Numărul divizorilor: formulă și exemple explicate

Numărul divizorilor pozitivi se află din descompunerea în factori primi: aduni 1 la fiecare exponent și înmulțești rezultatele. Dacă $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_r^{a_r}$, cu factori primi distincți, atunci numărul divizorilor este $(a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_r+1)$. Regula se aplică numerelor naturale mai mari decât 1; numărul 1 are un singur divizor pozitiv, pe el însuși.

De exemplu, $648=2^3\cdot3^4$. Numărul divizorilor pozitivi este $(3+1)(4+1)=20$. Nu trebuie să încerci pe rând toate numerele de la 1 la 648, dar trebuie să înțelegi de ce exponenții produc aceste două grupuri de alegeri.

Ce numim divizor pozitiv?

Un număr natural nenul $d$ este divizor al lui $n$ dacă împărțirea lui $n$ la $d$ are restul zero. Pentru 18, divizorii pozitivi sunt 1, 2, 3, 6, 9 și 18. Numărul 1 și numărul însuși sunt incluse în această listă.

Nu numărăm aici divizorii negativi. Dacă problema îi cere pe toți cei întregi ai unui număr pozitiv, fiecare divizor pozitiv are și un corespondent negativ, deci totalul se dublează. Precizarea domeniului schimbă răspunsul.

Zero nu intră în regula prezentată: orice întreg nenul divide zero, iar împărțirea la zero nu este definită. Înainte să aplici formula, citește dacă enunțul cere divizori pozitivi, divizori proprii sau o altă categorie.

De ce adaugi 1 la exponent?

În descompunerea lui 648, factorul 2 apare de trei ori. Un divizor poate folosi zero, unu, doi sau trei factori de 2. Sunt patru posibilități: $2^0$, $2^1$, $2^2$ și $2^3$.

Pentru factorul 3 există cinci posibilități, de la $3^0$ până la $3^4$. Alegerea unei puteri a lui 2 se poate combina cu oricare dintre cele cinci puteri ale lui 3. Așadar, obții patru grupe de câte cinci produse.

Alegerea exponentului zero este esențială. Ea permite divizori care nu conțin acel factor prim. De pildă, 81 divide 648 și nu conține factorul 2, iar 8 divide 648 și nu conține factorul 3.

Dacă ai nevoie să recunoști factorii înainte de descompunere, ghidul despre numere prime și identificarea lor clarifică de ce 1 nu este prim și de ce baza descompunerii trebuie să fie primă.

De ce nu se repetă produsele obținute?

Descompunerea în factori primi a unui număr pozitiv este unică, dacă ignorăm ordinea factorilor. Două alegeri diferite de exponenți nu pot produce același divizor. Dacă produsele ar fi egale, același număr ar avea două descompuneri prime diferite.

În plus, un divizor al lui 648 nu poate introduce un factor prim nou, cum ar fi 5, și nici nu poate folosi patru factori de 2, deoarece numărul inițial are numai trei. Astfel, lista de alegeri este atât completă, cât și fără repetiții.

Această justificare este motivul pentru care formula folosește factori primi distincți. Dacă scrii $648=8\cdot81$ și tratezi 8 și 81 ca baze prime cu exponentul 1, ai obține greșit patru divizori.

Cum listezi divizorii pentru a verifica numărătoarea?

Pentru 648, poți construi un tabel în care fiecare rând fixează puterea lui 2:

Factor ales din puterile lui 2	Produse cu 1, 3, 9, 27, 81
1	1, 3, 9, 27, 81
2	2, 6, 18, 54, 162
4	4, 12, 36, 108, 324
8	8, 24, 72, 216, 648

Sunt 20 de intrări. Nu sunt ordonate crescător, dar sunt distincte și fiecare împarte exact numărul. Dacă enunțul cere doar câți divizori există, tabelul este o verificare, nu o obligație de a-i scrie pe toți.

Pentru numere mari, verifică întâi descompunerea prin înmulțire. O eroare în exponent se propagă direct în rezultat. De exemplu, confuzia dintre $3^3$ și $3^4$ ar schimba simultan numărul descompus și numărul de alegeri.

Câți divizori pari și impari are numărul?

Un divizor impar al lui 648 nu conține factorul 2. Exponentul lui 2 este fixat la zero, iar exponentul lui 3 are cinci alegeri. Prin urmare, există cinci divizori impari.

Divizorii pari sunt cei rămași: $20-5=15$. Poți număra și direct: pentru exponentul lui 2 alegi 1, 2 sau 3, iar pentru exponentul lui 3 alegi una dintre cele cinci valori. Produsul este $3\cdot5=15$.

Cele două metode trebuie să coincidă. Această dublă verificare face calculul mai ușor de controlat decât memorarea separată a unei formule pentru fiecare subcategorie.

Pentru divizorii care sunt pătrate perfecte, exponenții trebuie să fie pari. La 648, exponentul lui 2 poate fi 0 sau 2, iar cel al lui 3 poate fi 0, 2 sau 4. Obții șase divizori pătrate perfecte, inclusiv 1.

De ce pătratele perfecte au un număr impar de divizori?

Divizorii unui număr se pot grupa în perechi al căror produs este numărul inițial. La 196, apar perechile 1 și 196, 2 și 98, 4 și 49, 7 și 28, iar 14 se împerechează cu el însuși.

Primele patru perechi contribuie cu opt divizori, iar 14 se numără o singură dată. Totalul este nouă. Formula confirmă: $196=2^2\cdot7^2$, deci $(2+1)(2+1)=9$.

La un număr care nu este pătrat perfect, nicio pereche nu are două componente egale, astfel că divizorii se grupează fără un element rămas singur. Această explicație arată și de ce trebuie evitată numărarea de două ori a rădăcinii pătrate.

Cum rezolvi o problemă inversă?

Presupune că $n=2^a\cdot3^2$, unde $a$ este număr natural, și că $n$ are 18 divizori pozitivi. Relația este $(a+1)\cdot3=18$. Rezultă $a+1=6$, deci $a=5$.

Numărul este $2^5\cdot9=288$. Verificarea se face în două etape: refaci numărul din factori, apoi numeri alegerile exponenților. Cele șase alegeri pentru puterea lui 2 și cele trei pentru puterea lui 3 dau exact 18.

În exercițiile inverse, nu căuta imediat o listă de divizori. Tradu cerința într-o relație între numerele de alegeri. Pentru organizarea acestei rezolvări, sunt utile etapele din ghidul despre cum înveți la matematică.

Exerciții cu răspunsuri explicate

1. Câți divizori pozitivi are 240? Descompunerea este $2^4\cdot3\cdot5$, deci totalul este $5\cdot2\cdot2=20$.

2. Câți divizori pozitivi are 81? Deoarece $81=3^4$, există cinci: puterile lui 3 de la exponentul zero la exponentul patru.

3. Câți divizori pozitivi ai lui 100 sunt pătrate perfecte? Din $100=2^2\cdot5^2$, alegi exponentul 0 sau 2 pentru fiecare factor. Rezultă patru: 1, 4, 25 și 100.

4. Este adevărat că un număr mai mare are mereu mai mulți divizori? Nu. Numărul prim 101 are doi, în timp ce 100 are nouă. Mărimea numărului nu stabilește singură numărul divizorilor.

Dacă listele și formula dau rezultate diferite, un profesor de matematică poate urmări cu tine exact pasul unde ai omis exponentul zero sau ai repetat o pereche.

Întrebări frecvente

Număr și 1 printre divizori?

Da, când se cer divizorii pozitivi. Numărul 1 divide orice număr natural nenul.

Adun exponenții sau înmulțesc alegerile?

Adaugi 1 separat la fiecare exponent, apoi înmulțești rezultatele. Suma exponenților nu numără combinațiile posibile.

Formula îmi spune și care sunt divizorii?

Îți spune câți sunt. Pentru listare, construiești produsele puterilor prime permise, fără să depășești exponenții din descompunerea inițială.

Sursă pentru metoda de numărare: NRICH, Counting Factors. Numerele, tabelul, subcategoriile și problemele rezolvate de aici sunt dezvoltate pentru acest articol.