Numărare la BAC: numere cu cifre distincte

Pentru a număra numere cu cifre distincte la BAC, stabilești mai întâi cifrele disponibile, numărul pozițiilor și restricțiile fiecărei poziții. Prima cifră a unui număr cu mai multe cifre nu poate fi zero. Dacă ultima cifră are o condiție specială, poate fi mai simplu să o alegi înaintea primei.

Lecția folosește aceeași mulțime de cifre, {0,1,2,3,4}, pentru mai multe cerințe originale. Construim numere de trei cifre distincte, fără repetare. Nu numărăm coduri care pot începe cu zero și nu identificăm între ele numerele cu aceleași cifre în altă ordine.

Schema pozițiilor

Un număr de trei cifre are forma abc, unde a este cifra sutelor, b cifra zecilor și c cifra unităților. Valoarea lui este 100a+10b+c. Ordinea cifrelor contează: 123 și 321 sunt numere diferite.

Poziție	Restricție de bază
Sute	Cifră nenulă
Zeci	Orice cifră disponibilă, diferită de cea aleasă
Unități	Cifră diferită de primele două, plus eventual condiția cerută

Pentru fiecare alegere, elimină cifra folosită din lista disponibilă. Regula produsului se aplică atunci când numeri alegerile succesive, iar numărul continuărilor este justificat pentru fiecare etapă. Nu înmulți cifre fără să spui ce poziție reprezintă fiecare factor.

Câte numere se pot forma în total?

La sute avem patru opțiuni: unu, doi, trei sau patru. După alegerea sutelor, rămân patru cifre pentru zeci, inclusiv zero dacă nu a fost folosit, ceea ce este sigur aici deoarece prima cifră nu putea fi zero.

După primele două poziții, rămân trei cifre pentru unități. Totalul este 4·4·3=48. Fiecare număr este obținut o singură dată prin succesiunea alegerilor sale de sute, zeci și unități.

Calculul 5·4·3=60 ar număra și șirurile care încep cu zero. Dintre ele, 4·3=12 au zero pe prima poziție și două cifre distincte pe celelalte. Scăderea dă tot 48 și oferă o verificare printr-o metodă diferită.

Numere pare: de ce separăm zero de celelalte cifre?

Un număr este par dacă ultima cifră este zero, doi sau patru. Alegem mai întâi ultima poziție, deoarece are restricția de paritate. Dar cele trei alegeri nu lasă același număr de opțiuni pentru prima poziție.

Cazul unităților zero. La sute putem alege oricare dintre cele patru cifre nenule. La zeci rămân trei cifre. Rezultă 4·3=12 numere.

Cazul unităților doi sau patru. Avem două alegeri pentru unități. Pentru sute rămân numai trei cifre nenule, deoarece cifra unităților a consumat deja una. Pentru zeci rămân trei cifre, inclusiv zero. Rezultă 2·3·3=18 numere.

Totalul numerelor pare este 12+18=30. Cazurile sunt disjuncte, fiindcă un număr nu poate avea simultan ultima cifră zero și ultima cifră nenulă. Putem astfel aduna rezultatele fără dublare.

Verificare prin numerele impare

Unitățile unui număr impar pot fi unu sau trei, deci avem două alegeri. La sute rămân trei opțiuni nenule, iar la zeci trei cifre încă nefolosite. Rezultă optsprezece numere impare.

Cele treizeci de numere pare și cele optsprezece impare însumează patruzeci și opt, totalul calculat anterior. Acest control nu dovedește fiecare ramură separat, dar poate detecta o numărare incompatibilă cu împărțirea în par și impar.

O eroare frecventă este să presupui că jumătate dintre numere sunt pare. Mulțimea restrânsă a cifrelor și condiția asupra primei poziții nu asigură această simetrie. Calculul concret dă treizeci, nu douăzeci și patru.

Numere care conțin cifra zero

Deoarece cifrele sunt distincte, zero poate apărea cel mult o dată. Nu poate fi la sute, deci îl plasăm fie la zeci, fie la unități. Pentru fiecare poziție a lui zero, alegem patru sute posibile și trei cifre pentru cealaltă poziție.

Totalul este 2·4·3=24. Putem verifica prin complement: fără zero folosim numai cele patru cifre nenule, ceea ce dă 4·3·2=24 numere. Din totalul patruzeci și opt scădem aceste douăzeci și patru și obținem același rezultat.

Metoda complementului este convenabilă când „conține” se numără greu direct. Totuși, trebuie să scazi din aceeași mulțime de bază. Nu folosi drept total numere care admit repetări dacă evenimentul tău cere cifre distincte.

Numere mai mari decât trei sute

Cu cifrele disponibile, cifra sutelor trebuie să fie trei sau patru. Avem două alegeri, apoi patru opțiuni pentru zeci și trei pentru unități. Totalul este 2·4·3=24.

Numărul trei sute nu se poate forma cu cifre distincte, deoarece ar repeta zero. Prin urmare, în acest exemplu „mai mare decât trei sute” și „cel puțin trei sute” produc aceeași mulțime. Această coincidență trebuie verificată, nu presupusă pentru orice prag.

Dacă pragul ar fi 320, cifra sutelor trei ar necesita o analiză suplimentară a zecilor și unităților. Alegerea primei cifre nu ar decide singură comparația. Compararea numerelor se face poziție cu poziție, de la stânga la dreapta.

Cifre în ordine crescătoare sau descrescătoare

Pentru cifre strict crescătoare de la stânga la dreapta, zero nu poate fi inclus: ar trebui să fie prima cifră și numărul nu ar mai avea trei cifre. Alegem deci trei cifre dintre unu, doi, trei și patru.

Fiecare grup ales are o singură ordine crescătoare. Există patru grupuri și numerele sunt 123, 124, 134 și 234. Nu le mai înmulțim cu numărul permutărilor, deoarece ordinea este deja impusă.

Pentru ordine strict descrescătoare putem include zero, care va ajunge la sfârșit. Orice alegere de trei cifre dintre cele cinci produce un număr valid în ordinea descrescătoare. Sunt zece asemenea alegeri, deci zece numere.

Această diferență între patru și zece arată de ce înțelegerea restricțiilor contează înaintea formulei. Aceleași cifre disponibile nu implică rezultate simetrice când zero are un rol special.

Exerciții cu răspunsuri

1. Cu cifrele unu, doi, trei și patru, câte numere de trei cifre distincte se formează? Sunt 4·3·2=24, deoarece nu există restricția suplimentară a lui zero la prima poziție.
2. Din cifrele zero, unu, doi, trei și patru, câte numere de trei cifre distincte se termină în unu? La sute ai trei opțiuni nenule diferite de unu, iar la zeci trei opțiuni rămase. Totalul este nouă.
3. Din aceeași mulțime, câte numere de trei cifre distincte încep cu doi? Fixezi sutele, apoi ai patru alegeri pentru zeci și trei pentru unități. Totalul este doisprezece.
4. Câte coduri de trei poziții distincte se formează dacă zero este admis la început? Sunt 5·4·3=60. Cuvântul „cod” și permisiunea explicită schimbă restricția primei poziții.

Întrebări frecvente

Când adun și când înmulțesc?

Înmulțești alegerile succesive din același caz, după ce justifici opțiunile. Aduni cazuri disjuncte care acoperă toate posibilitățile cerute. Dacă se suprapun, trebuie eliminată numărarea repetată.

De ce aleg uneori unitățile înaintea sutelor?

Pentru că restricția de paritate sau divizibilitate poate controla direct ultima cifră. Ordinea numărării nu trebuie să fie ordinea citirii numărului, atât timp cât păstrezi toate restricțiile.

Cum exersez pentru BAC?

Desenează trei căsuțe și notează alegerile înainte de produs. Folosește cerințe din arhiva BAC, iar pentru feedback pe separarea cazurilor poți compara anunțurile de matematică.