Loc geometric la BAC: modulul numerelor complexe

Un modul complex descrie o distanță în plan. Pentru a rezolva o problemă de loc geometric la BAC, scrie z = x + yi, transformă modulele în distanțe sau în ecuații în coordonate și verifică eventualele puncte excluse. Nu orice egalitate cu module descrie un cerc: egalitatea a două distanțe poate descrie o dreaptă.

Lecția urmărește interpretarea geometrică a condițiilor, pentru profilurile la care numerele complexe și reprezentarea lor în plan fac parte din programa aplicabilă. Exercițiile sunt originale, destinate pregătirii. Compară tipul cerinței cu varianta potrivită din arhiva subiectelor de BAC, fără să presupui că toate profilurile au același conținut.

Schema de traducere: număr, punct, distanță

Asociem numărului z = x + yi punctul M(x, y). Un număr fix a + bi reprezintă punctul A(a, b). Atunci modulul diferenței dintre cele două numere este distanța dintre punctele lor.

Condiție	Traducere geometrică	Ce verifici
modulul lui z − a − bi este r	distanța MA este r	raza trebuie să fie nenegativă
două module egale	distanțe egale față de două puncte	punctele fixe sunt distincte?
modul cel mult r	disc închis	frontiera este inclusă
modul strict mai mic decât r	disc deschis	frontiera este exclusă
raport de module	raport de distanțe	numitorul trebuie să fie nenul

Dacă r este negativ, prima condiție nu are soluții. Pentru r egal cu zero obții un singur punct, nu un cerc cu rază pozitivă. Această clasificare simplă trebuie făcută înainte să ridici egalitatea la pătrat.

Exemplul unu: cerc cu centrul deplasat

Determină mulțimea numerelor complexe care satisfac |z − 2 + i| = 3.

Scriem z = x + yi. În modul apare (x − 2) + (y + 1)i, deci condiția devine:

(x − 2)² + (y + 1)² = 9.

Centrul este C(2, −1), iar raza este trei. Semnul coordonatei a doua se citește din y − (−1), nu prin copierea semnului plus din paranteză.

Verificăm două puncte: z = 5 − i și z = 2 + 2i. În primul caz diferența din modul este trei; în al doilea este trei i. Ambele au modulul trei. Centrul însuși nu aparține cercului, deoarece distanța față de el însuși este zero.

Dacă cerința folosește |z − 2 + i| ≤ 3, rezultatul este discul închis cu același centru. Atunci centrul aparține mulțimii, iar punctele verificate rămân pe frontieră. O schimbare de semn transformă natura răspunsului, chiar dacă desenul exterior arată asemănător.

Exemplul doi: mediatoarea unui segment

Rezolvăm |z − 1| = |z + 3|. Punctele fixe sunt A(1, 0) și B(−3, 0). Egalitatea distanțelor identifică mediatoarea segmentului AB.

Algebric, obținem (x − 1)² + y² = (x + 3)² + y². Termenii pătratici se reduc, iar ecuația rămasă este −2x + 1 = 6x + 9. Așadar x = −1.

Nu impunem nicio condiție suplimentară asupra lui y. Mulțimea este întreaga dreaptă verticală x = −1. Punctele −1, −1 + i și −1 − 7i sunt toate soluții.

Observă de ce nu rezultă numai mijlocul segmentului. Mijlocul este unul dintre punctele echidistante, dar deplasarea perpendiculară pe segment păstrează egalitatea distanțelor. În redactare, „mediatoarea segmentului” este mai precis decât „punctul dintre cele două numere”.

Exemplul trei: raport de distanțe

Determină locul geometric pentru |z − 1| = 2|z + 2|. După ridicarea la pătrat:

(x − 1)² + y² = 4[(x + 2)² + y²].

Dezvoltăm și reducem: 3x² + 3y² + 18x + 15 = 0. Împărțim la trei și completăm pătratul:

(x + 3)² + y² = 4.

Rezultă cercul cu centrul (−3, 0) și raza doi. Punctele reale −1 și −5 verifică relația inițială: distanțele sunt, respectiv, doi și unu, apoi șase și trei.

Dacă problema ar fi scrisă ca raport |z − 1| / |z + 2| = 2, am impune mai întâi z diferit de −2. Acest punct oricum nu satisface ecuația cercului obținut, dar restricția trebuie consemnată. Nu presupune că orice excludere va fi eliminată automat de calcule în alte exerciții.

Când ridicarea la pătrat este echivalentă

Două module sunt nenegative. Egalitatea lor este echivalentă cu egalitatea pătratelor. În exemplul precedent, și membrul drept este nenegativ deoarece factorul doi este pozitiv.

În schimb, relația |z − 1| = −2 nu devine legitimă prin pătrare. Ecuația pătrată ar descrie un cerc, dar ecuația inițială nu are nicio soluție. De aceea verificăm semnul înainte de transformare.

Pentru |z − 1| = k|z + 2|, dacă k este negativ, membrul drept este nepozitiv, iar egalitatea ar cere ambele module nule. Aceasta ar însemna simultan z = 1 și z = −2, imposibil. Pentru k zero rămâne numai z = 1. Pentru k unu apare mediatoarea, iar pentru k pozitiv diferit de unu apare un cerc.

Intersecția a două condiții

Considerăm |z| = 5 și partea reală a lui z egală cu trei. Prima relație dă x² + y² = 25, a doua dă x = 3. Rezultă y² = 16, deci z = 3 + 4i sau z = 3 − 4i.

Geometric, intersectăm cercul cu o dreaptă verticală. Dacă partea reală ar fi cinci, am avea un singur punct, z = 5. Dacă partea reală ar fi șase, nu ar exista soluții. Desenul explică numărul de rezultate înainte de calcul, dar demonstrația rămâne sistemul de ecuații.

Nu confunda „partea imaginară pozitivă” cu „modul pozitiv”. În exemplul cu partea reală trei, cerința suplimentară Im(z) > 0 păstrează numai 3 + 4i. Ambele numere aveau însă modulul pozitiv.

Greșeli pe care le poți depista singur

Un centru cu semne greșite se verifică imediat prin substituție. O rază confundată cu pătratul razei se vede comparând ecuația standard cu distanța cerută. O dreaptă redusă greșit la un punct se depistează observând că una dintre coordonate rămâne liberă.

Pentru fiecare problemă, scrie separat condițiile inițiale, ecuația în coordonate și interpretarea geometrică. Acest obicei face vizibilă diferența dintre memorare și înțelegere: recunoști forma pentru că ai derivat-o, nu pentru că seamănă cu un desen văzut anterior.

Exersează, apoi verifică

1. Interpretează |z + 1 − 2i| = 4.
2. Rezolvă |z − 2| = |z + 2|.
3. Găsește numerele cu modul trei și partea imaginară egală cu unu.

Răspunsuri: primul loc este cercul cu centrul (−1, 2), raza patru; al doilea este axa imaginară, x = 0; al treilea conține numerele 2√2 + i și −2√2 + i. Verifică fiecare rezultat în relația originală.

Dacă traducerea dintre modul și desen rămâne dificilă, poți lucra această etapă cu un profesor dintre anunțurile de meditații la matematică. Cere exerciții cu cerc, dreaptă și punct izolat, pentru a distinge toate situațiile.

Întrebări frecvente

Orice ecuație cu modul reprezintă un cerc?

Nu. Egalitatea distanțelor față de două puncte distincte reprezintă o mediatoare. Pot apărea și un punct, mulțimea vidă sau intersecții de curbe.

De ce dispar termenii pătratici în cazul mediatoarei?

Au aceiași coeficienți în ambii membri. După scădere rămâne o ecuație de gradul întâi în coordonate.

Trebuie să verific domeniul unui raport de module?

Da. Numitorul trebuie să fie diferit de zero înainte să înmulțești ecuația cu el.