Progresie aritmetică la BAC: probleme cu sume date

Când un exercițiu de BAC oferă sume ale unei progresii aritmetice, poți recupera termenii și rația fără să ghicești șirul. Diferența dintre două sume consecutive dă un termen, iar formula sumei transformă datele în ecuații pentru primul termen și rație. Contează să deosebești numărul termenilor de indicele ultimului termen dintr-un segment.

Lecția este un atelier despre folosirea sumelor date, cu exemple originale pentru recapitularea progresiilor aritmetice. Notăm primul termen cu a₁, rația cu r și suma primilor n termeni cu Sₙ. Indicii sunt numere naturale pozitive.

Ce reprezintă Sₙ?

Sₙ este a₁+a₂+…+aₙ. În schimb, aₙ este numai ultimul termen din această sumă. Dacă problema spune S₄=20, nu rezultă că a₄ este douăzeci; știm doar totalul primilor patru termeni.

Pentru o progresie aritmetică, aₙ=a₁+(n−1)r și Sₙ=n(2a₁+(n−1)r)/2. Formula sumei se poate scrie și n(a₁+aₙ)/2. Alegerea formei depinde de datele pe care vrei să le folosești.

Dacă ai două sume cu indici cunoscuți, forma în a₁ și r produce de obicei un sistem de două ecuații liniare. Dacă ai două sume consecutive, diferența lor oferă imediat termenul nou adăugat.

Exemplu: două sume determină progresia

Se dau S₄=20 și S₆=42. Prima relație devine 4(2a₁+3r)/2=20, deci 2a₁+3r=10. A doua devine 6(2a₁+5r)/2=42, deci 2a₁+5r=14.

Scădem ecuațiile și obținem 2r=4, deci r=2. Înlocuind în prima, avem 2a₁+6=10 și a₁=2. Progresia este doi, patru, șase, opt, zece, doisprezece și așa mai departe.

Verificăm ambele date: primii patru termeni însumează douăzeci, iar primii șase însumează patruzeci și doi. Verificarea unei singure sume nu ar confirma întregul sistem; am putea satisface o ecuație și să o fi copiat greșit pe cealaltă.

Din progresia recuperată putem calcula orice termen. De exemplu, a₁₀=2+9·2=20, iar S₁₀=10(2+20)/2=110. Acești doi de douăzeci, S₄ și a₁₀, au semnificații diferite chiar dacă valorile coincid.

Diferența sumelor consecutive

Pentru n≥2, aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁. Toți termenii anteriori se anulează la scădere și rămâne numai cel cu indicele n. Primul termen este separat a₁=S₁.

Dacă S₅=35 și S₄=24, rezultă a₅=11. Această diferență identifică termenul, nu rația. Pentru rație folosim încă o relație, de exemplu formula sumei S₄ deja date; cele două sume pot determina împreună progresia.

Folosind numai cele două sume, avem a₁+4r=11 și 2a₁+3r=12. Dublăm prima relație și scădem a doua: cinci rații însumează zece, deci rația este doi. Primul termen este trei, iar ambele date inițiale sunt suficiente.

O altă cale, dacă mai știm și S₃=15, obținem a₄=24−15=9, deci r=a₅−a₄=2. Primul termen este a₄−3r=3. Șirul trei, cinci, șapte, nouă, unsprezece verifică toate cele trei sume.

Când suma este dată prin formulă

Presupunem că Sₙ=n²+2n pentru fiecare n pozitiv. Avem S₁=3, deci a₁=3. Pentru n≥2, calculăm diferența dintre n²+2n și (n−1)²+2(n−1).

Expresia a doua se simplifică la n²−1. Diferența este 2n+1, deci aₙ=2n+1. Formula dă și a₁=3, astfel că este valabilă pentru toți indicii pozitivi.

Diferența aₙ₊₁−aₙ este doi, independentă de n. Am demonstrat că șirul este progresie aritmetică, cu rația doi. Nu este suficient să verifici numai primii trei termeni când formula pretinde o proprietate pentru orice indice.

De ce suma pătratică produce termeni liniari?

În cazul Sₙ=An²+Bn, diferența sumelor consecutive este 2An+(B−A). Diferența dintre doi termeni consecutivi este 2A, deci rația este constantă. Primul termen este A+B.

Formula nu conține termen constant deoarece S₀, suma niciunui termen, se interpretează ca zero. Dacă primești o formulă numai pentru n pozitiv care include o constantă, trebuie să verifici separat primul termen și compatibilitatea cu rația ulterioară.

De exemplu, Sₙ=n²+1 pentru n≥1 dă a₁=2, iar pentru n≥2 dă aₙ=2n−1. Primii termeni sunt doi, trei, cinci și șapte. Diferențele nu sunt toate egale, deci întregul șir nu este progresie aritmetică.

Această excepție este utilă pentru învățarea prin înțelegere: formula diferenței se aplică între sume pentru care definiția este validă. Primul indice poate necesita un control propriu.

Suma unui segment de termeni

Suma de la aₚ la a_q, cu p≤q, conține q−p+1 termeni. Ea este S_q−Sₚ₋₁ sau, direct, (q−p+1)(aₚ+a_q)/2. Cele două metode trebuie să dea același rezultat.

În progresia aₙ=2n, suma de la a₄ la a₉ are șase termeni, nu cinci și nu nouă. Primul este opt, ultimul este optsprezece, iar suma este 6·(8+18)/2=78.

Prin diferența sumelor, S₉=90 și S₃=12, deci obținem tot 78. Observă că scădem S₃, nu S₄: vrem să păstrăm termenul cu indicele patru în suma cerută.

Aflarea numărului de termeni

În progresia aₙ=2n, presupunem Sₙ=110. Formula sumei este n(n+1), deci rezolvăm n²+n−110=0. Rădăcinile sunt zece și minus unsprezece.

Indicele trebuie să fie natural pozitiv, așa că rămâne n=10. Nu raportăm rădăcina negativă drept a doua variantă. Ecuația algebrică este un instrument, iar semnificația lui n selectează răspunsul admis.

Dacă rădăcina pozitivă nu ar fi întreagă, nu ar exista un număr de termeni care să dea exact suma cerută. Rotunjirea indicelui ar schimba totalul și nu ar rezolva ecuația inițială.

Exerciții cu răspunsuri

1. Pentru Sₙ=3n²−n, primul termen este doi, iar termenul general este 6n−4. Rația este șase, deoarece diferența a două expresii consecutive este constantă.
2. Dacă S₃=12 și S₅=30, relațiile sunt 2a₁+2r=8 și 2a₁+4r=12. Rezultă r=2 și a₁=2, iar sumele se verifică prin șirul doi, patru, șase, opt, zece.
3. În progresia aₙ=3n−1, suma termenilor de la indicele trei la șapte are cinci termeni, cu extremele opt și douăzeci. Totalul este șaptezeci.
4. Dacă S₆=48 și S₅=35, atunci a₆=13. Aceste două date singure nu spun că rația este treisprezece; ele identifică termenul nou adăugat, nu diferența dintre doi termeni.

Întrebări frecvente

De ce scad suma până la p minus unu?

Pentru că suma până la q conține și termenii pe care îi păstrezi. Eliminarea numai a celor dinainte de p lasă segmentul dorit, inclusiv primul lui termen.

Orice formulă pătratică a sumei dă o progresie aritmetică?

Forma An²+Bn, compatibilă cu suma inițială zero, produce această proprietate. Dacă apare un termen constant și formula este dată numai pentru indici pozitivi, verifică separat primul pas; exemplul din lecție arată de ce.

Cum exersez pentru BAC?

Tradu datele despre sume în ecuații înainte să calculezi termenii. Lucrează pe subiecte BAC, iar pentru feedback pe indici poți consulta anunțuri de matematică, prezentând și verificarea sumelor inițiale.