulțimea cerută este deja stabilită și cerința solicită doar o identitate. La probleme cu parametru, verificarea condițiilor este frecvent necesară.

Cum rețin formulele fără să le încurc?

Refă dezvoltarea lui a(x-x₁)(x-x₂) și pătratul sumei. Este un exemplu concret de învățare prin înțelegere, care îți permite să reconstruiești formula când o uiți.

Reper curricular

Consultă programa oficială de matematică pentru varianta profilului tău. Lecția tratează ecuații de gradul al doilea și aplicații algebrice; nu reprezintă o predicție a subiectelor de examen.