Sume de coeficienți binomiali la BAC: par și impar

Sumele de coeficienți binomiali se pot calcula fără dezvoltarea tuturor termenilor. Înlocuirea lui x cu unu într-un polinom adună coeficienții, iar înlocuirea cu minus unu separă contribuțiile puterilor pare și impare. Pentru binomul lui Newton, aceste evaluări produc identități utile în exercițiile de BAC.

Lecția privește combinatorica și binomul lui Newton pentru M_mate-info și M_șt-nat, cu verificarea programei sesiunii tale. Notăm C(n,k) numărul combinărilor de n elemente luate câte k, unde k este întreg între zero și n. Exemplele sunt originale și se concentrează pe sume, nu pe extragerea unui singur termen.

De ce evaluarea în unu adună coeficienții?

Dacă P(x)=a₀+a₁x+…+aₙxⁿ, atunci P(1)=a₀+a₁+…+aₙ, deoarece fiecare putere a lui unu este unu. Semnele coeficienților se păstrează: adunăm coeficienții cu semn, nu modulele lor.

Pentru P(x)=(2x−3)⁴, suma coeficienților este P(1)=(2−3)⁴=1. Nu este necesar să calculezi separat cele cinci contribuții binomiale. Dacă ai face dezvoltarea, suma lor algebrică ar trebui să dea tot unu.

Această valoare nu este termenul independent. Termenul independent al aceluiași polinom este P(0)=81. Cele două evaluări răspund unor cerințe diferite: zero păstrează numai termenul constant, iar unu adună toți coeficienții.

Suma tuturor combinărilor

Din (1+x)ⁿ=C(n,0)+C(n,1)x+…+C(n,n)xⁿ, înlocuirea x=1 dă suma C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,n)=2ⁿ.

Pentru n=5, coeficienții sunt unu, cinci, zece, zece, cinci și unu. Suma lor este treizeci și doi, egal cu doi la puterea a cincea. Cei doi coeficienți de la capete sunt incluși; omiterea lor ar schimba rezultatul.

Interpretarea combinatorică este directă. O mulțime cu n elemente are 2ⁿ submulțimi, deoarece fiecare element poate fi ales sau nu. Grupând submulțimile după numărul elementelor, obținem exact suma combinărilor.

Mulțimea vidă corespunde lui C(n,0)=1, iar mulțimea întreagă lui C(n,n)=1. Dacă problema exclude submulțimea vidă, trebuie scăzut unu. Dacă le exclude pe amândouă, se scade doi, pentru n pozitiv.

Suma alternantă

Pentru n≥1, înlocuirea x=−1 în aceeași dezvoltare produce C(n,0)−C(n,1)+C(n,2)−…+(−1)ⁿC(n,n)=0. Membrul stâng al binomului devine (1−1)ⁿ=0.

Semnul fiecărui termen este dat de paritatea lui k, nu de paritatea lui n. Când n este impar, ultimul termen este negativ; când n este par, ultimul este pozitiv. În ambele situații, suma totală este zero pentru n pozitiv.

Cazul n=0 este separat: există un singur coeficient, egal cu unu, iar suma este unu. Nu aplica automat identitatea cu rezultat zero fără ipoteza n≥1.

Separarea indicilor pari și impari

Notăm E suma coeficienților C(n,k) cu k par și O suma celor cu k impar. Suma totală dă E+O=2ⁿ, iar suma alternantă dă E−O=0, pentru n≥1.

Adunând sau scăzând relațiile, obținem E=O=2ⁿ⁻¹. Pentru n=6, coeficienții cu indici pari sunt unu, cincisprezece, cincisprezece și unu, cu suma treizeci și doi. Cei cu indici impari sunt 6, 20, 6, cu aceeași sumă.

Cerință, pentru n pozitiv	Rezultat
Toți coeficienții binomiali	2ⁿ
Suma cu semne alternante	0
Numai indicii pari	2ⁿ⁻¹
Numai indicii impari	2ⁿ⁻¹

Indicele zero este par și trebuie inclus în E. Dacă enunțul cere numai submulțimi nevide cu număr par de elemente, elimini contribuția lui C(n,0), deci rezultatul devine 2ⁿ⁻¹−1.

O explicație fără dezvoltare pentru egalitatea par–impar

Alege un element fix al unei mulțimi nevide. Fiecărei submulțimi îi asociezi alta prin schimbarea apartenenței acelui element: îl adaugi dacă lipsește și îl elimini dacă este prezent.

Operația schimbă paritatea numărului de elemente și, aplicată de două ori, revine la submulțimea inițială. Prin urmare, formează perechi între submulțimile cu număr par și cele cu număr impar de elemente. Cele două categorii au același număr de membri.

Acest argument susține învățarea prin înțelegere: identitatea nu este doar un rezultat al semnelor dintr-o formulă, ci exprimă o corespondență concretă între obiectele numărate.

Sume ponderate cu k

Suma C(n,1)+2C(n,2)+…+nC(n,n) este n·2ⁿ⁻¹ pentru n≥1. Fiecare termen kC(n,k) numără alegerea unei submulțimi cu k elemente și apoi a unui element desemnat din ea.

Putem număra aceleași perechi în altă ordine. Alegem mai întâi elementul desemnat, în n moduri. Fiecare dintre celelalte n−1 elemente poate fi inclus sau exclus independent, deci avem 2ⁿ⁻¹ completări. Produsul oferă formula.

Pentru n=4, suma este 1·4+2·6+3·4+4·1=32. Formula dă 4·8=32. Coeficientul k nu apare întâmplător: reprezintă numărul alegerilor elementului desemnat dintr-o submulțime deja selectată.

La n=1, suma ponderată are un singur termen, egal cu unu. Formula produce tot unu. Pentru n=0, suma fără termeni este zero și se tratează separat, evitând folosirea mecanică a unei formule enunțate pentru n pozitiv.

Coeficienți pari și impari ai unui polinom general

Pentru un polinom P, notăm E suma coeficienților puterilor pare și O suma coeficienților puterilor impare. Atunci P(1)=E+O și P(−1)=E−O. Rezultă E=(P(1)+P(−1))/2 și O=(P(1)−P(−1))/2.

La P(x)=(2x+1)⁴, avem P(1)=81 și P(−1)=1. Suma coeficienților puterilor pare este patruzeci și unu, iar a celor impare este patruzeci. Nu sunt egale, deoarece polinomul nu este exact (1+x)ⁿ.

Acest exemplu previne folosirea mecanică a împărțirii sumei totale în două jumătăți egale. Egalitatea dintre jumătăți depinde de P(−1)=0. Dacă acea evaluare este diferită de zero, trebuie păstrat sistemul complet.

Exerciții cu răspunsuri

1. Află C(8,0)+C(8,1)+…+C(8,8). Rezultatul este 256, numărul tuturor submulțimilor unei mulțimi cu opt elemente.
2. Câte submulțimi nevide cu număr par de elemente are o mulțime cu șapte elemente? Sunt 64−1=63. Scădem mulțimea vidă din categoria pară.
3. Află suma coeficienților lui (3x−2)⁵. Evaluarea în unu dă unu. Termenul independent este însă minus treizeci și doi; nu sunt aceeași informație.
4. Află C(5,1)+2C(5,2)+…+5C(5,5). Formula ponderată dă 5·16=80, corespunzător alegerii unui element desemnat și a celorlalte elemente opționale.

Întrebări frecvente

Suma coeficienților include termenul constant?

Da. Termenul constant este coeficientul puterii zero și contribuie la evaluarea P(1). Îl elimini numai dacă enunțul îl exclude explicit.

Indicii pari sunt aceiași cu pozițiile pare ale termenilor?

Nu dacă numerotarea termenilor începe de la unu, iar indicele k începe de la zero. Termenul cu k=0 este primul termen. Citește dacă enunțul vorbește despre indice, exponent sau numărul de ordine.

Cum verific identitatea la BAC?

Precizează substituția sau interpretarea combinatorică și verifică ipoteza asupra lui n. Exersează pe subiecte BAC, iar pentru feedback asupra numărării poți compara anunțuri de matematică.