Sume telescopice cu fracții: exemple rezolvate

O sumă telescopică se calculează rescriind termenii astfel încât părțile intermediare să se anuleze două câte două. Nu dispar fracții la întâmplare: o valoare apare o dată cu plus și o dată cu minus. După anulare rămân termenii de la capete, care trebuie identificați cu grijă.

De exemplu, suma $(1/4-1/5)+(1/5-1/6)+(1/6-1/7)$ este $1/4-1/7$. Cele două apariții ale lui $1/5$ se compensează, la fel cele ale lui $1/6$. Metoda devine interesantă când diferențele nu sunt vizibile de la început, ci sunt ascunse în fracții cu numitori potriviți.

Ce transformare descoperă anulările?

Pentru un număr natural nenul $k$, relația utilă este:

$$\frac{1}{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}.$$

Verificarea se face prin aducere la același numitor. În dreapta obții numărătorul $(k+1)-k$, adică 1. Numitorul este produsul $k(k+1)$, exact cel din stânga.

Această verificare trebuie făcută înainte să aplici tiparul într-o problemă nouă. Dacă diferența dintre factorii numitorului nu mai este 1, numărătorul obținut prin scădere se schimbă. O formulă recunoscută după aspect, fără verificarea coeficientului, poate produce un rezultat greșit pentru întreaga sumă.

Într-o rezolvare scrisă, păstrează parantezele din primele transformări. Dacă semnele devin greu de urmărit, recapitularea despre ordinea efectuării operațiilor ajută să separi transformarea fiecărui termen de calculul sumei complete.

Cum rezolvi o sumă care începe de la 4?

Consideră toate fracțiile $1/[k(k+1)]$ pentru valorile întregi ale lui $k$ de la 4 la 15, inclusiv. Sunt 12 termeni, deoarece $15-4+1=12$.

Scrie începutul și sfârșitul după transformare:

$$S=\left(\frac14-\frac15\right)+\left(\frac15-\frac16\right)+\cdots+\left(\frac1{15}-\frac1{16}\right).$$

Termenul negativ $-1/5$ întâlnește termenul pozitiv $1/5$ din paranteza următoare. Același lucru se întâmplă până la $1/15$. Nu există însă un $-1/4$ înaintea primei paranteze și nici un $+1/16$ după ultima.

Prin urmare, rămâne $S=1/4-1/16=3/16$. Rezultatul nu este $1/4-1/15$: ultimul numitor rămas este cu o unitate mai mare decât ultima valoare a indicelui.

O verificare de sens: toate fracțiile inițiale sunt pozitive, deci și suma trebuie să fie pozitivă. În plus, rezultatul este mai mic decât $1/4$, termenul pozitiv rămas înainte de scăderea finală. Aceste observații nu înlocuiesc demonstrația, dar pot detecta un semn inversat.

Ce se schimbă când factorii diferă cu 2?

Pentru numitorul $k(k+2)$, diferența simplă $1/k-1/(k+2)$ produce numărătorul 2. De aceea ai nevoie de un factor suplimentar:

$$\frac1{k(k+2)}=\frac12\left(\frac1k-\frac1{k+2}\right).$$

Adună acum termenii pentru $k=1,2,\ldots,8$. În interiorul parantezei mari apar două șiruri: unul pozitiv, cu numitorii de la 1 la 8, și unul negativ, cu numitorii de la 3 la 10.

Termenii cu numitorii de la 3 la 8 se anulează. La început rămân $1$ și $1/2$, iar la sfârșit rămân $-1/9$ și $-1/10$. Așadar:

$$S=\frac12\left(1+\frac12-\frac19-\frac1{10}\right)=\frac{29}{45}.$$

Rămân două elemente la fiecare capăt, deoarece decalajul numitorilor este 2. Nu păstrezi mecanic doar primul și ultimul termen. Mai întâi compari cele două liste de fracții.

Pentru verificare, poți calcula separat primele două fracții ale sumei originale: $1/3+1/8=11/24$. Suma completă trebuie să fie mai mare, fiindcă adaugi încă șase termeni pozitivi. Valoarea $29/45$ respectă această condiție.

Cum tratezi numitorii impari consecutivi?

Consideră suma care începe cu $1/(3\cdot5)$ și se termină cu $1/(17\cdot19)$, folosind pe rând perechile 3 și 5, 5 și 7, până la 17 și 19.

Fiecare termen se descompune în jumătatea unei diferențe. Primul devine $(1/2)(1/3-1/5)$, următorul $(1/2)(1/5-1/7)$ și așa mai departe.

De această dată, deși diferența dintre factorii unei perechi este tot 2, șirul avansează și el din 2 în 2. Anulările lasă un singur termen pozitiv și unul negativ:

$$S=\frac12\left(\frac13-\frac1{19}\right)=\frac8{57}.$$

Comparația cu exemplul anterior arată de ce contează și pasul șirului. Nu este suficient să observi diferența dintre factorii numitorului; trebuie să vezi ce numitori apar efectiv în termenul următor.

Cum afli câți termeni are suma?

Pentru termenii $1/[k(k+1)]$ de la $k=1$ până la $k=n$, rezultatul finit este $1-1/(n+1)$. Dacă suma este $19/20$, atunci fracția scăzută din 1 trebuie să fie $1/20$.

Obții $n+1=20$, deci $n=19$. Verifică și interpretarea: sunt 19 termeni, ultimul fiind $1/(19\cdot20)$. Numărul 20 reprezintă numitorul rămas la sfârșit, nu numărul termenilor.

Dacă suma începe de la alt indice, această concluzie nu se păstrează automat. Scrii întâi expresia capetelor, apoi rezolvi ecuația. Metoda de învățare la matematică prin pași și verificări este utilă tocmai pentru a păstra separate observarea tiparului, demonstrația și controlul rezultatului.

Cum verifici metoda pe o sumă scurtă?

Înainte să lucrezi cu multe paranteze, alege trei termeni consecutivi din suma propusă. Calculează-i o dată prin aducere la același numitor și încă o dată prin descompunere. Cele două rezultate trebuie să coincidă. Această probă locală detectează rapid un coeficient uitat, deși nu înlocuiește justificarea pentru toate valorile indicelui.

Apoi urmărește o singură fracție din mijloc. Arată exact din ce termen vine apariția ei pozitivă și din ce termen vine cea negativă. Dacă nu poți identifica ambele origini, anularea nu este încă explicată.

La final, verifică separat capătul din dreapta. Scrie ultimul termen inițial, descompune-l și vezi ce parte nu mai are partener. Acest pas este mai sigur decât să copiezi ultimul numitor pe care îl observi în enunț.

Într-o lucrare, poți sublinia perechile de valori opuse, dar nu tăia factori în cruce între termeni adunați. Aici folosim adunarea unor numere opuse; simplificarea unei fracții este o operație diferită, făcută prin împărțirea numărătorului și numitorului la același factor nenul.

Ce greșeli merită căutate în rezolvare?

• Ai scăzut două fracții fără să verifici numărătorul rezultat? Poate lipsește factorul $1/2$ sau alt coeficient.
• Ai scris prea puțini termeni la capete? Extinde primele trei și ultimele trei paranteze.
• Ai confundat ultimul indice cu numărul termenilor? Pentru indici de la $a$ la $b$, numărul lor este $b-a+1$.
• Ai anulat termeni care apar amândoi cu plus? Anularea într-o sumă cere valori opuse, nu doar numitori egali.

Dacă anulările sunt clare, dar transformarea inițială rămâne dificilă, un exercițiu potrivit pentru o ședință cu un profesor de matematică este să construiești tu diferența și să o verifici prin aducere la același numitor.

Exerciții cu răspuns explicat

1. Adună termenii $1/[k(k+1)]$ pentru $k=3,4,\ldots,11$. Rămâne $1/3-1/12=1/4$. Sunt nouă termeni inițiali.

2. Adună $3/[k(k+1)]$ pentru $k=2,3,\ldots,9$. Factorul 3 rămâne în afara sumei: $3(1/2-1/10)=6/5$. O sumă de fracții pozitive poate depăși 1.

3. Cineva susține că $1/[k(k+3)]=1/k-1/(k+3)$. Explică eroarea. Dreapta are numărătorul 3, deci trebuie înmulțită cu $1/3$ pentru a obține fracția propusă.

Întrebări frecvente

Orice sumă de fracții este telescopică?

Nu. Metoda cere o rescriere care produce anulări între termeni. Faptul că numitorii cresc nu garantează acest lucru.

Pot folosi direct punctele de suspensie?

Da, după ce regula termenilor este precizată fără ambiguitate. În demonstrație, scrie suficiente paranteze ca cititorul să poată verifica anulările și capetele.

Suma finită este egală cu 1?

Pentru exemplul de la 1 la $n$, ea este $1-1/(n+1)$, strict mai mică decât 1. Discuția despre o serie infinită este un pas separat și nu justifică eliminarea ultimului termen într-un calcul finit.

Sursă pentru metodă: OpenStax, secțiunea despre serii telescopice. Aici folosim numai sume finite, cu exemple și verificări construite pentru acest articol.