Formule derivate: tabel, reguli de derivare și exemple

Un tabel cu formule derivate este primul lucru pe care îl cauți când începi analiza matematică, în clasa a XI-a. Vestea bună: tabelul este scurt, iar regulile de derivare sunt doar patru. Cu ele poți deriva orice funcție din programa de liceu. Vestea mai puțin bună: la Bacalaureat nu se punctează tabelul, ci felul în care îl aplici, iar greșelile apar aproape mereu la produs, la cât și la funcțiile compuse. Mai jos găsești tabelul, regulile și exemple rezolvate pas cu pas.

Pe scurt:

• Derivata unei funcții într-un punct este panta tangentei la grafic în acel punct.

• Puterea: (x^n)' = n · x^(n − 1). De exemplu, (x³)' = 3x².

• Produsul: (f · g)' = f' · g + f · g'.

• Câtul: (f / g)' = (f' · g − f · g') / g².

• Funcția compusă: derivezi „exteriorul” și înmulțești cu derivata „interiorului”.

Ce este derivata?

Derivata măsoară cât de repede se schimbă o funcție. Geometric, derivata funcției f în punctul x₀ este panta tangentei la grafic în acel punct. Fizic, derivata distanței în raport cu timpul este viteza.

Definiția folosește o limită: f'(x₀) este limita raportului (f(x) − f(x₀)) / (x − x₀), când x tinde la x₀. În practică, definiția se folosește rar. Aproape toate exercițiile se rezolvă cu tabelul și cu regulile de mai jos.

Care sunt derivatele funcțiilor elementare?

Constante și puteri:

• c' = 0, pentru orice constantă c

• x' = 1

• (x^n)' = n · x^(n − 1)

• (√x)' = 1 / (2√x)

• (1 / x)' = −1 / x²

Exponențiale și logaritmi:

• (e^x)' = e^x

• (a^x)' = a^x · ln a

• (ln x)' = 1 / x

• (log_a x)' = 1 / (x · ln a)

Funcții trigonometrice:

• (sin x)' = cos x

• (cos x)' = −sin x

• (tg x)' = 1 / cos² x

• (ctg x)' = −1 / sin² x

Funcții trigonometrice inverse:

• (arcsin x)' = 1 / √(1 − x²)

• (arccos x)' = −1 / √(1 − x²)

• (arctg x)' = 1 / (1 + x²)

• (arcctg x)' = −1 / (1 + x²)

Observă un tipar care te ajută la memorare: funcțiile care încep cu „co”, adică cos, ctg, arccos și arcctg, au derivata cu minus.

Care sunt regulile de derivare?

1. Suma și diferența: (f ± g)' = f' ± g'

2. Constanta iese în față: (c · f)' = c · f'

3. Produsul: (f · g)' = f' · g + f · g'

4. Câtul: (f / g)' = (f' · g − f · g') / g²

Exemple rezolvate cu regulile de bază

Exemplul 1, un polinom. f(x) = x³ − 4x² + 5x − 7

Derivezi termen cu termen: f'(x) = 3x² − 8x + 5. Constanta −7 are derivata 0.

Exemplul 2, un produs. f(x) = x² · e^x

• f'(x) = (x²)' · e^x + x² · (e^x)'

• f'(x) = 2x · e^x + x² · e^x

• f'(x) = x · e^x · (x + 2)

Exemplul 3, un cât. f(x) = (x + 1) / (x − 2)

• numărătorul: (x + 1)' · (x − 2) − (x + 1) · (x − 2)' = (x − 2) − (x + 1) = −3

• f'(x) = −3 / (x − 2)²

Exemplul 4, un cât cu logaritm. f(x) = ln x / x

• numărătorul: (1 / x) · x − ln x · 1 = 1 − ln x

• f'(x) = (1 − ln x) / x²

Cum derivezi o funcție compusă?

O funcție compusă are o funcție „în interiorul” alteia: în (2x + 1)⁵, interiorul este u = 2x + 1, iar exteriorul este puterea a cincea. Regula: derivezi exteriorul, păstrând interiorul neschimbat, apoi înmulțești cu derivata interiorului.

Tabelul se rescrie cu u în loc de x:

• (u^n)' = n · u^(n − 1) · u'

• (√u)' = u' / (2√u)

• (e^u)' = e^u · u'

• (ln u)' = u' / u

• (sin u)' = cos u · u'

• (cos u)' = −sin u · u'

Exemplul 5. f(x) = (2x + 1)⁵. Atunci f'(x) = 5 · (2x + 1)⁴ · 2 = 10 · (2x + 1)⁴.

Exemplul 6. f(x) = e^(3x). Atunci f'(x) = 3 · e^(3x).

Exemplul 7. f(x) = ln(x² + 1). Atunci f'(x) = 2x / (x² + 1).

Exemplul 8. f(x) = √(x² + 4). Atunci f'(x) = 2x / (2√(x² + 4)) = x / √(x² + 4).

Exemplul 9. f(x) = sin(2x). Atunci f'(x) = 2 · cos(2x).

La ce folosește derivata?

Monotonia. Dacă f'(x) > 0 pe un interval, funcția este crescătoare pe acel interval. Dacă f'(x) < 0, este descrescătoare.

Punctele de extrem. Se caută printre soluțiile ecuației f'(x) = 0. Dacă derivata își schimbă semnul din minus în plus, punctul este de minim. Din plus în minus, este de maxim.

Exemplu: f(x) = x² − 4x + 3.

• f'(x) = 2x − 4

• f'(x) = 0 pentru x = 2

• pentru x < 2, derivata este negativă, iar pentru x > 2 este pozitivă

• deci x = 2 este punct de minim, iar valoarea minimă este f(2) = −1

Ecuația tangentei la grafic în punctul de abscisă x₀ este y − f(x₀) = f'(x₀) · (x − x₀).

Exemplu: f(x) = x², în x₀ = 1.

• f(1) = 1 și f'(x) = 2x, deci f'(1) = 2

• y − 1 = 2 · (x − 1)

• y = 2x − 1

Care sunt greșelile cele mai frecvente?

1. Produsul derivat „pe bucăți”. (f · g)' nu este f' · g'. Pentru x² · e^x, răspunsul nu este 2x · e^x.

2. Derivata interiorului uitată. (e^(3x))' nu este e^(3x), ci 3 · e^(3x).

3. Exponențiala tratată ca putere. (e^x)' este e^x, nu x · e^(x − 1). Regula puterii se aplică doar când variabila este la bază, nu la exponent.

4. Semnul la cosinus. (cos x)' = −sin x.

5. Ordinea la cât. La numărător, primul termen este f' · g, nu f · g'. Iar numitorul se ridică la pătrat.

6. Constantele. (ln 2)' = 0 și (e²)' = 0, pentru că sunt numere, nu funcții de x. În schimb, (5x)' = 5.

7. Derivata nesimplificată. Pentru studiul semnului, derivata trebuie adusă la o formă din care semnul se citește ușor: factor comun, fracție cu numitor pozitiv.

Unde apar la Bacalaureat?

Derivatele se cer la subiectul al III-lea, de regulă în prima problemă, la programele de matematică-informatică, științe ale naturii și tehnologic. Cerințele tipice:

• calculează f'(x) sau arată că f'(x) are o anumită formă;

• determină intervalele de monotonie și punctele de extrem;

• scrie ecuația tangentei la grafic într-un punct dat;

• demonstrează o inegalitate, folosind monotonia sau valoarea minimă.

Prima cerință este aproape întotdeauna un calcul direct, cu formule și reguli. Sunt cele mai accesibile puncte de la subiectul al III-lea.

Cum le înveți?

• scrie tabelul din memorie, în fiecare zi, o săptămână. Durează trei minute;

• 20 de derivări simple, apoi 20 cu produs și cât, apoi 20 cu funcții compuse;

• verifică-ți răspunsul derivând altfel: (x + 1)² se poate deriva ca funcție compusă sau după ce desfaci paranteza;

• lucrează subiectul al III-lea din variantele oficiale, măcar prima cerință din fiecare.

Un plan pe tot anul găsești în articolul despre strategia de pregătire pentru BAC.

Dacă regulile sunt clare, dar te încurci la funcțiile compuse sau la studiul semnului, un profesor îți arată unde se rupe firul. Pe pagina de meditații la matematică vezi anunțurile profesorilor, cu preț și durată, iar pe pagina de meditații pentru BAC compari profilurile. Pe Hola25 poți rezerva o lecție de probă de 25 sau 50 de minute, cu prețul afișat înainte de plată. Lecția are loc în sala de lecții Hola25, pe o tablă comună. Anunțurile sunt publicate de profesori, iar platforma nu le verifică studiile sau experiența declarată.

Întrebări frecvente

Cât este derivata unei constante?

Zero. O constantă nu se schimbă, deci viteza ei de variație este nulă. De exemplu, (7)' = 0 și (ln 2)' = 0.

Care este derivata lui x la puterea n?

n · x^(n − 1). Exponentul coboară în față, iar puterea scade cu 1. De exemplu, (x⁴)' = 4x³.

Cum se derivează un produs de funcții?

Cu regula (f · g)' = f' · g + f · g'. Derivezi pe rând fiecare factor, păstrându-l pe celălalt neschimbat, și aduni.

Ce este o funcție compusă?

O funcție aplicată peste altă funcție, de exemplu ln(x² + 1) sau e^(3x). Se derivează exteriorul, apoi se înmulțește cu derivata interiorului.

În ce clasă se învață derivatele?

În clasa a XI-a, la analiză matematică. La Bacalaureat se cer la subiectul al III-lea.