Ecuații de gradul 1: rezolvare pas cu pas și probleme

Primele ecuații de gradul 1 se rezolvă încă din clasele primare, sub forma „află numărul necunoscut”. În gimnaziu primesc un nume, o metodă și un rol mult mai mare: devin instrumentul cu care se rezolvă aproape orice problemă cu text. Toată metoda se sprijină pe o singură idee, cea a balanței. Ce faci într-o parte a egalului faci și în cealaltă. Mai jos găsești regulile, pașii și ecuații rezolvate, de la cele mai simple până la cele cu fracții.

Pe scurt:

• Forma generală: ax + b = 0, cu a diferit de 0. Soluția este x = −b / a.

• Poți aduna sau scădea același număr în ambii membri.

• Poți înmulți sau împărți ambii membri cu același număr, diferit de zero.

• Un termen trecut dintr-un membru în celălalt își schimbă semnul.

• La sfârșit, verifici soluția în ecuația inițială.

Ce este o ecuație de gradul întâi?

Este o egalitate în care apare o necunoscută, de obicei notată cu x, la puterea întâi. A rezolva ecuația înseamnă a găsi valoarea lui x pentru care egalitatea este adevărată. Această valoare se numește soluție.

Cele două părți ale egalității se numesc membri: membrul stâng și membrul drept.

Care sunt regulile de transformare?

O ecuație seamănă cu o balanță în echilibru. Echilibrul se păstrează dacă faci același lucru pe ambele talere.

Regula 1. Dacă aduni sau scazi același număr în ambii membri, obții o ecuație cu aceeași soluție.

Din ea decurge regula practică: un termen poate fi trecut dintr-un membru în celălalt, cu semnul schimbat.

Regula 2. Dacă înmulțești sau împarți ambii membri cu același număr, diferit de zero, obții o ecuație cu aceeași soluție.

Care sunt pașii de rezolvare?

1. Desfaci parantezele.

2. Elimini numitorii, înmulțind toată ecuația cu numitorul comun.

3. Separi termenii: cei cu x în stânga, numerele în dreapta.

4. Reduci termenii asemenea.

5. Împarți la coeficientul lui x.

6. Verifici.

Nu toate ecuațiile au nevoie de toți pașii.

Ecuații simple

Exemplul 1. 2x + 5 = 11

• 2x = 11 − 5

• 2x = 6

• x = 3

Verificare: 2 · 3 + 5 = 11.

Exemplul 2. 3x − 7 = 2x + 4

• 3x − 2x = 4 + 7

• x = 11

Verificare: 3 · 11 − 7 = 26 și 2 · 11 + 4 = 26.

Ecuații cu paranteze

Exemplul 3. 5 · (x − 2) = 3x + 4

• 5x − 10 = 3x + 4

• 5x − 3x = 4 + 10

• 2x = 14

• x = 7

Exemplul 4. 2 · (3x + 1) − 4 · (x − 2) = 18

• 6x + 2 − 4x + 8 = 18

• 2x + 10 = 18

• 2x = 8

• x = 4

Atenție la al doilea produs: −4 înmulțit cu −2 dă +8. Este locul în care se greșește cel mai des.

Ecuații cu fracții

Înmulțești toți termenii cu numitorul comun. Numitorii dispar și rămâne o ecuație obișnuită.

Exemplul 5. x / 2 + x / 3 = 10

• numitorul comun este 6

• 3x + 2x = 60

• 5x = 60

• x = 12

Exemplul 6. (x − 1) / 3 = (x + 2) / 4

Când ecuația este o proporție, înmulțești „în cruce”:

• 4 · (x − 1) = 3 · (x + 2)

• 4x − 4 = 3x + 6

• x = 10

Verificare: 9 / 3 = 3 și 12 / 4 = 3.

Exemplul 7. (2x + 1) / 5 − (x − 3) / 2 = 1

• numitorul comun este 10. Înmulțești fiecare termen, inclusiv pe 1

• 2 · (2x + 1) − 5 · (x − 3) = 10

• 4x + 2 − 5x + 15 = 10

• −x + 17 = 10

• −x = −7

• x = 7

Verificare: 15 / 5 − 4 / 2 = 3 − 2 = 1.

Linia de fracție ține loc de paranteză. Când o elimini, pune numărătorul între paranteze, mai ales dacă în fața fracției este minus.

Ce cazuri speciale pot apărea?

Ecuația fără soluție. Dacă, după reducere, necunoscuta dispare și rămâne o egalitate falsă:

• 2 · (x + 1) = 2x + 5

• 2x + 2 = 2x + 5

• 2 = 5, fals

Ecuația nu are nicio soluție.

Ecuația cu o infinitate de soluții. Dacă necunoscuta dispare și rămâne o egalitate adevărată:

• 3 · (x + 2) = 3x + 6

• 3x + 6 = 3x + 6

• 0 = 0, adevărat

Orice număr este soluție.

Mulțimea în care se rezolvă. Ecuația 2x = 5 are soluția 5 / 2. Dacă enunțul cere rezolvarea în mulțimea numerelor naturale sau întregi, ecuația nu are soluție. Citește întotdeauna unde se cere rezolvarea.

Cum pui o problemă în ecuație?

Patru pași: alegi necunoscuta, traduci enunțul într-o egalitate, rezolvi și interpretezi rezultatul.

Problema 1. Un număr, adunat cu triplul lui, dă 48. Află numărul.

• x + 3x = 48

• 4x = 48

• x = 12

Problema 2. Tatăl are 40 de ani, iar fiul are 10 ani. Peste câți ani va avea tatăl de trei ori vârsta fiului?

• peste x ani, tatăl va avea 40 + x, iar fiul 10 + x

• 40 + x = 3 · (10 + x)

• 40 + x = 30 + 3x

• 10 = 2x

• x = 5

Verificare: peste 5 ani, tatăl are 45 de ani, iar fiul 15.

Problema 3. Suma a trei numere naturale consecutive este 72. Află numerele.

• numerele sunt x, x + 1 și x + 2

• 3x + 3 = 72

• x = 23

Numerele sunt 23, 24 și 25.

Problema 4. Un dreptunghi are lungimea cu 4 cm mai mare decât lățimea și perimetrul de 40 cm. Află dimensiunile.

• lățimea este x, iar lungimea este x + 4

• 2 · (x + x + 4) = 40

• 2x + 4 = 20

• x = 8

Lățimea este de 8 cm, iar lungimea de 12 cm.

Care sunt greșelile cele mai frecvente?

1. Semnul neschimbat la trecerea unui termen. Din 2x + 5 = 11 rezultă 2x = 11 − 5, nu 11 + 5.

2. Minusul din fața parantezei. −4 · (x − 2) este −4x + 8.

3. Minusul din fața unei fracții. Se aplică întregului numărător.

4. Un termen neînmulțit la eliminarea numitorilor. Se înmulțesc toți termenii, și numerele întregi.

5. Împărțirea fără semn. Din −x = −7 rezultă x = 7. Din −2x = 8 rezultă x = −4.

6. Trecerea greșită a coeficientului. În 2x = 6, numărul 2 înmulțește, deci se împarte la el. Nu se „trece cu minus”.

7. Verificarea sărită. Durează zece secunde și prinde aproape orice greșeală.

8. Răspunsul fără legătură cu problema. La probleme, scrie ce reprezintă x și răspunde la întrebarea din enunț.

Unde apar la școală și la examen?

Ecuațiile se studiază treptat, în tot gimnaziul: întâi cu numere naturale, apoi cu numere întregi, raționale și reale. La Evaluarea Națională apar atât ca exercițiu de calcul, cât și în problemele cu text. Pe ele se sprijină tot ce urmează: sistemele de ecuații, ecuația de gradul al doilea, funcțiile.

Despre lucrul în reprize scurte am scris în articolul despre de ce sunt mai eficiente decât orele lungi.

Dacă te blochezi la punerea în ecuație, adică la trecerea de la text la egalitate, un profesor te poate ajuta mult: este o deprindere care se învață pe exemple lucrate împreună. Pe pagina de meditații la matematică vezi anunțurile profesorilor, cu preț și durată, iar pe cea de meditații pentru Evaluarea Națională compari profilurile. Pe Hola25 poți rezerva o lecție de probă de 25 sau 50 de minute, cu prețul afișat înainte de plată. Lecția are loc în sala de lecții Hola25, pe o tablă comună. Anunțurile sunt publicate de profesori, iar platforma nu le verifică studiile sau experiența declarată.

Întrebări frecvente

Ce este soluția unei ecuații?

Valoarea necunoscutei pentru care egalitatea devine adevărată. Pentru 2x + 5 = 11, soluția este 3.

De ce se schimbă semnul când trec un termen în celălalt membru?

Pentru că, de fapt, scazi sau aduni același număr în ambii membri. Trecerea cu semn schimbat este o prescurtare a acestei operații.

Cum rezolv o ecuație cu fracții?

Înmulțești toți termenii cu numitorul comun, ca să elimini numitorii, apoi rezolvi ecuația obținută.

Poate o ecuație să nu aibă soluție?

Da. Dacă, după reducere, necunoscuta dispare și rămâne o egalitate falsă, de exemplu 2 = 5, ecuația nu are soluție.

Cum verific soluția?

Înlocuiești valoarea găsită în ecuația inițială și calculezi separat cei doi membri. Trebuie să obții același număr.