Proiecția și simetricul unui punct la BAC

Proiecția unui punct pe o dreaptă se găsește construind perpendiculara prin acel punct. Intersecția este piciorul perpendicularei, iar simetricul se obține folosind faptul că această proiecție este mijlocul segmentului dintre punct și imaginea sa. În problemele de BAC cu coordonate, ordinea construcțiilor este mai importantă decât memorarea unei formule lungi.

Lecția urmărește proiecția ortogonală, distanța și simetria axială ca aplicații ale geometriei analitice. Selectează exercițiile conform programei profilului tău și compară cerințele cu subiectele de BAC. Exemplele sunt originale și explică metoda, fără să promită apariția unei anumite probleme la examen.

Schema completă de rezolvare

Pornim de la un punct P și o dreaptă d. Căutăm mai întâi H, proiecția lui P pe d. Punctul H trebuie să îndeplinească simultan două condiții: aparține dreptei d, iar segmentul PH este perpendicular pe d.

După aflarea lui H, construim punctul P′ astfel încât H să fie mijlocul lui PP′. În coordonate, aceasta înseamnă x′ = 2x_H − x_P și y′ = 2y_H − y_P.

Etapă	Operație	Verificare
Perpendiculara	dreaptă prin P normală pe d	P satisface ecuația ei
Proiecția	intersecția celor două drepte	H satisface ambele ecuații
Simetricul	folosești mijlocul segmentului	mijlocul lui PP′ este H
Distanța	calculezi lungimea PH	rezultatul este nenegativ

Dacă punctul se află deja pe dreaptă, proiecția și simetricul coincid cu punctul inițial. Nu apare o altă soluție doar pentru că enunțul folosește cuvântul „simetric”.

Exemplul unu: proiecție pe o dreaptă oblică

Fie P(4, 3) și d: x + y − 1 = 0. Dreapta d are pantă minus unu. Perpendiculara prin P are pantă unu, deci ecuația sa este y − 3 = x − 4, adică y = x − 1.

Rezolvăm sistemul x + y = 1 și y = x − 1. Prin substituție obținem 2x − 1 = 1, deci x = 1 și y = 0. Așadar H(1, 0).

Verificăm apartenența: unu plus zero minus unu este zero. Vectorul PH este (−3, −3), iar un vector director al lui d este (1, −1). Produsul scalar este minus trei plus trei, adică zero. Cele două condiții definesc proiecția cerută.

Distanța de la P la d este lungimea PH: radical din nouă plus nouă, adică 3√2. Observă că distanța nu este nici diferența absciselor, nici diferența ordonatelor luată separat, deoarece segmentul este oblic.

Exemplul doi: simetricul aceluiași punct

Folosim H(1, 0), găsit anterior. Coordonatele simetricului sunt x′ = 2·1 − 4 = −2 și y′ = 2·0 − 3 = −3. Prin urmare P′(−2, −3).

Mijlocul segmentului PP′ este ((4 − 2)/2, (3 − 3)/2) = (1, 0), exact H. Segmentul PP′ are aceeași direcție ca PH, deci este perpendicular pe axa de simetrie.

Mai putem verifica distanțele față de H: vectorii HP și HP′ sunt (3, 3), respectiv (−3, −3). Au aceeași lungime și sensuri opuse. Aceasta confirmă că punctele se află de o parte și de alta a dreptei, nu de aceeași parte.

Distanța PP′ este 6√2, dublul distanței de la P la dreaptă. Dacă ai obține aceeași distanță în locul dublului ei, probabil ai confundat proiecția cu simetricul.

Metoda cu vector normal, fără pante

Pentru dreapta ax + by + c = 0, vectorul (a, b) este normal pe dreaptă, cu condiția ca a și b să nu fie simultan zero. Proiecția punctului P(x₀, y₀) poate fi scrisă:

H = (x₀ − ta, y₀ − tb).

Impunem ca H să aparțină dreptei. Rezultă a(x₀ − ta) + b(y₀ − tb) + c = 0, de unde:

t = (ax₀ + by₀ + c)/(a² + b²).

Nu este nevoie să memorezi separat formula coordonatelor: o deduci din deplasarea pe direcția normală și condiția de apartenență. Numitorul este strict pozitiv deoarece ecuația reprezintă o dreaptă validă.

Pentru P(4, 3) și d din exemplul anterior, avem a = b = 1, c = −1. Rezultă t = 6/2 = 3, deci H = (4 − 3, 3 − 3) = (1, 0). Metoda confirmă construcția cu pante.

Exemplul trei: dreaptă verticală

Fie P(5, −2) și d: x = 1. O dreaptă verticală nu are pantă finită, deci nu încercăm să folosim produsul pantelor egal cu minus unu.

Perpendiculara prin P este orizontală, cu ecuația y = −2. Intersecția este H(1, −2), iar simetricul este P′(−3, −2). Distanța până la dreaptă este patru.

Același rezultat vine din metoda normalului: scriem x − 1 = 0, deci a = 1, b = 0, c = −1. Valoarea lui t este patru, iar deplasarea afectează numai abscisa. Ordonata rămâne neschimbată.

Pentru o dreaptă orizontală y = k, rolurile coordonatelor se inversează. Proiecția păstrează abscisa, iar simetricul are ordonata 2k − y₀. Aceste cazuri sunt și verificări utile pentru formula generală.

Exemplul patru: punct dependent de parametru

Considerăm P(m, 2) și dreapta y = x. Formula proiecției dă H((m + 2)/2, (m + 2)/2), iar simetricul este P′(2, m). Reflexia față de prima bisectoare schimbă între ele coordonatele.

Dacă se cere ca proiecția să fie H(3, 3), ecuația (m + 2)/2 = 3 dă m = 4. Dacă se cere ca punctul să fie propriul simetric, avem m = 2. În acest caz P aparține axei de simetrie.

La problemele cu parametru, precizează ce obiect este fix și ce obiect se modifică. Nu folosi coordonatele proiecției ca și cum ar fi coordonatele punctului inițial.

O verificare cu rezultate fracționare

Fie P(1, 2) și dreapta 3x + 4y − 1 = 0. Folosind vectorul normal (3, 4), calculăm t = (3 + 8 − 1)/(9 + 16) = 2/5. Proiecția este H(−1/5, 2/5), iar simetricul este P′(−7/5, −6/5).

Nu rotunji coordonatele la numere întregi: fracțiile reprezintă rezultate exacte. Verificarea apartenenței dă −3/5 + 8/5 − 1 = 0. Vectorul PH este (−6/5, −8/5), cu lungimea doi, aceeași valoare oferită de formula distanței.

La o verificare independentă, mijlocul lui PP′ are abscisa (1 − 7/5)/2 = −1/5 și ordonata (2 − 6/5)/2 = 2/5. Astfel controlăm atât construcția proiecției, cât și ultima transformare. O eroare în coordonatele simetricului nu trebuie să te determine să refaci inutil întregul sistem dacă proiecția trece deja cele două verificări.

Exerciții și răspunsuri

1. Proiectează P(3, 5) pe dreapta y = 2 și află simetricul.
2. Proiectează P(2, 0) pe dreapta x + y = 0.
3. Află distanța de la P(2, 0) la dreapta din exercițiul anterior.

Răspunsuri: în primul caz H(3, 2), P′(3, −1). În al doilea H(1, −1), iar simetricul este (0, −2). Distanța cerută în al treilea exercițiu este √2. Verifică de fiecare dată apartenența și perpendicularitatea înainte să folosești formula mijlocului.

Un desen cu punctele etichetate te ajută să înțelegi relațiile, nu doar să memorezi formule. Pentru feedback pe construcție și redactare, poți alege un profesor dintre anunțurile de meditații la matematică.

Păstrează valorile exacte până la final. Dacă lucrezi cu radicali sau fracții, aproximațiile făcute prea devreme pot ascunde faptul că punctul calculat aparține exact dreptei și pot produce diferențe artificiale la verificare.

Întrebări frecvente

Proiecția și simetricul sunt același punct?

În general, nu. Proiecția este pe dreaptă; simetricul este de partea opusă. Coincid numai dacă punctul inițial aparține dreptei.

De ce prefer uneori metoda normalului?

Funcționează și pentru drepte verticale, pentru care panta nu este definită.

Este suficient ca mijlocul să fie pe dreaptă?

Nu. Segmentul dintre punct și simetric trebuie să fie și perpendicular pe axa de simetrie.