Produs scalar la BAC: parametru și unghi

Într-o problemă cu produs scalar și parametru, verifică mai întâi dacă vectorii sunt nenuli. Apoi traduci unghiul cerut prin produsul scalar: zero pentru perpendicularitate, semn pozitiv pentru unghi ascuțit și semn negativ pentru unghi obtuz. Pentru o valoare exactă a unghiului folosești și modulele, iar după ridicare la pătrat verifici semnul pierdut.

Lecția este un atelier de BAC despre condiții asupra parametrului, nu o listă generală de operații cu vectori. Lucrează cerințele corespunzătoare programei profilului tău și compară formulările cu cele din arhiva subiectelor de BAC. Toate exemplele de mai jos sunt construite pentru explicație.

De la coordonate la unghi

Pentru u = (a, b) și v = (c, d), produsul scalar este ac + bd. Dacă ambii vectori sunt nenuli, cosinusul unghiului dintre ei este produsul scalar împărțit la produsul modulelor.

Numitorul este strict pozitiv. De aceea semnul cosinusului este exact semnul produsului scalar. Nu trebuie să calculezi radicalii modulelor când ți se cere doar dacă unghiul este ascuțit, drept sau obtuz.

Condiție	Concluzie pentru vectori nenuli
produs scalar pozitiv	unghi sub nouăzeci de grade, inclusiv zero
produs scalar zero	unghi drept
produs scalar negativ	unghi peste nouăzeci de grade, inclusiv unghiul alungit

Pentru unghi strict ascuțit trebuie exclus cazul unghiului zero; pentru unghi strict obtuz trebuie exclus unghiul de o sută optzeci de grade. În aceste cazuri verifici și coliniaritatea. Distincția contează dacă enunțul folosește termenii geometrici în sens strict.

Exemplul unu: perpendicularitate cu două valori

Fie u = (m, 2) și v = (m − 1, −1). Determină m astfel încât vectorii să fie perpendiculari.

Niciun vector nu se poate anula: al doilea component este constant nenul în ambele cazuri. Produsul scalar este m(m − 1) − 2 = m² − m − 2. Factorizăm și obținem (m − 2)(m + 1) = 0.

Rezultă m = 2 sau m = −1. Pentru primul caz, vectorii sunt (2, 2) și (1, −1); produsul este doi minus doi, adică zero. Pentru al doilea, avem (−1, 2) și (−2, −1); produsul este din nou zero.

Nu alege numai rădăcina pozitivă. Parametrul este real și ambele valori îndeplinesc toate condițiile problemei. Semnul unei coordonate nu împiedică perpendicularitatea.

Exemplul doi: clasificarea unghiului

Păstrăm aceiași vectori. Produsul scalar este pozitiv pentru m mai mic decât −1 sau mai mare decât doi, și negativ între cele două rădăcini.

Trebuie însă să verificăm cazurile coliniare. Determinantul coordonatelor este m·(−1) − 2(m − 1) = 2 − 3m. Se anulează la m = 2/3. Atunci u = (2/3, 2), iar v = (−1/3, −1), deci v = −u/2. Unghiul este de o sută optzeci de grade.

Prin urmare, unghiul este strict obtuz pentru m în (−1, 2), cu excluderea lui 2/3. Este drept la capetele −1 și doi. Este strict ascuțit în exteriorul intervalului, deoarece acolo nu există cazuri coliniare.

Acest exemplu explică o capcană frecventă: produsul negativ arată că unghiul depășește nouăzeci de grade, dar nu exclude singur unghiul alungit. Dacă cerința spune doar „cosinus negativ”, valoarea 2/3 rămâne admisă.

Exemplul trei: o soluție falsă după pătrare

Fie u = (m, 1) și v = (1, 0). Cerem ca unghiul dintre ei să fie de șaizeci de grade. Ambii sunt nenuli, iar formula cosinusului dă:

m / √(m² + 1) = 1/2.

Membrul drept este pozitiv, deci m trebuie să fie pozitiv. Ridicând la pătrat obținem 4m² = m² + 1, apoi m² = 1/3. Apar candidații m = 1/√3 și m = −1/√3.

Condiția de semn păstrează numai valoarea pozitivă. Pentru valoarea negativă, cosinusul este −1/2, ceea ce corespunde unui unghi de o sută douăzeci de grade.

Scrie explicit această verificare în rezolvare. Ecuația pătrată nu poate distinge între cele două semne ale cosinusului, fiindcă acestea au același pătrat. Aceeași grijă este necesară în ecuații cu radicali sau cu valori absolute.

Exemplul patru: vectorul nul ascuns de parametru

Considerăm u = (m, 2m) și v = (2, −1). Produsul scalar este 2m − 2m, adică zero pentru orice m real.

Dacă enunțul cere ca vectorii să formeze un unghi drept, trebuie impus m diferit de zero. La m = 0, primul vector este nul și unghiul dintre vectori nu este definit. Formula cosinusului ar avea numitor zero.

Într-un context pur algebric, vectorul nul este ortogonal față de orice vector în sensul produsului scalar nul. Dar asta nu îi atribuie o direcție sau un unghi geometric. Când cerința vorbește despre unghi ori despre două drepte perpendiculare, răspunsul trebuie să respecte condiția de nenulitate a vectorilor directori.

Această precizare previne o contradicție aparentă între definițiile algebrice și desen. Citește formularea exactă înainte să excluzi sau să incluzi valoarea zero.

Produs scalar într-un triunghi

Fie A(0, 0), B(4, 0) și C(t, 3). Vectorii AB și AC sunt (4, 0) și (t, 3), deci produsul scalar este 4t.

Triunghiul este nedegenerat pentru orice t, deoarece C nu este pe axa orizontală. Unghiul din A este ascuțit pentru t pozitiv, drept pentru t zero și obtuz pentru t negativ. Nu apare un unghi zero sau alungit, fiindcă determinantul celor doi vectori este mereu doisprezece.

Atenție la originea comună. Pentru unghiul din B trebuie să folosești BA și BC, nu AB și BC. Inversarea unui singur vector schimbă semnul produsului scalar și transformă unghiul în suplementarul său.

La verificarea finală, alege câte o valoare din fiecare interval al parametrului. Aceasta nu înlocuiește tabelul de semne, dar poate semnala rapid o inversare a concluziilor. În exemplul triunghiului, un punct C aflat deasupra părții din dreapta lui A formează la A un unghi ascuțit; un punct aflat deasupra părții din stânga produce un unghi obtuz. Compară desenul cu semnul calculat.

Exerciții scurte cu justificare

1. Pentru u = (m, 3), v = (2, −2), găsește condiția de perpendicularitate.
2. Pentru u = (m, 1), v = (1, 0), cere un unghi de patruzeci și cinci de grade.
3. În triunghiul precedent, clasifică unghiul din B în funcție de t.

Răspunsuri: prima ecuație este 2m − 6 = 0, deci m = 3. A doua dă m pozitiv și m² = 1, așadar m = 1. Pentru ultima, BA = (−4, 0) și BC = (t − 4, 3), deci produsul este 16 − 4t: unghi ascuțit dacă t este sub patru, drept la patru, obtuz peste patru.

Pentru consolidare, refă un exemplu fără formulă memorată și explică rolul semnului, așa cum sugerează articolul despre memorare și înțelegere. Dacă alegerea vectorilor într-un triunghi rămâne dificilă, poți exersa desenul împreună cu un profesor de matematică.

Întrebări frecvente

Produs scalar negativ înseamnă întotdeauna unghi obtuz?

Înseamnă unghi mai mare decât nouăzeci de grade pentru vectori nenuli. Pentru unghi strict obtuz trebuie exclus cazul vectorilor coliniari de sens contrar.

De ce verific semnul după ridicarea la pătrat?

Pătrarea poate introduce soluții care schimbă semnul cosinusului și dau un alt unghi.

Pot folosi vectorul nul în formula cosinusului?

Nu. Modulul său este zero, iar împărțirea nu este definită.