Funcția inversă la BAC: domeniu și bijectivitate

Pentru a găsi funcția inversă, nu este suficient să izolezi x într-o formulă. Funcția inițială trebuie să fie bijectivă între domeniul și codomeniul precizate. Inversa primește valorile funcției inițiale și întoarce argumentele care le-au produs, astfel că cele două mulțimi își schimbă rolurile.

Lecția tratează inversarea funcțiilor prin formule și restricții de domeniu, pentru pregătirea BAC la profilele care includ acest conținut. Exemplele sunt originale și arată de ce aceeași expresie poate admite o inversă pe un interval, dar nu pe întreaga axă reală.

Ce trebuie verificat înainte de calcul?

O funcție este injectivă dacă intrări distincte nu produc aceeași valoare. Este surjectivă pe codomeniul declarat dacă fiecare element al acelui codomeniu este atins. Când ambele proprietăți sunt îndeplinite, fiecare valoare de ieșire are exact un argument asociat.

Inversa trebuie să fie o funcție, deci nu poate atribui aceleiași intrări două răspunsuri diferite. De aceea injectivitatea este necesară. Nu poate nici să lase fără răspuns un element din domeniul ei, ceea ce explică rolul surjectivității funcției inițiale.

Poți uneori alege codomeniul egal cu imaginea funcției și restrânge domeniul pentru injectivitate. Dar trebuie să spui explicit ce funcție inversezi. Modificarea mulțimilor fără menționare schimbă obiectul problemei.

Exemplu liniar: formulele și mulțimile

Fie f:R→R, f(x)=3x−5. Funcția este strict crescătoare, deci injectivă, iar orice y real se poate scrie ca 3x−5 alegând x=(y+5)/3. Prin urmare, este și surjectivă pe R.

Scriem y=3x−5 și izolăm x=(y+5)/3. Formula inversei este f⁻¹(y)=(y+5)/3. Putem redenumi variabila de intrare și scrie f⁻¹(x)=(x+5)/3, cu domeniul și codomeniul tot R.

Verificăm ambele compuneri: aplicarea lui f după inversă dă 3·((x+5)/3)−5=x, iar aplicarea inversei după f dă ((3x−5)+5)/3=x. Aceste calcule arată că fiecare funcție o anulează pe cealaltă pe domeniile potrivite.

Inversa nu este reciprocul valorii

Notația f⁻¹ desemnează aici funcția inversă față de compunere. Nu înseamnă 1/f(x). Pentru funcția 3x−5, inversa este (x+5)/3, în timp ce reciprocul este 1/(3x−5), definit numai când x≠5/3.

Cele două operații au scopuri diferite. Inversa recuperează intrarea din ieșire; reciprocul transformă numeric o valoare nenulă în inversul ei multiplicativ. Verificarea prin compunere identifică sensul corect al notației.

La citirea cerinței, observă dacă se vorbește despre bijectivitate, domeniu și compunere sau despre un raport de funcții. Nu lăsa exponentul minus unu să ascundă diferența dintre operații.

De ce pătratul nu are inversă pe toată axa?

Funcția f:R→[0,+∞), f(x)=x², este surjectivă pe codomeniul indicat, dar nu este injectivă. De exemplu, doi și minus doi au aceeași imagine, patru. O inversă ar trebui să aleagă două intrări pentru aceeași valoare patru, ceea ce nu ar mai fi o funcție.

Dacă restrângem domeniul la [0,+∞), funcția devine bijectivă pe [0,+∞), iar inversa este radicalul pătrat. Dacă restrângem domeniul la (−∞,0], inversa este opusul radicalului pătrat.

Funcția inițială	Inversa
x² de la [0,+∞) la [0,+∞)	√x
x² de la (−∞,0] la [0,+∞)	−√x
x² de la R la [0,+∞)	Nu are inversă ca funcție

Semnul ales la extragerea radicalului este determinat de domeniul inițial. Nu scrii „plus sau minus” în formula unei inverse care trebuie să dea o singură valoare pentru fiecare intrare.

O funcție fracționară

Considerăm f(x)=(2x+1)/(x−3), cu domeniul R fără trei. Rescrierea f(x)=2+7/(x−3) arată că valoarea doi nu este niciodată atinsă. Alegem codomeniul R fără doi și verificăm că fiecare valoare de acolo are o preimagine unică.

Din y=(2x+1)/(x−3) obținem yx−3y=2x+1, deci (y−2)x=3y+1. Pentru y≠2 rezultă x=(3y+1)/(y−2). Această valoare nu poate fi trei: egalitatea cu trei ar implica 3y+1=3y−6, imposibil.

Formula inversei este astfel f⁻¹(x)=(3x+1)/(x−2), definită pe R fără doi și cu valori în R fără trei. Calculul oferă simultan existența și unicitatea preimaginii, deci justifică bijectivitatea pe mulțimile alese.

Verificarea pe valori și prin compunere

Pentru funcția fracționară, f(0)=−1/3. Inversa aplicată lui −1/3 trebuie să întoarcă zero; numărătorul ei devine zero și numitorul este nenul. Pentru f(4)=9, inversa lui nouă este (27+1)/7=4.

Aceste exemple verifică două perechi, dar nu demonstrează singure inversarea pentru toate valorile. Demonstrația generală vine din rezolvarea unică a ecuației pentru orice y admis sau din simplificarea compunerilor pe domeniile corespunzătoare.

Pentru a înțelege inversarea, notează perechile intrare–ieșire pe două coloane. Inversa schimbă ordinea în fiecare pereche, păstrând obligația ca aceeași intrare să aibă o singură ieșire.

Legătura cu graficul

Dacă punctul (a,b) aparține graficului funcției inițiale, punctul (b,a) aparține graficului inversei. Cele două grafice sunt simetrice față de dreapta y=x, când inversa există.

Această proprietate poate verifica un punct sau un interval, dar nu transformă automat orice relație reflectată într-o funcție. Pentru pătratul pe toată axa, reflectarea parabolei produce două valori de ieșire pentru anumite intrări. Restricția domeniului elimină această ambiguitate.

La o funcție liniară crescătoare, inversa este tot crescătoare. La una strict descrescătoare și bijectivă, inversa este descrescătoare. Nu confunda schimbarea axelor cu schimbarea obligatorie a sensului monotoniei.

Dacă declari f:[0,+∞)→R, f(x)=x², funcția este injectivă, dar nu surjectivă pe R: valorile negative nu sunt atinse. Formula radicalului nu definește o inversă pe întregul codomeniu declarat. Pentru exemplul bijectiv din tabel, codomeniul trebuie să fie [0,+∞), adică imaginea efectivă. Schimbarea acestei mulțimi este o precizare matematică necesară, nu o modificare cosmetică a notației.

Exerciții cu răspunsuri

1. Pentru f:R→R, f(x)=5−2x, inversa este (5−x)/2. Funcția este descrescătoare, dar bijectivă; monotonia descrescătoare nu împiedică existența inversei.
2. Pentru f:[1,+∞)→[0,+∞), f(x)=(x−1)², inversa este 1+√x. Semnul plus este impus de x−1≥0 în domeniul inițial.
3. Pentru f:(−∞,1]→[0,+∞), cu aceeași formulă, inversa este 1−√x. Schimbarea domeniului schimbă ramura aleasă și, prin urmare, inversa.
4. Funcția constantă f:R→R, f(x)=7, nu are inversă. Mai multe intrări au aceeași ieșire, iar majoritatea valorilor din codomeniu nu sunt atinse.

Întrebări frecvente

O formulă inversată algebric demonstrează automat bijectivitatea?

Numai dacă arăți că pentru fiecare valoare din codomeniul declarat există exact o soluție în domeniul inițial. Verifică numitorii, radicalii și eventualele ramuri înainte să concluzionezi.

Domeniul inversei este domeniul funcției inițiale?

Nu în general. Domeniul inversei este codomeniul funcției bijective inițiale, iar codomeniul inversei este domeniul inițial. În exemplele de la R la R, coincid, ceea ce poate ascunde regula.

Cum verific pentru BAC?

Scrie mulțimile, inversează relația și controlează compunerile. Exersează pe subiecte BAC, iar pentru feedback pe alegerea ramurii poți compara anunțuri de matematică, prezentând și domeniul declarat.