Ecuații cu conjugat la BAC: parametri și cazuri

O ecuație cu z și conjugatul său se transformă într-un sistem real. Scrii z = x + yi, înlocuiești conjugatul cu x − yi și egalezi separat părțile reale și imaginare. Dacă apare un parametru, verifici valorile care anulează coeficienții înainte să împarți.

Această lecție de BAC urmărește ecuațiile cu conjugat, inclusiv cazurile cu o soluție, fără soluții sau cu infinit de multe soluții. Folosește-o dacă tema este inclusă în programa profilului tău. Pentru a recunoaște nivelul cerințelor, consultă varianta corespunzătoare din subiectele de BAC. Exemplele de aici sunt originale, nu sunt prezentate ca subiecte oficiale.

Schema de lucru în cinci pași

Pas	Ce faci	De ce contează
Alegerea necunoscutelor reale	scrii z = x + yi	x și y sunt numere reale
Înlocuirea conjugatului	scrii x − yi	semnul părții reale rămâne neschimbat
Dezvoltarea	grupezi termenii reali și imaginari	folosești i² = −1
Identificarea	egalezi cele două componente	obții un sistem real
Verificarea	substitui rezultatul în ecuația complexă	depistezi erorile de semn

Conjugatul nu este automat opusul. Pentru z = 2 + 3i, conjugatul este 2 − 3i, pe când opusul este −2 − 3i. Cele două coincid numai dacă partea reală este zero.

Exemplul unu: o ecuație liniară cu conjugat

Rezolvă 2z + conjugatul lui z = 9 + 4i. Înlocuim și obținem 2(x + yi) + x − yi = 3x + yi. Egalând componentele, avem 3x = 9 și y = 4.

Rezultatul este z = 3 + 4i. Verificarea directă dă 2(3 + 4i) + 3 − 4i = 9 + 4i. Sistemul a determinat atât partea reală, cât și partea imaginară, deci soluția este unică.

Dacă ai trata z și conjugatul său drept două necunoscute independente, ai pierde relația dintre ele. Nu poți alege arbitrar două numere diferite pentru aceste expresii. Înlocuirea prin x și y păstrează automat legătura corectă.

Exemplul doi: coeficient complex

Rezolvă (1 + i)z + conjugatul lui z = 3 + i. Dezvoltăm primul produs:

(1 + i)(x + yi) = x − y + (x + y)i.

După adăugarea conjugatului, membrul stâng devine 2x − y + xi. Sistemul este 2x − y = 3 și x = 1. Obținem y = −1, așadar z = 1 − i.

Verificăm: (1 + i)(1 − i) = 2, iar conjugatul soluției este 1 + i. Suma este într-adevăr 3 + i.

Observă că partea imaginară finală nu este x + y, fiindcă termenul −yi din conjugat se adaugă produsului. O greșeală frecventă este rezolvarea sistemului înainte de reducerea completă a termenilor.

Exemplul trei: parametru și împărțire permisă

Considerăm ecuația z + m·conjugatul lui z = 2 + 3i, unde m este real. În coordonate:

(1 + m)x = 2 și (1 − m)y = 3.

Pentru m diferit de −1 și de unu, putem împărți. Soluția unică este z = 2/(1 + m) + [3/(1 − m)]i.

Pentru m = −1, prima ecuație devine zero egal cu doi, deci sistemul nu are soluții. Pentru m = 1, a doua devine zero egal cu trei, deci din nou nu există soluții.

Nu este suficient să spui că formula „nu există” la cele două valori. Formula a fost obținută după o împărțire care nu se mai poate face. Trebuie revenit la sistemul inițial pentru clasificarea cazurilor excepționale.

De exemplu, la m = 2 obținem z = 2/3 − 3i. Conjugatul este 2/3 + 3i, iar suma z + 2·conjugatul lui z este 2 + 3i. Aceasta verifică simultan cei doi numitori din formulă.

Când apar infinit de multe soluții

Schimbăm membrul drept: z + m·conjugatul lui z = 2. Sistemul devine (1 + m)x = 2 și (1 − m)y = 0.

Pentru m diferit de unu și de −1 avem x = 2/(1 + m), y = 0: o singură soluție reală.

Pentru m = 1, prima ecuație dă x = 1, iar a doua este identitatea zero egal cu zero. Coordonata y rămâne liberă. Toate numerele z = 1 + yi, cu y real, sunt soluții. Geometric, ele formează dreapta verticală cu abscisa unu.

Pentru m = −1, prima ecuație rămâne imposibilă, deci nu avem soluții. Acest exemplu arată de ce anularea unui coeficient nu înseamnă automat incompatibilitate: trebuie comparat și membrul drept al acelei ecuații.

Ecuație reală obținută	Concluzie pentru necunoscută
coeficient nenul ori necunoscută egal constantă	valoare unică
zero ori necunoscută egal constantă nenulă	imposibilitate
zero ori necunoscută egal zero	necunoscută liberă în acea ecuație

Exemplul patru: conjugat și modul la pătrat

Rezolvă z·conjugatul lui z − 2z = 3 − 4i. Produsul cu conjugatul este x² + y², număr real. Ecuația devine x² + y² − 2x − 2yi = 3 − 4i.

Partea imaginară dă y = 2. În partea reală rezultă x² + 4 − 2x = 3, adică x² − 2x + 1 = 0. Avem x = 1, deci z = 1 + 2i.

Verificarea este scurtă: modulul la pătrat este cinci; scăzând 2 + 4i obținem 3 − 4i. Nu am pus radical peste x² + y², deoarece produsul cu conjugatul este pătratul modulului, nu modulul.

Pentru un membru drept schimbat, ecuația reală ar putea avea două rădăcini sau niciuna. Metoda rămâne aceeași: componenta imaginară poate fixa o coordonată, iar cealaltă se determină din ecuația pătratică.

Cum redactezi fără să ascunzi cazurile

La început precizezi că x și y sunt reale. Apoi scrii egalitatea transformată și sistemul rezultat. Pentru un parametru, enumeri explicit valorile excepționale și le verifici separat. La final reconstruiești numărul complex, nu lași numai perechea de coordonate.

Această ordine ajută și când revii asupra unei greșeli. Compară explicațiile tale cu ideea de a înțelege, nu doar a memora: trebuie să poți justifica de ce apar două ecuații reale și de ce uneori o coordonată rămâne liberă.

O verificare suplimentară este să privești natura membrilor. Suma dintre un număr și conjugatul său este reală, iar diferența are partea reală nulă. Dacă membrul drept contrazice această proprietate, poți demonstra incompatibilitatea înainte de calcule lungi. Totuși, când există coeficienți diferiți sau complecși, această observație nu se transferă automat: dezvoltă expresia completă și urmărește fiecare componentă.

Exerciții cu răspuns verificabil

1. Rezolvă 3z − conjugatul lui z = 4 + 8i.
2. Rezolvă z + conjugatul lui z = 6.
3. Rezolvă z − conjugatul lui z = 2.
4. Rezolvă z·conjugatul lui z = 9, dacă z este real.

Rezultate: la primul, sistemul este 2x = 4, 4y = 8, deci z = 2 + 2i. La al doilea, x = 3 și y este arbitrar. Al treilea nu are soluții: diferența dintre un număr și conjugatul său are partea reală zero. La ultimul, z poate fi trei sau minus trei; condiția de modul nu impune semnul pozitiv.

Dacă sistemele îți ies, dar pierzi cazurile excepționale, poți cere exerciții concentrate pe parametri unui profesor din pagina de meditații la matematică. Arată-i rezolvarea completă, inclusiv împărțirile făcute.

Întrebări frecvente

Pot egala separat componentele oricăror numere complexe?

Da. Două numere complexe sunt egale exact când au aceleași părți reale și aceleași părți imaginare.

Produsul cu conjugatul poate fi negativ?

Nu. Este x² + y², deci este nenegativ și se anulează numai pentru z egal cu zero.

O ecuație cu conjugat are întotdeauna o soluție unică?

Nu. Exemplele cu parametru arată cazuri fără soluții și cazuri cu infinit de multe soluții.