Probabilități la BAC: condiții algebrice și parametri

La o problemă de probabilitate în care numărul ales trebuie să satisfacă o proprietate algebrică, rezolvi întâi condiția, apoi numeri valorile admise din mulțimea finită. Intervalul obținut dintr-o inecuație nu reprezintă încă numărul cazurilor favorabile. Trebuie intersectat cu mulțimea din care se face alegerea.

Lecția leagă probabilitatea clasică de ecuații, radicali și parametri, prin exemple originale pentru BAC. Alegerea este uniformă: fiecare număr din mulțimea indicată are aceeași șansă. Fără această ipoteză, simplul raport dintre două numărători nu este justificat.

Schema de lucru

Etapă	Ce stabilești
Universul alegerii	Mulțimea finită și numărul elementelor ei
Proprietatea	Ecuația, inecuația sau condiția de existență
Soluția algebrică	Valorile reale care îndeplinesc proprietatea
Cazurile favorabile	Numai elementele mulțimii finite care rămân
Probabilitatea	Număr favorabil împărțit la număr total

Această ordine separă două tipuri de erori. Poți rezolva corect inecuația și număra greșit întregii, sau poți număra exact o mulțime obținută dintr-o condiție greșită. Verifică distinct algebra și numărătoarea.

Exemplu: ecuația are rădăcini reale

Alegem uniform un număr m din mulțimea {−5,−4,…,4,5}. Sunt unsprezece valori, inclusiv zero. Cerem probabilitatea ca ecuația x²−2mx+m+2=0 să aibă soluții reale.

Coeficientul lui x² este unu pentru orice m, deci ecuația rămâne de gradul al doilea. Discriminantul este 4m²−4m−8=4(m−2)(m+1). Condiția pentru rădăcini reale este m≤−1 sau m≥2.

Intersectăm cu mulțimea alegerii. Din prima ramură păstrăm minus cinci, minus patru, minus trei, minus doi și minus unu: cinci valori. Din a doua păstrăm doi, trei, patru și cinci: patru valori.

În total sunt nouă cazuri favorabile din unsprezece, deci probabilitatea este 9/11. Valorile reale dintre întregi nu se numără, deoarece experimentul alege numai elementele mulțimii finite declarate.

Două rădăcini distincte schimbă capetele

Pentru aceeași ecuație, cerința „două soluții reale distincte” impune discriminant strict pozitiv. Obținem m<−1 sau m>2. Valorile minus unu și doi, care produceau rădăcini duble, nu mai sunt admise.

Rămân patru valori negative, de la minus cinci la minus doi, și trei pozitive, de la trei la cinci. Numărul favorabil este șapte, iar probabilitatea este 7/11.

Diferența dintre cele două probabilități este 2/11, corespunzătoare exact celor două valori ale parametrului unde discriminantul se anulează. Acest control verifică efectul cuvântului „distincte” fără să refaci întreaga listă de la început.

Probabilitatea unei rădăcini duble

Discriminantul se anulează pentru m=−1 sau m=2. Ambele valori apar în mulțimea de alegere, deci probabilitatea unei singure rădăcini reale distincte este 2/11.

Pentru m=−1, ecuația este x²+2x+1=0 și rădăcina este minus unu. Pentru m=2, ecuația este x²−4x+4=0 și rădăcina este doi. Numărăm valori ale parametrului, nu valori ale necunoscutei x.

Această distincție este esențială: experimentul alege m. Nu multiplicăm probabilitatea după câte rădăcini are fiecare ecuație și nu construim un nou univers din toate rădăcinile rezultate. Obiectele alese sunt fixate în enunț.

Evenimentul contrar

Ecuația nu are soluții reale când −1<m<2. Din mulțimea dată rămân numai zero și unu, deci probabilitatea este 2/11. Se verifică și prin complement: unu minus 9/11 este 2/11.

Nu confunda acest eveniment cu „nu are două rădăcini distincte”. Al doilea include atât lipsa rădăcinilor, cât și rădăcina dublă, deci are probabilitatea 4/11. Negația trebuie aplicată întregii proprietăți din enunț.

Pentru a înțelege enunțul înaintea formulei, scrie contrarul în cuvinte și apoi clasifică toate cazurile. Această verificare previne eliminarea accidentală a situațiilor de egalitate.

Condiție de existență a unui radical

Alegem uniform n din {1,2,…,12} și cerem probabilitatea ca √((n−3)(n−8)) să fie definit în numere reale. Condiția este (n−3)(n−8)≥0, deci n≤3 sau n≥8.

Valorile favorabile sunt unu, doi, trei și opt, nouă, zece, unsprezece, doisprezece. Sunt opt din doisprezece, deci probabilitatea este 2/3. Capetele trei și opt sunt admise deoarece radicalul din zero există.

Dacă aceeași expresie ar fi în numitor, condiția ar deveni strict pozitivă. Am elimina cele două capete și am avea șase valori din doisprezece, deci probabilitatea 1/2. Poziția radicalului în formulă schimbă evenimentul.

Condiție de apartenență la un interval

Alegem uniform k din {−4,−3,…,5,6}, o mulțime cu unsprezece elemente. Cerem ca k²−2k−3<0. Factorizarea (k−3)(k+1)<0 dă −1<k<3.

Întregii admiși sunt zero, unu și doi, deci probabilitatea este 3/11. Nu numeri lungimea intervalului, care este patru, și nu incluzi capetele minus unu și trei, deoarece inegalitatea este strictă.

Pentru semnul ≤0, lista ar avea cinci elemente, de la minus unu la trei, iar probabilitatea ar deveni 5/11. O verificare prin substituirea capetelor confirmă că ambele anulează expresia.

Numărătoarea când soluțiile nu sunt întregi

Dacă rezolvarea produce, de exemplu, −√2<k<√5 și alegerea se face dintre întregi, valorile favorabile sunt minus unu, zero, unu și doi, cu condiția să apară în mulțimea inițială. Nu rotunjești ambele capete în același sens fără să verifici inegalitățile.

Poți folosi comparații exacte: pătratul lui unu este sub doi, pătratul lui doi este peste doi; pătratul lui doi este sub cinci, iar al lui trei este peste cinci. Astfel identifici întregii fără aproximări zecimale inutile.

După numărare, verifică dacă lista favorabilă este inclusă în univers și dacă numărul ei nu depășește totalul. Un rezultat între zero și unu este necesar pentru probabilitate, dar nu suficient pentru corectitudine: o listă incompletă poate produce și ea o fracție aparent plauzibilă.

Exerciții cu răspunsuri

1. Alegi m din {−2,−1,0,1,2}. Care este probabilitatea ca x²−m=0 să aibă soluții reale? Condiția este m≥0, deci trei valori din cinci și probabilitatea 3/5.
2. Pentru aceeași alegere, care este probabilitatea să existe două soluții reale distincte? Trebuie m>0, deci rămân unu și doi, cu probabilitatea 2/5.
3. Alegi n din {1,…,10}. Care este probabilitatea ca 1/(n−4) să fie definit? Numai patru este exclus, deci probabilitatea este 9/10. Nu excludem valorile care produc un rezultat negativ.
4. Alegi n din {1,…,10}. Pentru ln(n−4), condiția este n>4, deci șase valori favorabile și probabilitatea 3/5. Numitorul și logaritmul impun restricții diferite asupra aceleiași expresii n−4.

Întrebări frecvente

Număr soluțiile în x sau valorile parametrului?

Numără rezultatele experimentului descris. Dacă alegerea este a parametrului m, fiecare m admis reprezintă un singur caz, indiferent câte rădăcini produce ecuația lui.

Pot folosi lungimea intervalului ca număr de cazuri?

Nu pentru alegerea uniformă dintr-o mulțime finită de întregi. Trebuie să numeri elementele efective. Probabilitatea pe un interval continuu este un alt model de alegere.

Cum verific răspunsul pentru BAC?

Păstrează lista favorabilă lângă condiția algebrică și verifică totalul. Lucrează pe subiecte BAC; pentru feedback asupra traducerii cerinței, poți compara anunțurile de matematică.