Teorema sinusurilor la BAC: două triunghiuri posibile

Teorema sinusurilor poate produce două unghiuri candidate, iar suma unghiurilor decide câte triunghiuri sunt posibile. Dacă știi două laturi și unghiul opus uneia dintre ele, nu presupune că triunghiul este determinat unic. Un sinus pozitiv corespunde, de regulă, unui unghi ascuțit și suplementarului său obtuz.

Acest atelier de BAC explică alegerea soluțiilor geometrice, pentru profilurile în a căror programă intră trigonometria și rezolvarea triunghiurilor. Exemplele sunt originale. Compară nivelul lor cu varianta ta din arhiva de subiecte BAC, fără să confunzi o metodă de pregătire cu predicția unei cerințe de examen.

Notația care previne confuziile

În triunghiul ABC, notăm cu a latura BC, opusă unghiului A; cu b latura AC, opusă unghiului B; cu c latura AB, opusă unghiului C. Teorema sinusurilor afirmă că a/sin A = b/sin B = c/sin C.

Dacă A, a și b sunt cunoscute, obținem sin B = b·sin A/a. Mai întâi verificăm dacă acest număr este cel mult unu. Apoi găsim unghiurile candidate din intervalul deschis dintre zero și o sută optzeci de grade.

În final impunem A + B < 180°. Inegalitatea este strictă, fiindcă al treilea unghi trebuie să fie pozitiv. Egalitatea ar produce trei puncte coliniare, nu un triunghi.

Etapă	Întrebarea de control
Raportul	Ai asociat fiecare latură cu unghiul opus?
Valoarea sinusului	Este pozitivă și cel mult unu?
Candidații	Ai luat în calcul și unghiul suplementar?
Geometria	Rămâne un al treilea unghi strict pozitiv?
Concluzia	Ai precizat câte triunghiuri sunt posibile?

Exemplul unu: două triunghiuri valide

Fie A = 30°, a = 5 și b = 5√3. Teorema sinusurilor dă sin B = (5√3·1/2)/5 = √3/2.

În intervalul unghiurilor unui triunghi, există două posibilități: B = 60° sau B = 120°. Pentru prima, C = 90°. Pentru a doua, C = 30°. Ambele valori ale lui C sunt strict pozitive, deci ambele triunghiuri sunt valide.

Putem calcula și latura c. Raportul a/sin A este zece. În primul triunghi c = 10·sin 90° = 10. În al doilea c = 10·sin 30° = 5.

Verificarea are sens geometric: primul este un triunghi dreptunghic cu laturile cinci, cinci radical din trei și zece. Al doilea este isoscel, cu laturile a și c egale, opuse unor unghiuri egale de treizeci de grade.

Aceleași trei date inițiale au produs două forme diferite. Nu este o eroare de calcul; datele nu reprezintă cazul „două laturi și unghiul cuprins între ele”, care ar determina unic triunghiul.

Exemplul doi: candidatul suplementar este eliminat

Fie A = 120°, a = 6 și b = 2√3. Calculăm sin B = (2√3·√3/2)/6 = 1/2. Candidații sunt B = 30° și B = 150°.

Pentru B = 30°, rezultă C = 30°, deci avem un triunghi valid. Pentru B = 150°, suma primelor două unghiuri depășește o sută optzeci de grade, deci candidatul este imposibil.

Triunghiul valid are c = b = 2√3, deoarece unghiurile B și C sunt egale. Latura a este cea mai mare, așa cum trebuie într-un triunghi în care A este unghi obtuz.

Acest control al ordinii dintre laturi și unghiuri poate depista o asociere greșită a datelor. Totuși, el completează calculul și nu înlocuiește verificarea sumei unghiurilor.

Exemplul trei: nu există triunghi

Fie A = 30°, a = 2 și b = 5. Atunci sin B = 5·(1/2)/2 = 5/4. Sinusul unui unghi real nu poate depăși unu, deci datele nu definesc niciun triunghi.

Nu continua printr-o aproximație sau prin căutarea unui unghi într-un tabel. Imposibilitatea este deja demonstrată. Într-o problemă cu parametru, această etapă se transformă într-o condiție asupra parametrului.

Există și cazuri în care sinusul este permis, dar suma unghiurilor elimină toate soluțiile. De exemplu, pentru A = 100° și B candidat de 90°, suma depășește limita, deși sinusul lui B este perfect valid. De aceea cele două verificări sunt distincte.

Clasificare folosind înălțimea

Pentru unghiul A ascuțit, notăm h = b·sin A. Aceasta este înălțimea asociată configurației în care a este latura opusă unghiului cunoscut.

Dacă a < h, nu există triunghi. Dacă a = h, există un singur triunghi dreptunghic, cu B = 90°. Dacă h < a < b, există două triunghiuri. Dacă a ≥ b, există un singur triunghi.

De ce dispare a doua soluție la a = b? Din egalitatea laturilor rezultă B = A. Candidatul suplementar B = 180° − A ar lăsa C = 0°, ceea ce este exclus. La un unghi A ascuțit, soluția B = A păstrează însă un al treilea unghi pozitiv.

Pentru A obtuz, latura opusă a trebuie să fie strict mai mare decât b. Dacă această condiție este îndeplinită, avem un singur triunghi; dacă nu, nu există triunghi. Nu transfera tabelul pentru A ascuțit asupra unui unghi obtuz.

Exemplu cu parametru și număr de soluții

Fixăm A = 30°, b = 8 și a = m, cu m pozitiv. Înălțimea este h = 8·1/2 = 4.

Pentru m sub patru nu există triunghi. Pentru m egal cu patru avem un triunghi dreptunghic. Pentru m între patru și opt există două triunghiuri. Pentru m cel puțin opt există unul singur.

La m = 8, unghiurile A și B sunt ambele de treizeci de grade, iar C este de o sută douăzeci de grade. Nu include aici și candidatul cu B = 150°, deoarece ar produce C = 0°.

Redactează rezultatul pe intervale și include separat punctul de frontieră patru. Acesta are o singură soluție, dar dintr-un motiv diferit față de intervalul care începe la opt.

Toate lungimile trebuie exprimate în aceeași unitate înainte să formezi raportul. În aceste exemple unghiurile sunt date în grade; păstrează aceeași unitate când calculezi suma lor sau citești valorile din tabel.

Exerciții pentru verificare

1. A = 30°, a = 3 și b = 6. Câte triunghiuri există?
2. A = 30°, a = 6 și b = 6. Care sunt celelalte unghiuri?
3. A = 90°, a = 5 și b = 6. Sunt datele posibile?

Răspunsuri: în primul caz sin B = 1, deci B = 90° și C = 60°, un singur triunghi. În al doilea B = 30°, C = 120°. În al treilea nu există triunghi: latura opusă unghiului drept ar trebui să fie ipotenuza și să depășească fiecare catetă.

Explică fiecare eliminare, nu scrie numai numărul de soluții. Este o aplicare a învățării prin înțelegere. Dacă desenul configurației cu două triunghiuri rămâne neclar, un profesor din pagina de meditații la matematică te poate ajuta să construiești cele două poziții ale vârfului.

Întrebări frecvente

Două laturi și un unghi determină mereu un triunghi unic?

Nu. Contează dacă unghiul este cuprins între laturile cunoscute sau este opus uneia dintre ele.

Pot păstra un unghi de zero grade?

Nu. Un triunghi nedegenerat are toate unghiurile strict pozitive.

De ce verific și unghiul suplementar?

Două unghiuri suplementare au același sinus. Ecuația trigonometrică singură nu decide care configurație geometrică este admisă.