Progresie geometrică la BAC: două rații posibile

Într-o progresie geometrică, doi termeni aflați la un număr par de pași pot determina două rații opuse. Alegerea rației pozitive fără justificare poate pierde o progresie validă. Dacă enunțul impune termeni pozitivi, acea informație selectează cazul; dacă nu, trebuie analizate ambele semne.

Lecția este un atelier de pregătire BAC despre rație, indici și sume în două cazuri. Folosim progresii geometrice cu termeni nenuli, astfel că rația q este nenulă și rapoartele dintre termeni sunt definite. Indicii încep de la unu.

Relația dintre doi termeni

Dacă bₙ=b₁qⁿ⁻¹, atunci pentru doi indici p<r avem b_r=bₚqʳ⁻ᵖ. Între acești termeni sunt r−p înmulțiri cu rația. Diferența indicilor stabilește puterea lui q.

De la b₂ la b₄ sunt două înmulțiri, nu trei: b₃=b₂q și b₄=b₃q=b₂q². De la b₂ la b₅ sunt trei înmulțiri. Scrierea pașilor explică exponentul și previne folosirea numărului de termeni în locul numărului de treceri.

După împărțirea la bₚ, obții o ecuație de forma qᵏ=b_r/bₚ. Dacă k este par și raportul este pozitiv, pot exista două rații reale opuse. Dacă k este impar, există o singură rădăcină reală pentru un raport real nenul.

Exemplul principal: două progresii posibile

Se dau b₂=6 și b₄=24. Relația este b₄=b₂q², deci q²=4. Avem două posibilități: q=2 sau q=−2.

Pentru q=2, primul termen este b₁=b₂/q=3. Primii patru termeni sunt trei, șase, doisprezece, douăzeci și patru. Pentru q=−2, primul termen este minus trei, iar termenii sunt minus trei, șase, minus doisprezece, douăzeci și patru.

Ambele progresii respectă exact valorile date la indicii doi și patru. Termenii cu indici impari diferă prin semn, în timp ce termenii cu indici pari coincid. Datele nu disting aceste două situații fără o condiție suplimentară.

Rație	Primul termen	Al treilea termen	Suma primilor patru
2	3	12	45
−2	−3	−12	15

Tabelul arată că suma nu este determinată unic de cei doi termeni dați. Dacă se cere suma și nu există altă restricție, răspunsul trebuie să prezinte ambele valori, cu rația corespunzătoare.

Ce condiție selectează rația pozitivă?

Dacă enunțul spune că toți termenii sunt pozitivi, raportul a doi termeni consecutivi este pozitiv. În exemplul nostru, numai q=2 este admis. Condiția b₁>0 ar selecta același caz, deoarece celălalt are primul termen negativ.

În schimb, simpla informație că b₂ și b₄ sunt pozitive nu exclude o rație negativă. La două înmulțiri cu un număr negativ, semnul revine la cel inițial. Acesta este motivul pentru care observația despre cei doi termeni nu poate înlocui condiția asupra întregii progresii.

Dacă se cere o progresie strict crescătoare, trebuie analizate și semnul primului termen, și rația. Nu folosi automat regula „q>1 înseamnă crescătoare” fără să verifici semnul termenilor: pentru un prim termen negativ, înmulțirea cu doi produce valori din ce în ce mai mici.

Diferența impară a indicilor

Se dau b₂=6 și b₅=−48. Avem q³=−8, deci q=−2, unica rație reală. Primul termen este minus trei, iar șirul începe minus trei, șase, minus doisprezece, douăzeci și patru, minus patruzeci și opt.

Nu introducem și rația pozitivă doi, deoarece cubul ei este opt, nu minus opt. La putere impară, semnul rezultatului coincide cu semnul bazei, astfel că raportul negativ determină rația negativă.

Pentru b₂=6 și b₅=48, aceeași diferență de indici conduce la q³=8 și q=2. Cele două exemple diferă numai prin semnul ultimului termen, iar această schimbare decide semnul rației.

Când datele nu pot forma o progresie reală?

Dacă b₂=6 și b₄=−24, relația ar fi q²=−4. Niciun număr real nu are pătratul negativ, deci nu există progresia geometrică reală cerută.

Nu schimba semnul unui termen pentru a obține o rație. Poți folosi exemplul pentru un control rapid: într-o progresie cu rație reală nenulă, termenii aflați la un număr par de pași au același semn.

Această regulă se deduce din puterea pară a rației și ilustrează învățarea prin înțelegere. Nu este o condiție suplimentară inventată pentru un exercițiu, ci o consecință a definiției.

Cum calculezi suma cu rație negativă?

Formula Sₙ=b₁(qⁿ−1)/(q−1) rămâne valabilă pentru q negativ, deoarece singura valoare exclusă de numitor este unu. Păstrează parantezele când ridici o rație negativă la putere.

Pentru b₁=−3, q=−2 și n=4, avem q⁴=16, iar suma este (−3)(16−1)/(−3)=15. Calculul direct al celor patru termeni dă același rezultat: minus trei plus șase minus doisprezece plus douăzeci și patru.

Pentru n=5, q⁵=−32 și suma devine (−3)(−33)/(−3)=−33. Adăugarea celui de-al cincilea termen, minus patruzeci și opt, la suma anterioară cincisprezece produce tot minus treizeci și trei.

Cazurile unu și minus unu

Pentru q=1, toți termenii sunt egali cu primul, iar suma este n·b₁. Formula cu împărțire la q−1 nu se folosește, deoarece numitorul ar fi zero. Acest caz trebuie separat înainte de înlocuire.

Pentru q=−1, termenii alternează între b₁ și −b₁. O sumă cu număr par de termeni este zero, iar una cu număr impar de termeni este b₁. Poți demonstra prin gruparea termenilor în perechi opuse.

Diferența dintre cele două cazuri este importantă când datele produc q²=1. Atunci rațiile unu și minus unu sunt ambele posibile, dar comportamentul sumelor este foarte diferit. Condițiile enunțului decid dacă le păstrezi pe amândouă.

Exerciții cu răspunsuri

1. Dacă b₁=2 și b₃=18, rezultă q²=9, deci q=3 sau q=−3. Al doilea termen este șase sau minus șase, iar ambele șiruri respectă datele.
2. Dacă b₁=2, b₄=16 și rația este reală, atunci q³=8 și q=2. Nu există un al doilea caz negativ pentru această putere impară.
3. Pentru b₁=5 și q=−1, suma primilor zece termeni este zero, iar suma primilor unsprezece este cinci. Perechile consecutive se anulează.
4. Pentru b₂=4 și b₄=4, avem q²=1. Dacă q=1, primul termen este patru și S₄=16. Dacă q=−1, primul termen este minus patru și S₄=0.

Întrebări frecvente

Rația negativă este interzisă la progresii geometrice?

Nu în modelul cu termeni reali nenuli folosit aici. Ea produce alternarea semnelor. O condiție explicită de termeni pozitivi o poate exclude într-o anumită problemă.

Pot afla suma fără să aflu primul termen?

Uneori poți folosi un termen cunoscut pentru un segment al șirului. Dar pentru suma primilor n termeni trebuie să identifici începutul sau să folosești o formulă echivalentă care îl recuperează corect.

Cum verific la BAC?

Scrie primii termeni în fiecare caz și controlează indicii dați. Exersează pe subiecte BAC, iar pentru feedback asupra cazurilor de semn poți compara anunțurile de matematică, păstrând ambele variante până când o condiție le separă.