Numere triunghiulare: formulă și exemple

Al n-lea număr triunghiular este suma numerelor naturale de la unu la n și are formula $T_n=n(n+1)/2$. El numără obiectele așezate pe rânduri cu unu, doi, trei și așa mai departe până la n obiecte. Primele valori pozitive sunt 1, 3, 6, 10, 15 și 21.

Pentru opt rânduri, ultimul având opt obiecte, ai 36 de obiecte în total. Numărul opt reprezintă rândurile, iar 36 reprezintă totalul. Confundarea acestor două cantități este una dintre sursele obișnuite de eroare.

De ce se numesc numere triunghiulare?

Așază un jeton pe primul rând, două pe al doilea și trei pe al treilea. Continuă aliniind rândurile astfel încât să formeze o figură triunghiulară. La trei rânduri ai șase jetoane; la patru rânduri adaugi încă patru și ajungi la zece.

Forma desenului ilustrează numărătoarea, dar nu stabilește o arie măsurată în centimetri pătrați. Jetoanele sunt obiecte distincte. Nu ai nevoie de lungimea unei laturi sau de formula ariei triunghiului pentru a le număra.

Un rând suplimentar aduce un număr de obiecte cu unu mai mare decât rândul anterior. De aceea diferențele dintre numerele triunghiulare sunt 2, 3, 4, 5 și așa mai departe. Diferențele cresc; totalurile nu formează o progresie aritmetică.

Cum obții formula prin două copii ale desenului?

Desenează rânduri cu unu până la cinci pătrățele. Alături așază o copie întoarsă, astfel încât un rând cu un pătrățel să se completeze cu unul de cinci, un rând cu două cu unul de patru și așa mai departe.

Împreună, cele două copii formează un dreptunghi cu cinci rânduri și șase pătrățele pe fiecare rând. Dreptunghiul conține 30 de pătrățele. O singură copie conține jumătate, adică 15.

Pentru n rânduri, dreptunghiul are n rânduri a câte n plus unu pătrățele. Prin urmare, două copii au $n(n+1)$ obiecte, iar una are $n(n+1)/2$. Împărțirea la doi apare pentru că ai numărat două copii identice.

Nu împarți la doi fiindcă „orice triunghi este jumătate de dreptunghi”, fără să precizezi construcția. Argumentul de aici se referă la o așezare discretă, în care cele două copii se potrivesc exact, fără goluri și fără suprapuneri.

Cum verifici formula cu o sumă scrisă în două sensuri?

Scrie suma de la unu la șase și, dedesubt, aceeași sumă de la șase la unu. Pe fiecare coloană obții șapte. Există șase coloane, deci cele două sume au împreună 42. O singură sumă este 21.

Aceeași idee funcționează indiferent dacă numărul termenilor este par sau impar. Ai dublat întreaga sumă, așa că nu rămâne un termen central netratat. Pentru n termeni, fiecare coloană are suma n plus unu.

Dacă preferi să lucrezi într-un singur rând, la un număr impar de termeni trebuie să păstrezi separat mijlocul. Metoda cu două rânduri evită această separare, iar rezultatul este identic. Alegi prezentarea pe care o poți explica fără să pierzi un termen.

Pentru a urmări corect produsul și împărțirea, poți revedea ordinea operațiilor. Paranteza n plus unu trebuie calculată înainte să tratezi numărătorul ca produs complet.

Cum calculezi fără numere intermediare prea mari?

Pentru 24 de rânduri, formula dă $24\cdot25/2$. Împarte întâi 24 la doi și calculează $12\cdot25=300$. Ai același rezultat, cu un produs intermediar mai mic.

Pentru 25 de rânduri, împarte 26 la doi și calculează $25\cdot13=325$. Dintre două numere consecutive, unul este par, deci unul dintre factori se împarte exact la doi.

Acest lucru explică și de ce rezultatul formulei este întotdeauna întreg. Nu trebuie să accepți un total de jetoane cu zecimale și nici să rotunjești. Dacă ai obținut o jumătate de jeton, verifică înlocuirea sau calculul produsului.

Diferența dintre cele două totaluri este 25. Ea corespunde exact rândului nou adăugat când treci de la 24 la 25 de rânduri. Aceasta este o verificare independentă a calculelor.

Cum afli numărul rândurilor din total?

Ai 91 de jetoane și vrei o așezare completă, cu rânduri de la unu în sus. Cauți două numere consecutive al căror produs este $2\cdot91=182$. Perechea este 13 și 14, deci ai 13 rânduri.

Controlul înainte dă $13\cdot14/2=91$. Nu alegi 14 ca număr de rânduri: factorii reprezintă n și n plus unu, iar primul este cel mai mic.

Pentru un total de 92, aceeași vecinătate arată că nu există o așezare completă. Treisprezece rânduri cer 91 de jetoane, iar paisprezece cer 105. Un jeton suplimentar începe rândul următor, dar nu îl completează.

Nu forța orice total într-un număr întreg de rânduri. Întrebarea poate cere chiar restul nefolosit sau câte obiecte mai lipsesc pentru rândul următor.

Există un test algebric pentru un total triunghiular?

Din egalitatea $N=n(n+1)/2$ rezultă $8N+1=(2n+1)^2$. Așadar, pentru un număr întreg nenegativ N, expresia opt N plus unu trebuie să fie un pătrat perfect impar.

Pentru 91, obții $8\cdot91+1=729=27^2$. Atunci $2n+1=27$, deci n este 13. Pentru 92, obții 737, care se află între pătratele lui 27 și 28. Numărul 92 nu este triunghiular.

Testul este o alternativă la încercarea produselor consecutive. Nu îl folosi însă fără explicația relației: simpla apariție a unui pătrat perfect nu arată cititorului de unde vine numărul opt.

Cum afli rândul în care se află un jeton numerotat?

Numerotează jetoanele în ordine, rând după rând. Ultimul număr de pe rândul n este $T_n$. Primul de pe același rând este cu unu mai mare decât totalul rândurilor precedente.

Unde se află jetonul cu numărul 50? Nouă rânduri complete conțin 45 de jetoane, iar zece conțin 55. Prin urmare, jetonul 50 este pe rândul al zecelea, pe poziția a cincea în acel rând.

Nu împarți 50 la zece ca să deduci rândul. Rândurile nu au aceeași lungime. Cauți două totaluri triunghiulare consecutive între care se află poziția. Acest control se potrivește cu metoda de verificare a calculelor, prin încadrare înaintea rezultatului exact.

Ce relație au două numere triunghiulare consecutive cu pătratele?

Numărul de obiecte din primele n rânduri, adunat cu numărul din primele n minus unu rânduri, este $n^2$. Algebric, aduni $n(n+1)/2$ și $n(n-1)/2$, iar termenii cu semne opuse se anulează.

De exemplu, 36 și 28 însumează 64, adică opt la pătrat. Relația poate fi văzută și prin două așezări care completează un pătrat. Ea oferă un alt control pentru valorile vecine din tabel.

Dacă un desen nu te convinge, arată-l unui profesor din anunțurile pentru meditații la matematică și explică ce numără fiecare regiune. Legătura dintre figură și formulă trebuie să fie explicită.

Exerciții cu răspunsuri explicate

1. Câte obiecte au 12 rânduri triunghiulare? 78, din produsul 12 ori 13 împărțit la doi.
2. Câte rânduri complete dau 120 de obiecte? 15, deoarece 15 ori 16 este 240.
3. Cu 122 de obiecte, câte rămân după construirea a 15 rânduri? Două.
4. Unde se află jetonul 80? Pe rândul 13, poziția a doua, fiindcă primele 12 rânduri se termină la 78.

Întrebări frecvente

Zero poate fi număr triunghiular?

Da, dacă folosești convenția $T_0=0$, pentru o așezare fără rânduri. Lista pozitivă începe cu unu.

Unde pot explora demonstrația vizuală?

NRICH prezintă așezări pentru numere triunghiulare. Dimensiunile și problemele inverse de aici sunt construite separat.